Ідеал — підструктура з певними властивостями в абстрактній алгебрі. Спочатку виникло поняття ідеал кільця, пізніше було узагальнено для інших алгебраїчних структур.
Найважливішу роль ідеали відіграють при вивченні кілець, напівгруп, алгебр над кільцем та ін.
Назва «ідеал» веде своє походження від . Ідеали дають зручну мову для узагальнення результатів теорії чисел на загальні кільця.
Прикладом ідеала може служити підкільце парних чисел в кільці цілих чисел, позначають 2Z.
Ідеал в абстрактній алгебрі
Для кільця R ідеалом називається підкільце замкнене відносно множення на елементи з R. Для напівгрупи S ідеалом називається під-напівгрупа замкнена відносно множення на елементи з S. Визначення ідеала алгебри аналогічне. Ідеал називається лівим (правим), якщо він замкнутий відносно множення зліва (справа) на елементи кільця (напівгрупи чи алгебри). Ідеал, що є одночасно лівим та правим, називається двостороннім чи просто ідеалом. Для комутативного кільця всі три поняття збігаються.
Більш точно: Ідеалом кільця називається таке підкільце кільця , що
- добуток (умова на праві ідеали);
- добуток (умова на ліві ідеали).
Приклади
- У кільці R, сама множина R утворює ідеал R. Також утворює ідеал підмножина, що складається з нейтрального елемента для додавання 0R. Ці два ідеали зазвичай відомі як тривіальні ідеали R.
- Парні цілі числа утворюють у кільці всіх цілих чисел; його зазвичай позначають через . Це ідеал через те, що сума двох будь-яких парних цілих чисел є парне ціле число, і добуток двох парних цілих чисел також парне число. Подібно, множина цілих кратних n є ідеалом позначуваним .
- Множина всіх многочленів з дійсними коефіцієнтами подільних на многочлен x2 + 1 складають ідеал у кільці всіх многочленів.
- Множина всіх n-на-n матриць чий останній рядок нульовий, формують правий ідеал у кільці всіх n-на-n матриць. Цей ідеал не є лівим. Множина всіх n-на-n матриць чий останній стовпчик нульовий, формують лівий ідеал, але не правий.
- Кільце всіх неперервних функцій f з на щодо поточкового множення містить ідеал всіх неперервних функцій f таких, що f(1) = 0. Інший ідеал у задається тими функціями, що зникають для достатньо великих значень аргументу, тобто тих неперервних функцій f, для яких існує число L > 0 таке, що f(x) = 0, коли |x| > L.
- Цілком неперервні оператори утворюють ідеал у кільці обмежених операторів.
Ідеал породжений множиною
Нехай R буде кільцем (можливо без одиниці). Будь-який перетин будь-якої непорожньої сім'ї лівих ідеалів R знову є лівим ідеалом R. Якщо X — це непорожня підмножина R, тоді перетин всіх лівих ідеалів R, що містять X, є лівим ідеалом I для R, що містить X, і очевидно є найменшим таким ідеалом. Кажуть, що цей ідеал I є лівим ідеалом породженим множиною X. Подібні визначення можна утворити для правих ідеалів і двосторонніх ідеалів.
Якщо R має одиницю, тоді лівий, правий або двосторонній ідеал R породжений підмножиною X кільця R можна виразити способом, який ми зараз опишемо. Наступна множина є лівим ідеалом:
Кожен описаний елемент мусить міститись у кожному лівому ідеалі, що містить X, отже цей лівий ідеал по факту є лівим ідеалом породженим X. Правий і двосторонній ідеал породжені X також можна виразити таким чином:
Додаткові відомості
У кільцях замість простих чисел вивчаються прості ідеали як узагальнення взаємно простих чисел вводяться взаємно прості ідеали, можна довести аналог китайської теореми про залишки для ідеалів.
У деякому важливому класі кілець (дедекіндових) можна навіть отримати аналог основної теореми арифметики: у цих кільцях кожен ненульовий ідеал можна єдиним чином представити як добуток простих ідеалів.
Див. також
Джерела
Українською
- (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ideal pidstruktura z pevnimi vlastivostyami v abstraktnij algebri Spochatku viniklo ponyattya ideal kilcya piznishe bulo uzagalneno dlya inshih algebrayichnih struktur Najvazhlivishu rol ideali vidigrayut pri vivchenni kilec napivgrup algebr nad kilcem ta in Nazva ideal vede svoye pohodzhennya vid Ideali dayut zruchnu movu dlya uzagalnennya rezultativ teoriyi chisel na zagalni kilcya Prikladom ideala mozhe sluzhiti pidkilce parnih chisel v kilci cilih chisel poznachayut 2Z Ideal v abstraktnij algebriDlya kilcya R idealom nazivayetsya pidkilce zamknene vidnosno mnozhennya na elementi z R Dlya napivgrupi S idealom nazivayetsya pid napivgrupa zamknena vidnosno mnozhennya na elementi z S Viznachennya ideala algebri analogichne Ideal nazivayetsya livim pravim yaksho vin zamknutij vidnosno mnozhennya zliva sprava na elementi kilcya napivgrupi chi algebri Ideal sho ye odnochasno livim ta pravim nazivayetsya dvostoronnim chi prosto idealom Dlya komutativnogo kilcya vsi tri ponyattya zbigayutsya Bilsh tochno Idealom kilcya R displaystyle R nazivayetsya take pidkilce I displaystyle I kilcya R displaystyle R sho i I r R displaystyle forall i in I forall r in R dobutok ir I displaystyle ir in I umova na pravi ideali i I r R displaystyle forall i in I forall r in R dobutok ri I displaystyle ri in I umova na livi ideali PrikladiU kilci R sama mnozhina R utvoryuye ideal R Takozh utvoryuye ideal pidmnozhina sho skladayetsya z nejtralnogo elementa dlya dodavannya 0R Ci dva ideali zazvichaj vidomi yak trivialni ideali R Parni cili chisla utvoryuyut u kilci Z displaystyle mathbb Z vsih cilih chisel jogo zazvichaj poznachayut cherez 2Z displaystyle 2 mathbb Z Ce ideal cherez te sho suma dvoh bud yakih parnih cilih chisel ye parne cile chislo i dobutok dvoh parnih cilih chisel takozh parne chislo Podibno mnozhina cilih kratnih n ye idealom poznachuvanim nZ displaystyle n mathbb Z Mnozhina vsih mnogochleniv z dijsnimi koeficiyentami podilnih na mnogochlen x2 1 skladayut ideal u kilci vsih mnogochleniv Mnozhina vsih n na n matric chij ostannij ryadok nulovij formuyut pravij ideal u kilci vsih n na n matric Cej ideal ne ye livim Mnozhina vsih n na n matric chij ostannij stovpchik nulovij formuyut livij ideal ale ne pravij Kilce C R displaystyle C mathbb R vsih neperervnih funkcij f z R displaystyle mathbb R na R displaystyle mathbb R shodo potochkovogo mnozhennya mistit ideal vsih neperervnih funkcij f takih sho f 1 0 Inshij ideal u C R displaystyle C mathbb R zadayetsya timi funkciyami sho znikayut dlya dostatno velikih znachen argumentu tobto tih neperervnih funkcij f dlya yakih isnuye chislo L gt 0 take sho f x 0 koli x gt L Cilkom neperervni operatori utvoryuyut ideal u kilci obmezhenih operatoriv Ideal porodzhenij mnozhinoyuNehaj R bude kilcem mozhlivo bez odinici Bud yakij peretin bud yakoyi neporozhnoyi sim yi livih idealiv R znovu ye livim idealom R Yaksho X ce neporozhnya pidmnozhina R todi peretin vsih livih idealiv R sho mistyat X ye livim idealom I dlya R sho mistit X i ochevidno ye najmenshim takim idealom Kazhut sho cej ideal I ye livim idealom porodzhenim mnozhinoyu X Podibni viznachennya mozhna utvoriti dlya pravih idealiv i dvostoronnih idealiv Yaksho R maye odinicyu todi livij pravij abo dvostoronnij ideal R porodzhenij pidmnozhinoyu X kilcya R mozhna viraziti sposobom yakij mi zaraz opishemo Nastupna mnozhina ye livim idealom r1x1 rnxn n N ri R xi X displaystyle r 1 x 1 dots r n x n mid n in mathbb N r i in R x i in X Kozhen opisanij element musit mistitis u kozhnomu livomu ideali sho mistit X otzhe cej livij ideal po faktu ye livim idealom porodzhenim X Pravij i dvostoronnij ideal porodzheni X takozh mozhna viraziti takim chinom x1r1 xnrn n N ri R xi X displaystyle x 1 r 1 dots x n r n mid n in mathbb N r i in R x i in X r1x1s1 rnxnsn n N ri R si R xi X displaystyle r 1 x 1 s 1 dots r n x n s n mid n in mathbb N r i in R s i in R x i in X Dodatkovi vidomostiU kilcyah zamist prostih chisel vivchayutsya prosti ideali yak uzagalnennya vzayemno prostih chisel vvodyatsya vzayemno prosti ideali mozhna dovesti analog kitajskoyi teoremi pro zalishki dlya idealiv U deyakomu vazhlivomu klasi kilec dedekindovih mozhna navit otrimati analog osnovnoyi teoremi arifmetiki u cih kilcyah kozhen nenulovij ideal mozhna yedinim chinom predstaviti yak dobutok prostih idealiv Div takozhPortal Matematika Ideal poryadok Golovnij ideal Maksimalnij ideal Prostij ideal Nilpotentnij ideal Diferentnij idealDzherelaUkrayinskoyu 2012 Teoriya kilec navchalnij posibnik PDF Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 64 ukr ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Obshaya algebra M Mir 1970 162 s ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros