Вільний модуль — модуль M над кільцем R (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), якщо він або є нульовим, або має базис. У випадку коли R є полем довільний векторний простір є вільним модулем. Для загальних кілець натомість існують модулі, що не є вільними.
Означення
Вільним модулем називається модуль, що має базис тобто множину , для якої виконуються умови:
є породжуючою множиною
; тобто кожен елемент
є скінченною сумою
де
а
;
є лінійно незалежною, тобто
для різних елементів
що належать
тоді і лише тоді, коли
(де
є нульовим елементом в
а
є нульовим елементом в
).
Властивості
- Вільний модуль може мати два скінченних базиси, що складаються з різної кількості елементів. Так як в цьому випадку модуль M буде ізоморфним як Rm так і Rn, де m ≠ n, то цей випадок можливий тоді і тільки тоді, коли над кільцем R існують матриці A розмірності m×n і B розмірності n×m, такі, що AB = Im і BA = In, де Im і In — одиничні квадратні матриці. Зрозуміло, що в разі, коли кільце R допускає гомоморфізм в тіло (це буде так, наприклад, у випадку комутативних кілець і кілець Нетер), дана ситуація неможлива через властивості рангу матриці. У цьому випадку число елементів базису називається рангом модуля M. Для векторного простору ранг простору є його розмірністю.
- Якщо модуль має нескінченний базис, то всі такі базиси мають однакову потужність.
- Скінченнопороджений модуль є вільним тоді і тільки тоді коли він є плоским.
- Якщо (Mi)i є сім'єю вільних модулів над R, то їх пряма сума ⊕i Mi є вільним модулем над R.
- Для вільних модулів M і N над кільцем R їх тензорний добуток M ⊗ N , множина лінійних відображень HomR(M, N) та двоїстий модуль HomR(M, R) є вільними модулями.
Приклади
- Нульовий модуль (тобто модуль єдиним елементом якого є нуль) прийнято вважати вільним модулем з базисом рівним .
- Саме кільце R, що розглядається як лівий модуль над собою, очевидно має базис, що складається з єдиного одиничного елемента кільця, а кожен модуль з скінченним базисом з n елементів є ізоморфним прямій сумі R n кілець R, що розглядаються як модулі.
- Будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел
Вільні абелеві групи є прикладом вільних модулів.
- Для
,
-модуль
не є вільним.
-модуль
є модулем без кручень але не є вільним.
- Кільце многочленів
над кільцем
є вільним модулем збазисом
.
- Для довільної множини E, можна побудувати вільний R-модуль, базисом якого є множина E. Він називається модулем формальних лінійних комбінацій елементів E, або вільним модулем над E і позначається як R(E).
- Для скінченної підмножини {X1, ..., Xn} елементів з E, формальною лінійною комбінацією елементів X1, ..., Xn називається вираз
- a1X1 + ··· + anXn,
- де всі ai належать кільцю R.
- Якщо деякий ai дорівнює нулю, формальна лінійна комбінація вважається рівною комбінації, що отримується вилученням цього доданку.
- Множина формальних лінійних комбінацій має природну структуру модуля, для якого множина E є базисом.
Універсальна властивість
Відображення включення задовольняє таку універсальну властивість: для довільного відображення
з множини E в R-модуль M, існує єдиний гомоморфізм модулів
, для якого
. Ця властивість характеризує R(E) з точністю до ізоморфізму. Відображення
можна продовжити до функтора з категорії множин в категорію R-модулів.
Узагальнення
Деякі теореми про вільні модулі залишаються вірними і для більш широких класів кілець. Проєктивні модулі — за визначенням є прямими доданками деякого вільного модуля, тому для доведення твердження про проєктивні модулі можна розглянути його вкладення у вільний модуль і скористатися базисом. Ще більш широкими узагальненням є плоскі модулі, які можна уявити як індуктивна границя скінченнопороджених вільних модулів, і модулі без кручень.
Див. також
Література
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vilnij modul modul M nad kilcem R yak pravilo vvazhayetsya asociativnim z odinichnim elementom yaksho vin abo ye nulovim abo maye bazis U vipadku koli R ye polem dovilnij vektornij prostir ye vilnim modulem Dlya zagalnih kilec natomist isnuyut moduli sho ne ye vilnimi OznachennyaVilnim modulem nazivayetsya modul sho maye bazis tobto mnozhinu E M displaystyle E subseteq M dlya yakoyi vikonuyutsya umovi E displaystyle E ye porodzhuyuchoyu mnozhinoyu M displaystyle M tobto kozhen element x M displaystyle x in M ye skinchennoyu sumoyu x i 1 n x i e i displaystyle x sum i 1 n x i e i de e i E displaystyle e i in E a x i R displaystyle x i in R E displaystyle E ye linijno nezalezhnoyu tobto r 1 e 1 r 2 e 2 r n e n 0 M displaystyle r 1 e 1 r 2 e 2 cdots r n e n 0 M dlya riznih elementiv e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 ldots e n sho nalezhat E displaystyle E todi i lishe todi koli r 1 r 2 r n 0 R displaystyle r 1 r 2 cdots r n 0 R de 0 M displaystyle 0 M ye nulovim elementom v M displaystyle M a 0 R displaystyle 0 R ye nulovim elementom v R displaystyle R VlastivostiVilnij modul mozhe mati dva skinchennih bazisi sho skladayutsya z riznoyi kilkosti elementiv Tak yak v comu vipadku modul M bude izomorfnim yak Rm tak i Rn de m n to cej vipadok mozhlivij todi i tilki todi koli nad kilcem R isnuyut matrici A rozmirnosti m n i B rozmirnosti n m taki sho AB Im i BA In de Im i In odinichni kvadratni matrici Zrozumilo sho v razi koli kilce R dopuskaye gomomorfizm v tilo ce bude tak napriklad u vipadku komutativnih kilec i kilec Neter dana situaciya nemozhliva cherez vlastivosti rangu matrici U comu vipadku chislo elementiv bazisu nazivayetsya rangom modulya M Dlya vektornogo prostoru rang prostoru ye jogo rozmirnistyu Yaksho modul maye neskinchennij bazis to vsi taki bazisi mayut odnakovu potuzhnist Skinchennoporodzhenij modul ye vilnim todi i tilki todi koli vin ye ploskim Yaksho Mi i ye sim yeyu vilnih moduliv nad R to yih pryama suma i Mi ye vilnim modulem nad R Dlya vilnih moduliv Mi N nad kilcem R yih tenzornij dobutok M N mnozhina linijnih vidobrazhen HomR M N ta dvoyistij modul HomR M R ye vilnimi modulyami PrikladiNulovij modul tobto modul yedinim elementom yakogo ye nul prijnyato vvazhati vilnim modulem z bazisom rivnim Same kilce R sho rozglyadayetsya yak livij modul nad soboyu ochevidno maye bazis sho skladayetsya z yedinogo odinichnogo elementa kilcya a kozhen modul z skinchennim bazisom z n elementiv ye izomorfnim pryamij sumi R n kilec R sho rozglyadayutsya yak moduli Bud yaka abeleva grupa ye modulem nad kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z Vilni abelevi grupi ye prikladom vilnih moduliv Dlya 1 lt n N displaystyle 1 lt n in mathbb N Z displaystyle mathbb Z modul Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z ne ye vilnim Z displaystyle mathbb Z modul Q displaystyle mathbb Q ye modulem bez kruchen ale ne ye vilnim Kilce mnogochleniv R X displaystyle textstyle R X nad kilcem R displaystyle R ye vilnim modulem zbazisom X i i N displaystyle X i i in mathbb N Dlya dovilnoyi mnozhini E mozhna pobuduvati vilnij R modul bazisom yakogo ye mnozhina E Vin nazivayetsya modulem formalnih linijnih kombinacij elementiv E abo vilnim modulem nad E i poznachayetsya yak R E Dlya skinchennoyi pidmnozhini X1 Xn elementiv z E formalnoyu linijnoyu kombinaciyeyu elementiv X1 Xn nazivayetsya viraz a1X1 anXn de vsi ai nalezhat kilcyu R Yaksho deyakij ai dorivnyuye nulyu formalna linijna kombinaciya vvazhayetsya rivnoyu kombinaciyi sho otrimuyetsya viluchennyam cogo dodanku Mnozhina formalnih linijnih kombinacij maye prirodnu strukturu modulya dlya yakogo mnozhina E ye bazisom Universalna vlastivistVidobrazhennya vklyuchennya i E R E displaystyle iota E to R E zadovolnyaye taku universalnu vlastivist dlya dovilnogo vidobrazhennya f E M displaystyle varphi E to M z mnozhini E v R modul M isnuye yedinij gomomorfizm moduliv ps R E M displaystyle psi R E to M dlya yakogo f ps i displaystyle varphi psi circ iota Cya vlastivist harakterizuye R E z tochnistyu do izomorfizmu Vidobrazhennya i E R E displaystyle iota E to R E mozhna prodovzhiti do funktora z kategoriyi mnozhin v kategoriyu R moduliv UzagalnennyaDeyaki teoremi pro vilni moduli zalishayutsya virnimi i dlya bilsh shirokih klasiv kilec Proyektivni moduli za viznachennyam ye pryamimi dodankami deyakogo vilnogo modulya tomu dlya dovedennya tverdzhennya pro proyektivni moduli mozhna rozglyanuti jogo vkladennya u vilnij modul i skoristatisya bazisom She bilsh shirokimi uzagalnennyam ye ploski moduli yaki mozhna uyaviti yak induktivna granicya skinchennoporodzhenih vilnih moduliv i moduli bez kruchen Div takozhVilna abeleva grupa Ploskij modul Proyektivnij modul Skrut algebra LiteraturaVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros