Підкатегорія

В теорії категорій, підкатегорією категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ називається категорія ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, об'єкти якої є також об'єктами ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ і морфізми якої є також морфізмами в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, з тими ж тотожними морфізмами і правилами композиції. Інтуїтивно, підкатегорія ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ одержується з ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ видаленням деяких об'єктів і морфізмів.

Формальне визначення

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ - категорія. Підкатегорія ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ задається за допомогою

• Підкласу об'єктів ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, що позначається ${\displaystyle Ob({\mathfrak {B}})}$:

${\displaystyle Ob({\mathfrak {B}})\subset Ob({\mathfrak {A}})}$

• Підкласу морфізмів ${\displaystyle Mor({\mathfrak {A}})}$, що позначаються ${\displaystyle Mor({\mathfrak {B}})}$ і для довільних об'єктів ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathfrak {B}})}$:

${\displaystyle Mor(A,B)_{\mathfrak {B}}\subset Mor(A,B)_{\mathfrak {A}}}$

• Кожен тотожний морфізм в категорії ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ є також тотожним морфізмом в категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$;
• Для кожного морфізма в ${\displaystyle Mor({\mathfrak {B}})}$, його прообраз і образ належать ${\displaystyle Ob({\mathfrak {B}})}$;
• Для кожної пари морфізмів f , g ${\displaystyle f,g\in Mor({\mathfrak {B}})}$, таких що ${\displaystyle f\in Mor(A,B)_{\mathfrak {B}},g\in Mor(B,C)_{\mathfrak {B}}}$ їх композиція ${\displaystyle f\circ g}$ визначається композицією цих морфізмів в категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

З цих умов випливає, що ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ теж є категорією. Існує очевидний ${\displaystyle I:{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}}$ , що називається функтором вкладення.

Види підкатегорій

Підкатегорія ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ називається повною підкатегорією категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, якщо для будь-якої пари об'єктів ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathfrak {B}})}$:

${\displaystyle Mor(A,B)_{\mathfrak {B}}=Mor(A,B)_{\mathfrak {A}}}$

Підкатегорія ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ називається називається замкнутою щодо ізоморфізмів, якщо будь-який ізоморфізм, ${\displaystyle f\in Mor(A,B)_{\mathfrak {A}},}$ такий що B належить ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, також належить ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Замкнута щодо ізоморфізмів повна категорія називається строго повною.

Підкатегорія категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ називається широкою, якщо вона містить усі об'єкти ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Зокрема, єдиною широкою повною категорією категорії ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ є сама категорія ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

Приклади

• Категорія скінченних множин є повною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія, об'єктами якої є множини, а морфізмами — бієкції, є неповною підкатегорією категорії множин Set.
• Категорія Ab комутативних груп є повною категорією категорії груп Gr.
• Категорія кілець з одиницею (морфізми якої є гомоморфізмами, що зберігають одиниці) є неповною підкатегорією категорії кілець.

Див. Також

• Теорія категорій

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — .