Кільце Дедекінда — область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.
Приклади
- Кожна область головних ідеалів є кільцем Дедекінда.
- Якщо R є кільцем Дедекінда, L — скінченне алгебраїчне розширення його поля часток, то ціле замикання R' кільця R в L знову буде кільцем Дедекінда.
- Дедекіндовими є кільце цілих алгебраїчних чисел і максимальні порядки полів алгебраїчних чисел, тобто цілі замикання кільця цілих чисел в скінченних алгебраїчних розширеннях поля раціональних чисел.
Еквівалентні означення
Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.
- Комутативна область цілісності є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли
- R є кільцем Нетер,
- кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
- R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.
- Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.
- Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.
- Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.
- Кільцем Дедекінда називається нетерова область цілісності для якої всі локалізації по простих ідеалах є кільцями дискретного нормування.
- Кільцем Дедекінда називається область цілісності для якої локалізація по кожному максимальному ідеалу є кільцем дискретного нормування і кожен ненульовий елемент належить лише скінченній кількості простих ідеалів.
- Кільцем Дедекінда називається область цілісності R кожен ідеал якої є проективним модулем над R.
Властивості
- Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів Ii і елементів xi кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь
має розв'язок
тоді і тільки тоді, коли
, для
.
- Для будь-якої мультиплікативної підмножини
у кільці Дедекінда
локалізація
теж є кільцем Дедекінда.
- Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
- Фактор-кільце кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
- Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді й лише тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів.
- Нехай
— кільце Дедекінда,
— його ненульовий ідеал і
— довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент
, що елементи
породжують
. Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
- Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Фактор-група цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи
існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна
. Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.
Модулі над кільцем Дедекінда
Для кілець Дедекінда існує структурна теорема скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.
Нехай — кільце Дедекінда і
— скінченнопороджений модуль над ним. Нехай
позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів
, що
для деякого
. Тоді
, де
— модуль без кручень.
Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.
Для модуля кручень , де для ідеалів виконуються включення
. Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.
Для модулів без кручень , де
— ідеал кільця і
Див. також
Посилання
- Теорія алгебричних чисел. Конспект лекцій КНУ [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]
Література
- Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — 2-е изд. — Москва, 1972.(рос.)
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
- Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kilce Dedekinda oblast cilisnosti R v yakij kozhen nenulovij vlasnij ideal predstavlyayetsya u viglyadi dobutku prostih idealiv Rozklad u dobutok prostih idealiv pri comu ye yedinim z tochnistyu do poryadku mnozhnikiv Svoyu nazvu ci kilcya oderzhali vid imeni Riharda Dedekinda yakij yih vivchav u 70 ih rokah 19 stolittya Pri comu oznachenni polya ye trivialnimi prikladami kilec Dedekinda Zvazhayuchi na yih vidminnist vid inshih vidiv kilec Dedekinda inodi v oznachenni vimagayetsya shob kilce Dedekinda ne bulo polem PrikladiKozhna oblast golovnih idealiv ye kilcem Dedekinda Yaksho R ye kilcem Dedekinda L skinchenne algebrayichne rozshirennya jogo polya chastok to cile zamikannya R kilcya R v L znovu bude kilcem Dedekinda Dedekindovimi ye kilce cilih algebrayichnih chisel i maksimalni poryadki poliv algebrayichnih chisel tobto cili zamikannya kilcya cilih chisel v skinchennih algebrayichnih rozshirennyah polya racionalnih chisel Ekvivalentni oznachennyaNizhche navedeno kilka