Алгебраїчний многовид

В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай ${\displaystyle K\,}$ є алгебрично замкнуте поле і ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ — n-вимірний афінний простір над ${\displaystyle K\,}$. Многочлени ${\displaystyle F\in K[x_{1},...,x_{n}]}$ можна розглядати як функції з ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$, зі значеннями в ${\displaystyle K\,}$. Для кожного ${\displaystyle S\subset k[x_{1},...,x_{n}]}$ можна визначити підмножину ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$, в якій значення всіх поліномів з множини ${\displaystyle S\,}$ рівне нулю:

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {A} ^{n}|f(x)=0\quad \forall f\in S\}}$

Підмножина ${\displaystyle V\,}$, множини ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ називається афінною алгебричною множиною, якщо ${\displaystyle V=Z(S)\,}$ для деякої ${\displaystyle S\,}$. Непорожня афінна (алгебрична множина) називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для ${\displaystyle V\subset \mathbf {A} ^{n}}$ нехай ${\displaystyle I(V)\,}$ — ідеал многочленів, значення яких на множині ${\displaystyle V\,}$ рівні нулю.

${\displaystyle I(V)=\{f\in k[x_{1},...,x_{n}]|f(x)=0\quad \forall x\in V\}}$

Для будь-якої алгебричної множини ${\displaystyle V\,}$ координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проєктивні многовиди

Нехай ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ — n-вимірний проєктивний простір над полем ${\displaystyle K\,}$. Однорідний многочлен ${\displaystyle K[x_{0},...,x_{n}]\,}$, можна розглядати як функцію ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$, зі значеннями в ${\displaystyle K\,}$. Для будь-якого ${\displaystyle S\subset \mathbf {P} ^{n}}$ аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}|f(x)=0\quad \forall f\in S\}}$

Підмножина ${\displaystyle V}$, множини ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ називається проєктивною алгебричною множиною, якщо ${\displaystyle V=Z(S)\,}$ для деякої ${\displaystyle S\,}$. Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для ${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{n}}$ Нехай ${\displaystyle I(V)\,}$ — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині ${\displaystyle V\,}$ рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини ${\displaystyle V\,}$ фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

• Афінна алгебрична множина ${\displaystyle V\,}$ є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle I(V)\,}$ є простим ідеалом.
• Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. також

• Схема (математика)
• Теорема Гільберта про нулі

Посилання

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]

Література

• Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. .
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. .
• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. .