У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь. Наприклад, — однорідний поліном -го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює . Поліном не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.
Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом.Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.
Поліном степеня завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня є лінійною формою. Форма степеня є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.
Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці. Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки [en] визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.
Властивості
Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном є однорідним степеня
, то
виконується для будь-якого і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома
. І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості
, то поліном є однорідним степеня
. Зокрема, якщо поліном
однорідний, то
для будь-якого . Ця властивість є фундаментальною при визначенні [en].
Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.
Для заданого кільця поліномів над полем (або, у загальному випадку, кільцем)
однорідні поліноми степеня
утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як
. Наведене вище однозначне розкладання означає, що
є прямою сумою модулів
(сума за всіма невід'ємними цілими числами).
Розмірність векторного простору (або вільного модуля) — це кількість різних одночленів степеня
з
змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня
від
змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту
Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо є однорідним поліномом степеня
від невідомих
, то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)
де означає формальну частинну похідну від
відносно
.
Гомогенізація
Неоднорідний поліном можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну
і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як
:
де степінь полінома
. Наприклад, якщо
то
Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну . Тобто
Див. також
- [en]
- [en]
- [en]
- Градуйована алгебра
- Многочлен Гільберта
- [en]
- Мультилінійна функція
- [en]
- Поліном Шура
- [en]
Примітки
- Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Т. 185 (вид. 2nd). Springer. с. 2. ISBN .
- Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни однорідний поліном та форма іноді вважаються синонімами.
- Лінійні форми визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від лінійних функціоналів, які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів.
- Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок методу аналізу розмірностей, де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах.
- Cox, Little та O'Shea, 2005, с. 35
Зовнішні посилання
- Media related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons
- Weisstein, Eric W. “Homogeneous Polynomial“. MathWorld.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici odnoridnij polinom yakij inodi nazivayut quantic u starih tekstah ce polinom v yakogo usi nenulovi chleni mayut odnakovij stepin Napriklad x5 2x3y2 9xy4 displaystyle x 5 2x 3 y 2 9xy 4 odnoridnij polinom 5 displaystyle 5 go stepenya z dvoma zminnimi suma pokaznikiv u kozhnomu dodanku zavzhdi dorivnyuye 5 displaystyle 5 Polinom x3 3x2y z7 displaystyle x 3 3x 2 y z 7 ne ye odnoridnim oskilki suma pokaznikiv ne zbigayetsya vid chlena do chlena Funkciya viznachena odnoridnim polinomom zavzhdi ye odnoridnoyu funkciyeyu Algebrayichna forma abo prosto forma ce funkciya viznachena odnoridnim polinomom Binarna forma ce forma z dvoma zminnimi Forma ce takozh funkciya viznachena u vektornomu prostori yaku mozhna predstaviti yak odnoridnu funkciyu koordinat dlya dovilnogo bazisu Polinom stepenya 0 displaystyle 0 zavzhdi odnoridnij ce prosto element polya abo kilcya koeficiyentiv zazvichaj jogo nazivayut konstantoyu abo skalyarom Forma stepenya 1 displaystyle 1 ye linijnoyu formoyu Forma stepenya 2 displaystyle 2 ye kvadratichnoyu formoyu U geometriyi evklidova vidstan ce kvadratnij korin z kvadratichnoyi formi Odnoridni polinomi ye shiroko poshirenimi v matematici ta fizici Voni vidigrayut fundamentalnu rol v algebrichnij geometriyi oskilki en viznachayetsya yak mnozhina spilnih nuliv mnozhini odnoridnih polinomiv VlastivostiOdnoridnij polinom viznachaye odnoridnu funkciyu Ce oznachaye sho yaksho bagatovimirnij polinom P displaystyle P ye odnoridnim stepenya d displaystyle d to P lx1 lxn ldP x1 xn displaystyle begin aligned P lambda x 1 dots lambda x n lambda d P x 1 dots x n end aligned vikonuyetsya dlya bud yakogo l displaystyle lambda i dlya bud yakogo polya sho mistit koeficiyenti polinoma P displaystyle P I navpaki yaksho vishezgadane spivvidnoshennya spravedlive dlya neskinchennoyi kilkosti l displaystyle lambda to polinom ye odnoridnim stepenya d displaystyle d Zokrema yaksho polinom P displaystyle P odnoridnij to P x1 xn 0 P lx1 lxn 0 displaystyle begin aligned P x 1 dots x n 0 quad Rightarrow quad P lambda x 1 dots lambda x n 0 end aligned dlya bud yakogo l displaystyle lambda Cya vlastivist ye fundamentalnoyu pri viznachenni en Bud yakij nenulovij polinom mozhna yedinim chinom rozklasti yak sumu odnoridnih polinomiv z riznimi stepenyami yaki nazivayutsya odnoridnimi komponentami polinoma Dlya zadanogo kilcya polinomiv R K x1 xn displaystyle R K x 1 dots x n nad polem abo u zagalnomu vipadku kilcem K displaystyle K odnoridni polinomi stepenya d displaystyle d utvoryuyut vektornij prostir abo modul yakij zazvichaj poznachayetsya yak Rd displaystyle R d Navedene vishe odnoznachne rozkladannya oznachaye sho R displaystyle R ye pryamoyu sumoyu moduliv Rd displaystyle R d suma za vsima nevid yemnimi cilimi chislami Rozmirnist vektornogo prostoru abo vilnogo modulya Rd displaystyle R d ce kilkist riznih odnochleniv stepenya d displaystyle d z n displaystyle n zminnimi tobto maksimalna kilkist nenulovih chleniv v odnoridnomu polinomi stepenya d displaystyle d vid n displaystyle n zminnih Vona dorivnyuye binomialnomu koeficiyentu d n 1n 1 d n 1d d n 1 d n 1 displaystyle begin aligned binom d n 1 n 1 binom d n 1 d frac d n 1 d n 1 end aligned Odnoridnij polinom zadovolnyaye totozhnist Ejlera dlya odnoridnih funkcij Tobto yaksho P displaystyle P ye odnoridnim polinomom stepenya d displaystyle d vid nevidomih x1 xn displaystyle x 1 dots x n to mayemo zalezhno vid togo sho ye komutativnim kilcem koeficiyentiv dP i 1nxi P xi displaystyle begin aligned rm d P sum i 1 n x i frac partial P partial x i end aligned de P xi displaystyle frac partial P partial x i oznachaye formalnu chastinnu pohidnu vid P displaystyle P vidnosno xi displaystyle x i GomogenizaciyaNeodnoridnij polinom P x1 xn displaystyle P x 1 dots x n mozhna gomogenizuvati vvivshi dodatkovu zminnu x0 displaystyle x 0 i viznachivshi odnoridnij polinom yakij inodi poznachayut yak hP displaystyle h P hP x0 x1 xn x0dP x1x0 xnx0 displaystyle begin aligned h P x 0 x 1 dots x n x 0 d P left frac x 1 x 0 dots frac x n x 0 right end aligned de d displaystyle d stepin polinoma P displaystyle P Napriklad yaksho P x33 x1x2 7 displaystyle P x 3 3 x 1 x 2 7 to hP x33 x0x1x2 7x03 displaystyle h P x 3 3 x 0 x 1 x 2 7x 0 3 Gomogenizovanij polinom mozhna degomogenizuvati vvivshi dodatkovu zminnu x0 1 displaystyle x 0 1 Tobto P x1 xn hP 1 x1 xn displaystyle P x 1 dots x n h P 1 x 1 dots x n Div takozh en en en Gradujovana algebra Mnogochlen Gilberta en Multilinijna funkciya en Polinom Shura en PrimitkiCox David A Little John O Shea Donal 2005 Using Algebraic Geometry Graduate Texts in Mathematics T 185 vid 2nd Springer s 2 ISBN 978 0 387 20733 9 Odnak deyaki avtori ne roblyat chitkoyi riznici mizh polinomom i pov yazanoyu z nim funkciyeyu termini odnoridnij polinom ta forma inodi vvazhayutsya sinonimami Linijni formi viznachayutsya lishe dlya skinchennovimirnogo vektornogo prostoru tomu yih slid vidriznyati vid linijnih funkcionaliv yaki viznacheni dlya bud yakogo vektornogo prostoru Linijnij funkcional ridko vikoristovuyetsya dlya skinchennovimirnih vektornih prostoriv Odnoridni polinomi u fizici chasto vinikayut yak naslidok metodu analizu rozmirnostej de vimirni velichini povinni zbigatisya u realnih zadachah Cox Little ta O Shea 2005 s 35Zovnishni posilannyaMedia related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons Weisstein Eric W Homogeneous Polynomial MathWorld LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr