Окільцьований простір — топологічний простір, кожній відкритій множині якого співставлено комутативне кільце «функцій» на цій множині. Окільцьовані простори, зокрема, використовуються при визначенні схем.
Визначення
Окільцьований простір — це топологічний простір разом з пучком комутативних кілець на ньому. Цей пучок називається структурним пучком простору .
Локально окільцьований простір — це окільцьований простір, такий що шар пучка в будь-якій точці — є локальним кільцем.
Приклади
Будь-який топологічний простір можна наділити структурою локально окільцьованого простору, якщо розглянути пучок неперервних функцій на ньому. Шар цього пучка в точці x — кільце ростків неперервних функцій в x є локальним кільцем, єдиний максимальний ідеал якого — паростки функцій, рівних нулю в x. Аналогічним чином, гладкий многовид з пучком гладких функцій є локально окільцьованим простором.
Якщо X — алгебраїчний многовид з топологією Зариського (наприклад, спектр деякого кільця), структуру локально окільцьованого простору на ньому вводять в такий спосіб: — множина раціональних функцій, визначених на всьому U. Такий окільцьований простір називають афінною схемою, загальні схеми визначають як результат «склеювання» кількох афінних схем.
Морфізми окільцьованих просторів
Для того, щоб задати морфізм з в , потрібно зафіксувати наступну інформацію:
- Неперервне відображення .
- Для кожної відкритої підмножини — гомоморфізм кілець .
Гомоморфізми кілець повинні бути узгоджені зі структурою пучка, тобто комутувати з відображеннями обмеження. А саме, якщо — відкриті підмножини , наступна діаграма повинна бути комутативною:
Морфізми локально окільцьованих просторів повинні задовольняти ще одній вимозі. Гомоморфізми для кожної точки індукують гомоморфізм з шару в точці в шар в точці . Потрібно, щоб всі ці гомоморфізми були локальними, тобто переводили максимальний ідеал прообразу в підмножину максимального ідеалу образу.
Дотичний простір
Структура локально окільцьованих просторів дозволяє ввести осмислене визначення дотичного простору в його точці. Розглянемо точку окільцьованого простору . Розглянемо локальне кільце (шар пучка в точці x) з максимальним ідеалом . Тоді — поле, — векторний простір над цим полем. Дотичний простір в точці визначається як двоїстий простір до цього простору.
Ідея полягає в наступному: дотичний простір складається з векторів, уздовж яких можна «диференціювати» «функції» в даній точці, тобто елементи кільця . Досить знайти спосіб диференціювання функцій, значення яких в даній точці дорівнює нулю, так як інші відрізняються від них на константу, то є достатньо описати похідні функцій з . При цьому диференціал добутку двох функцій з дорівнює нулю (ми хочемо, щоб формула похідної добутку залишилася вірною). Отже, вектор повинен привласнювати число кожного елементу , і це те, що роблять елементи двоїстого простору.
Легко перевірити, що в разі гладких многовидів з пучком гладких функцій це визначення збігається зі звичайним. З іншого боку, в разі топологічного простору з пучком неперервних (дійснозначних) функцій , так як для неперервної функції функція також є неперервною. Отже, в цьому випадку дотичний простір в будь-якій точці має розмірність 0.
Посилання
- Onishchik, A.L. (2001), space Ringed space, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
Джерела
- Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Okilcovanij prostir topologichnij prostir kozhnij vidkritij mnozhini yakogo spivstavleno komutativne kilce funkcij na cij mnozhini Okilcovani prostori zokrema vikoristovuyutsya pri viznachenni shem ViznachennyaOkilcovanij prostir X OX displaystyle X mathcal O X ce topologichnij prostir X displaystyle X razom z puchkom komutativnih kilec OX displaystyle mathcal O X na nomu Cej puchok nazivayetsya strukturnim puchkom prostoru X displaystyle X Lokalno okilcovanij prostir ce okilcovanij prostir takij sho shar puchka OX displaystyle mathcal O X v bud yakij tochci ye lokalnim kilcem PrikladiBud yakij topologichnij prostir mozhna nadiliti strukturoyu lokalno okilcovanogo prostoru yaksho rozglyanuti puchok neperervnih funkcij na nomu Shar cogo puchka v tochci x kilce rostkiv neperervnih funkcij v x ye lokalnim kilcem yedinij maksimalnij ideal yakogo parostki funkcij rivnih nulyu v x Analogichnim chinom gladkij mnogovid z puchkom gladkih funkcij ye lokalno okilcovanim prostorom Yaksho X algebrayichnij mnogovid z topologiyeyu Zariskogo napriklad spektr deyakogo kilcya strukturu lokalno okilcovanogo prostoru na nomu vvodyat v takij sposib OX U displaystyle mathcal O X U mnozhina racionalnih funkcij viznachenih na vsomu U Takij okilcovanij prostir nazivayut afinnoyu shemoyu zagalni shemi viznachayut yak rezultat skleyuvannya kilkoh afinnih shem Morfizmi okilcovanih prostorivDlya togo shob zadati morfizm z X OX displaystyle X mathcal O X v Y OY displaystyle Y mathcal O Y potribno zafiksuvati nastupnu informaciyu Neperervne vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y Dlya kozhnoyi vidkritoyi pidmnozhini U Y displaystyle U in Y gomomorfizm kilec fU OY U OX f 1 U displaystyle varphi U mathcal O Y U to mathcal O X f 1 U Gomomorfizmi kilec povinni buti uzgodzheni zi strukturoyu puchka tobto komutuvati z vidobrazhennyami obmezhennya A same yaksho V1 V2 displaystyle V 1 subset V 2 vidkriti pidmnozhini Y displaystyle Y nastupna diagrama povinna buti komutativnoyu Morfizmi lokalno okilcovanih prostoriv povinni zadovolnyati she odnij vimozi Gomomorfizmi f displaystyle varphi dlya kozhnoyi tochki x X displaystyle x in X indukuyut gomomorfizm z sharu OY displaystyle mathcal O Y v tochci f x displaystyle f x v shar OX displaystyle mathcal O X v tochci x displaystyle x Potribno shob vsi ci gomomorfizmi buli lokalnimi tobto perevodili maksimalnij ideal proobrazu v pidmnozhinu maksimalnogo idealu obrazu Dotichnij prostirStruktura lokalno okilcovanih prostoriv dozvolyaye vvesti osmislene viznachennya dotichnogo prostoru v jogo tochci Rozglyanemo tochku x X displaystyle x in X okilcovanogo prostoru X OX displaystyle X mathcal O X Rozglyanemo lokalne kilce Rx displaystyle R x shar puchka v tochci x z maksimalnim idealom mx displaystyle mathfrak m x Todi Rx mx displaystyle R x mathfrak m x pole mx mx2 displaystyle mathfrak m x mathfrak m x 2 vektornij prostir nad cim polem Dotichnij prostir v tochci x displaystyle x viznachayetsya yak dvoyistij prostir do cogo prostoru Ideya polyagaye v nastupnomu dotichnij prostir skladayetsya z vektoriv uzdovzh yakih mozhna diferenciyuvati funkciyi v danij tochci tobto elementi kilcya Rx displaystyle R x Dosit znajti sposib diferenciyuvannya funkcij znachennya yakih v danij tochci dorivnyuye nulyu tak yak inshi vidriznyayutsya vid nih na konstantu to ye dostatno opisati pohidni funkcij z mx displaystyle mathfrak m x Pri comu diferencial dobutku dvoh funkcij z mx displaystyle mathfrak m x dorivnyuye nulyu mi hochemo shob formula pohidnoyi dobutku zalishilasya virnoyu Otzhe vektor povinen privlasnyuvati chislo kozhnogo elementu mx mx2 displaystyle mathfrak m x mathfrak m x 2 i ce te sho roblyat elementi dvoyistogo prostoru Legko pereviriti sho v razi gladkih mnogovidiv z puchkom gladkih funkcij ce viznachennya zbigayetsya zi zvichajnim Z inshogo boku v razi topologichnogo prostoru z puchkom neperervnih dijsnoznachnih funkcij mx mx2 displaystyle mathfrak m x mathfrak m x 2 tak yak dlya neperervnoyi funkciyi f x displaystyle f x funkciya f x displaystyle sqrt f x takozh ye neperervnoyu Otzhe v comu vipadku dotichnij prostir v bud yakij tochci maye rozmirnist 0 PosilannyaOnishchik A L 2001 space Ringed space u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4DzherelaTennison B R 1975 Sheaf theory Cambridge University Press MR 0404390