Гомоморфізм кілець

Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

Визначення

Гомоморфізм кілець

Нехай ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ і ${\displaystyle (S,\oplus ,\odot )}$ — два кільця.

Гомоморфізмом кілець ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ називається відображення ${\displaystyle h\colon R\to S}$ для якого виконуються умови

• ${\displaystyle h(a+b)=h(a)\oplus h(b)}$
• ${\displaystyle h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)}$

Якщо ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається

• ${\displaystyle h(1_{R})=1_{S}}$ — одиничний елемент ${\displaystyle R}$ відображається на елемент ${\displaystyle S}$

Пов'язані визначення

Образом гомоморфізма ${\displaystyle h}$ називається множина

${\displaystyle \operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\}}$

Образ гомоморфізма ${\displaystyle h}$ є підкільцем кільця ${\displaystyle S}$.

Ядром гомоморфізма ${\displaystyle h}$ називається множина

${\displaystyle \ker h=\{a\in R:h(a)=0_{S}\}}$,

де ${\displaystyle 0_{S}}$ позначає нуль кільця ${\displaystyle S}$. Ядро гомоморфізма ${\displaystyle h}$ є ідеалом кільця ${\displaystyle R}$. Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to S}$ є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \ker h=\{0_{R}\}}$, де ${\displaystyle 0_{R}}$ позначає нуль кільця ${\displaystyle R}$.

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to S}$, що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to S}$ називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle h}$ є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення ${\displaystyle h^{-1}}$, що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to S}$.

Гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to R}$ кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому ${\displaystyle h\colon R\to R}$ є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

Властивості

• ${\displaystyle h(0_{R})=0_{S}}$ тобто нульовий елемент з кільця ${\displaystyle R}$ відображається на нульовий елемент в ${\displaystyle S}$
• Для всіх елементів ${\displaystyle a\in R}$ виконується ${\displaystyle -h(a)=h(-a)}$. Ця рівність випливає з того, що: ${\displaystyle h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S}.}$
• Якщо існує гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to S}$ то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R.
• Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то ${\displaystyle h^{-1}(P)}$ є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом.
• Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

Приклади

• Комплексне спряження ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto {\bar {z}}}$ є прикладом автоморфізму кільця.
• Відображення ${\displaystyle \varphi \colon \,\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{\mathit {n\mathbb {Z} }}}$ визначене як ${\displaystyle {\mathit {z}}\mapsto {\mathit {z}}\operatorname {mod} {\mathit {n}}}$ є епіморфізмом кілець.
• Для деякого елемента ${\displaystyle a\in R^{*}}$ можна визначити автоморфізм ${\displaystyle f_{a}\colon R\to R;r\mapsto a\cdot r\cdot a^{-1}}$.
• Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізм

Для довільного кільця ${\displaystyle R}$ і його ідеала ${\displaystyle I\subseteq R}$ відображення ${\displaystyle h\colon R\to R/I}$ визначене як ${\displaystyle h(a)=[a]}$ є епіморфізмом. Таке відображення ${\displaystyle h}$ називається канонічним гомоморфізмом кільця ${\displaystyle R}$ на фактор-кільце ${\displaystyle R/I}$.

Якщо ${\displaystyle h\colon R\to S}$ є епіморфізмом кілець ${\displaystyle R,S}$, то ${\displaystyle S}$ є ізоморфним фактор-кільцю ${\displaystyle R/\ker h}$ (ізоморфізмом є відображення ${\displaystyle g\colon R/\ker h\to S}$ визначене як ${\displaystyle g\left([a]\right)=h(a)}$) і ${\displaystyle h=g\circ f}$, де ${\displaystyle f\colon R\to R/\ker h}$ є канонічним гомоморфізмом.

Див. також

• Гомоморфізм
• Кільце (алгебра)

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
• (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)