ekvivalentnih oznachen v yakih takozh opisuyutsya osnovni vlastivosti kilec Dedekinda Komutativna oblast cilisnosti ye kilcem Dedekinda todi i tilki todi koliR ye kilcem Neter kozhen vlasnij prostij ideal kilcya R maksimalnij R cilozamknute kilce tobto rivne svoyemu cilomu zamikannyu v poli chastok Inshimi slovami kilce Dedekinda ye neterovim normalnim kilcem rozmirnist Krulya yakogo rivna odinici Kilce R ye kilcem Dedekinda todi i tilki todi koli napivgrupa drobovih idealiv cogo kilcya ye grupoyu Kozhen drobovij ideal kilcya Dedekinda R mozhna yedinim sposobom zapisati u viglyadi dobutku stepeniv dodatnih abo vid yemnih prostih idealiv kilcya R Kilce Dedekinda R mozhna oharakterizuvati takozh yak kilce Krulya rozmirnosti odin Kilcem Dedekinda nazivayetsya neterova oblast cilisnosti dlya yakoyi vsi lokalizaciyi po prostih idealah ye kilcyami diskretnogo normuvannya Kilcem Dedekinda nazivayetsya oblast cilisnosti dlya yakoyi lokalizaciya po kozhnomu maksimalnomu idealu ye kilcem diskretnogo normuvannya i kozhen nenulovij element nalezhit lishe skinchennij kilkosti prostih idealiv Kilcem Dedekinda nazivayetsya oblast cilisnosti R kozhen ideal yakoyi ye proektivnim modulem nad R VlastivostiDlya kilcya Dedekinda R vikonuyetsya tak zvana kitajska teorema pro zalishki dlya danogo skinchennogo naboru idealiv Ii i elementiv xi kilcya R i 1 2 n sistema porivnyan x xi modIi displaystyle x equiv x i pmod I i maye rozv yazok x R displaystyle x in R todi i tilki todi koli xi xj modIi Ij displaystyle x i equiv x j pmod I i I j dlya i j displaystyle i neq j Dlya bud yakoyi multiplikativnoyi pidmnozhini S displaystyle S u kilci Dedekinda R displaystyle R lokalizaciya RS displaystyle R S tezh ye kilcem Dedekinda Kilce Dedekinda sho maye lishe skinchennu kilkist prostih idealiv ye kilcem golovnih idealiv Faktor kilce kilcya Dedekinda za bud yakim nenulovim idealom ye kilcem golovnih idealiv Kilce Dedekinda ye faktorialnim kilcem todi j lishe todi koli vono ye kilcem golovnih idealiv Nehaj R displaystyle R kilce Dedekinda I displaystyle I jogo nenulovij ideal i a I displaystyle a in I dovilnij element idealu Todi isnuye takij element b I displaystyle b in I sho elementi a b displaystyle a b porodzhuyut I displaystyle I Zokrema kozhen ideal kilcya Dedekinda porodzhuyetsya shonajbilshe dvoma elementami Drobovi ideali kilec Dedekinda utvoryuyut grupu Faktor grupa ciyeyi grupi po pidgrupi golovnih drobovih idealiv nazivayetsya grupoyu klasiv idealiv U 1966 roci Kleborn doviv sho dlya kozhnoyi abelevoyi grupi G displaystyle G isnuye kilce Dedekinda grupa klasiv idealiv yakogo izomorfna G displaystyle G Lidam Grin pokazav sho take kilce mozhna zavzhdi otrimati yak cile zamikannya kilcya golovnih idealiv u kvadratichnomu rozshirenni jogo polya chastok Moduli nad kilcem DedekindaDlya kilec Dedekinda isnuye strukturna teorema skinchennoporodzhenih moduliv yaka ye blizkoyu do takoyi teoremi dlya kilec golovnih idealiv Nehaj R displaystyle R kilce Dedekinda i M displaystyle M skinchennoporodzhenij modul nad nim Nehaj T M displaystyle T subset M poznachaye pidmodul kruchennya tobto pidmodul takih elementiv m M displaystyle m in M sho rm 0 displaystyle rm 0 dlya deyakogo 0 r R displaystyle 0 neq r in R Todi M T P displaystyle M T oplus P de P displaystyle P modul bez kruchen Tomu dlya klasifikaciyi skinchennoporodzhenih moduliv dostatno klasifikuvati vsi taki moduli kruchen i moduli bez kruchen Dlya modulya kruchen T R I1 R In displaystyle T cong R I 1 oplus ldots oplus R I n de dlya idealiv vikonuyutsya vklyuchennya Ii Ii 1 displaystyle I i supseteq I i 1 Cej rozklad ye yedinim z tochnistyu do izomorfizmu Dlya moduliv bez kruchen P Rn I displaystyle P cong R n oplus I de I displaystyle I ideal kilcya i Rn I Rm J n m I J displaystyle R n oplus I cong R m oplus J iff n m land I cong J Div takozhOblast Pryufera Diferentnij idealPosilannyaTeoriya algebrichnih chisel Konspekt lekcij KNU 17 sichnya 2015 u Wayback Machine LiteraturaBorevich 3 I Shafarevich I R Teoriya chisel 2 e izd Moskva 1972 ros Burbaki N Kommutativnaya algebra Moskva Mir 1971 S 707 Elementi matematiki ros Zarisskij O Kommutativnaya algebra Moskva 1963 T 1 373 s ros Kurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros