В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток.
Приклади
Багато важливих областей цілісності є цілозамкнутими:
- Будь-яка область головних ідеалів (зокрема, будь-яка поле).
- Будь-яке факторіальне кільце (і, як наслідок, будь-яке кільце многочленів над факторіальним кільцем): Нехай Q — поле часток факторіального кільця A i елемент — цілий над A : де . Припустимо, що a i b не мають спільних дільників (за винятком оборотних елементів). Але , отже, ділиться на b, що можливо лише якщо b є оборотним. Тому, , і звідси .
- Будь-яка область найбільших спільних дільників (зокрема, кільце Безу чи кільце нормування).
- Будь-яке кільце Дедекінда є цілозамкнутою областю.
- Довільна симетрична алгебра над полем (оскільки кожна симетрична алгебра є ізоморфною кільцю многочленів від кількох змінних над полем).
- Регулярні локальні кільця є цілозамкнутими.
- Приклад області цілісності, що не є цілозамкнутою: нехай k — поле і (A є підалгебра породжена t2 і t3.) A і B мають однакове поле часток, і B є цілим замиканням кільця A (B є факторіальним кільцем) і тому, область A не є цілозамкнутою. Цей приклад пов'язаний з фактом, що плоска крива має особливу точку на початку координат.
Властивості
- Нехай A — цілозамкнута область. Для довільної мультиплікативної системи локалізація є цілозамкнутою областю.
- Ототожнимо з підкільцем поля часток . Припустимо, що є цілим над , тобто де (тут очевидно, для всіх можна вибрати спільний знаменник). Тоді звідки i
- Для область цілісності A наступні умови є еквівалентними:
- A є цілозамкнутою;
- Ap (локалізація A за простим ідеалом p) є цілозамкнутою для кожного простого ідеалу p;
- Am є цілозамкнутою для кожного максимального ідеалу m.
- Те що локалізації за максимальними і простими ідеалами є областями цілісності є наслідком попередньої властивості. Залишається лише довести, що якщо всі локалізації A за максимальними ідеалами є цілозамкнутими, то і A є цілозамкнутою.
- Нехай елемент є цілим над A. Тоді він є цілим над всіма Am для всіх максимальних ідеалів, звідки . Тож залишається довести, що для довільної області цілісності .
- Нехай . Покладемо . Ця множина є ідеалом в A і для кожного максимального ідеала m в кільці A оскільки може бути записаним як де , звідки . Тому, , отже, i .
- Натомість цілозамкнутість може не зберігатися при переході до факторкільця, наприклад кільце Z[t]/(t2+4) не є цілозамкнутим.
- Область цілісності є цілозамкнутою якщо і тільки якщо вона рівна перетину всіх кілець нормування, що містять її.
- Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і нехай L — скінченне розширення поля Q. Тоді елемент є цілим над A, якщо і тільки якщо його мінімальний многочлен над Q має коефіцієнти у полі A. Звідси випливає зокрема, що цілий елемент над цілозамкнутою областю A має мінімальний многочлен над A. Це твердження є сильнішим, ніж те, що будь-яка цілий елемент є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 і може бути неправильним без вимоги цілозамкнутості (наприклад для кільця ): Розглянемо розширення , таке що для деяких . Оскільки є незвідним, i цей ізоморфізм є тотожним на . Отже, кожен елемент є також цілим над A. Але коефіцієнти є многочленами від з цілими коефіцієнтами (елементарними симетричними многочленами), отже, вони також цілі над A. Оскільки A є цілозамкнутою областю, то всі ці коефіцієнти належать A.
- Для цілозамкнутої області A з полем часток Q справедливою є версія леми Гауса: нехай — многочлен, старший коефіцієнт якого рівний 1. Нехай також де і старший коефіцієнт рівний 1. Тоді
- Достатньо довести це твердження для незвідного g. Розглянемо будь-який його корінь a в деякому розширенні поля Q. Оскільки , то a є цілим над A. Але (оскільки g є незвідним), отже, згідно попередньої властивості, .
- Якщо A — цілозамкнута область то кільце многочленів теж буде цілозамкнутою областю.
- Нехай є цілим елементом над . Тоді він очевидно є також цілим над . Але є кільцем головних ідеалів і тому цілозамкнутим. Тож . Залишається довести, що для цілозамкнутої області кільце є цілозамкнутим у .
- Припустимо, що є цілим елементом над тобто , для деяких . Нехай — ціле число більше, ніж степінь і всі степені . Позначимо . Якщо позначити , то є коренем многочлена . Зауважимо що і має старший коефіцієнт рівний 1. Оскільки і і мають старші коефіцієнти 1, то з леми Гауса отримуємо, що коефіцієнти многочлена належать A і теж саме є правильним для многочлена , що завершує доведення.
- Індуктивна границя цілозамкнутих областей є цілозамкнутою областю.
- Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L є нормальним розширенням поля Q з групою Галуа G = G(L/ Q). Нехай також S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді
- (i) G є групою A-автоморфізмів кільця S.
- (ii) Прості ідеали P' and P'' кільця S лежать над спільним простим ідеалом P' кільця R (тобто ) тоді і тільки тоді, коли існує
- Теорема про спуск. Нехай A — цілозамкнута область і S — область цілісності, що є цілим розширенням A. Нехай — спадна послідовність простих ідеалів кільця A і P'1 — простий ідеал кільця S, для якого . Тоді існує спадна послідовність простих ідеалів кільця S, для яких .
- Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Нехай S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді існує базис поля L над Q, для якого . Якщо A є кільцем головних ідеалів, то можна вибрати такий базис щоб в цій формулі виконувалася рівність.
Нетерова цілозамкнута область
Нехай A є нетеровою областю цілісності. Тоді A є цілозамкнутою, якщо і тільки якщо виконуються умови:
- A є перетином всіх локалізацій за простими ідеалами висоти 1 і
- локалізації за простими ідеалами висоти 1 є кільцями дискретного нормування.
Для нетерової локальної області A розмірності один, тоді еквівалентними є твердження:
- A є цілозамкнутою.
- максимальний ідеал of A є головним.
- A є кільце дискретного нормування (еквівалентно A є кільцем Дедекінда.)
- A є регулярним локальним кільцем.
Нетерова область цілісності є кільцем Круля тоді і тільки тоді, коли вона є цілозамкнутою.
Нехай A — нетерова цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Ціле замиканням області A в полі L є кільцем Нетер.
Якщо A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A, то для довільного простого ідеала кільця A, якщо — мінімальний простий ідеал кільця S, що містить тоді Зокрема для цього випадку теорема спуску виконується без додаткових умов.
Нехай A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A. Тоді для довільного ідеала кільця S виконується рівність , де позначає висоту ідеала.
Нормальні кільця
Нормальним кільцем називається кільце, для якого всі локалізації за простими ідеалами є цілозамкнутими областями. Таке кільце є редукованим, тобто не містить нільпотентних елементів крім 0,. Якщо A є нетеровим кільцем, для якого всі локалізації за максимальними ідеалами є областями цілісності, то A є скінченним добутком областей цілісності. Зокрема, якщо A є нетеровим нормальним кільцем, то воно є скінченним добутком цілозамкнутих областей. Навпаки, скінченний добуток цілозамкнутих областей є нормальним кільцем.
Нехай A — нетерове кільце. Критерій Серра стверджує, що A є нормальним, якщо і тільки якщо воно задовольняє такі умови: для будь-якого простого ідеала ,
- (i) якщо має висоту , то є регулярним локальним кільцем (тобто, є кільце дискретного нормування.)
- (ii) якщо має висоту , то має глибину .
Цілком цілозамкнуті області
Нехай A — область і K її поле часток. Елемент називається майже цілим над A якщо підкільце A[x] кільця K породжене A і x є дробовим ідеалом кільця A; тобто, якщо існує , для якого для всіх . Область A називається цілком цілозамкнутою якщо всі майже цілі елементи поля K належать A. Цілком цілозамкнута область є цілозамкнутою. Навпаки, нетерова цілозамкнута область є цілком цілозамкнутою.
Припустимо, що область A є цілком цілозамкнутою. Тоді кільце формальних степеневих рядів є цілком цілозамкнутим. Аналог цього твердження для цілозамкнутих областей є невірним: якщо R є кільцем нормування висоти не менше 2 (це кільце є цілозамкнутим), то не є цілозамкнутим Нехай L — розширення поля K. Тоді ціле замикання кільця A в L є цілком цілозамкнутим.
Область цілісності є цілком цілозамкнутою, якщо і тільки якщо моноїд дивізорів A є групою.
Локалізація цілком цілозамкнутого кільця може не бути цілком цілозамкнутою.
Див. також
Примітки
- Robert B. Ash, A Course In Commutative Algebra. Ch 3 Valuation Rings [ 14 листопада 2017 у Wayback Machine.], ст. 4.
- Matsumura, теорема 9.2
- Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими (наприклад областями цілісності), то R теж є редукованим. Доведення: Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем.
- Kaplansky, теорема 168, pg 119.
- Matsumura 1989, p. 64
- Matsumura, Commutative algebra, pg. 125.
- Matsumura, Exercise 10.4
- Bourbaki, Ch. VII, § 1, n. 2, теорема 1
Література
- Дрозд, Ю. А. (2004). (PDF). Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN . Архів оригіналу (PDF) за 22 травня 2011. Процитовано 14 листопада 2017. (укр.)
- Bourbaki (1972). Commutative Algebra.
- Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
- Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative rings. Lectures в Mathematics. University of Chicago Press. ISBN .
- Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative ring Theory. Cambridge Studies в Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN .
- Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative Algebra. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V komutativnij algebri cilozamknutoyu oblastyu A nazivayetsya oblast cilisnosti yaka ye rivnoyu cilomu zamikannyu yiyi polya chastok PrikladiBagato vazhlivih oblastej cilisnosti ye cilozamknutimi Bud yaka oblast golovnih idealiv zokrema bud yaka pole Bud yake faktorialne kilce i yak naslidok bud yake kilce mnogochleniv nad faktorialnim kilcem Nehaj Q pole chastok faktorialnogo kilcya A i element r a b Q a b A displaystyle r a b in Q a b in A cilij nad A rm c1rm 1 cm 0 displaystyle r m c 1 r m 1 ldots c m 0 de ci A displaystyle c i in A Pripustimo sho a i b ne mayut spilnih dilnikiv za vinyatkom oborotnih elementiv Ale am c1am 1b bmcm 0 displaystyle a m c 1 a m 1 b ldots b m c m 0 otzhe am displaystyle a m dilitsya na b sho mozhlivo lishe yaksho b ye oborotnim Tomu 1 b A displaystyle 1 b in A i zvidsi r A displaystyle r in A Bud yaka oblast najbilshih spilnih dilnikiv zokrema kilce Bezu chi kilce normuvannya Bud yake kilce Dedekinda ye cilozamknutoyu oblastyu Dovilna simetrichna algebra nad polem oskilki kozhna simetrichna algebra ye izomorfnoyu kilcyu mnogochleniv vid kilkoh zminnih nad polem Regulyarni lokalni kilcya ye cilozamknutimi Priklad oblasti cilisnosti sho ne ye cilozamknutoyu nehaj k pole i A k t2 t3 B k t displaystyle A k t 2 t 3 subset B k t A ye pidalgebra porodzhena t2 i t3 A i B mayut odnakove pole chastok i B ye cilim zamikannyam kilcya A B ye faktorialnim kilcem i tomu oblast A ne ye cilozamknutoyu Cej priklad pov yazanij z faktom sho ploska kriva Y2 X3 displaystyle Y 2 X 3 maye osoblivu tochku na pochatku koordinat VlastivostiNehaj A cilozamknuta oblast Dlya dovilnoyi multiplikativnoyi sistemi S A displaystyle S subset A lokalizaciya S 1A displaystyle S 1 A ye cilozamknutoyu oblastyu Ototozhnimo S 1A displaystyle S 1 A z pidkilcem a s s S displaystyle a s s in S polya chastok Q displaystyle Q Pripustimo sho r Q displaystyle r in Q ye cilim nad S 1A displaystyle S 1 A tobto rm c1rm 1 cm 0 displaystyle r m c 1 r m 1 ldots c m 0 de ci ai s displaystyle c i a i s tut ai A s S displaystyle a i in A s in S ochevidno dlya vsih ci displaystyle c i mozhna vibrati spilnij znamennik Todi sr m a1 sr m 1 sa2 sr m 2 sm 1am 0 displaystyle sr m a 1 sr m 1 sa 2 sr m 2 ldots s m 1 a m 0 zvidki sr A displaystyle sr in A i r sr s S 1A displaystyle r sr s in S 1 A Dlya oblast cilisnosti A nastupni umovi ye ekvivalentnimi A ye cilozamknutoyu Ap lokalizaciya A za prostim idealom p ye cilozamknutoyu dlya kozhnogo prostogo idealu p Am ye cilozamknutoyu dlya kozhnogo maksimalnogo idealu m Te sho lokalizaciyi za maksimalnimi i prostimi idealami ye oblastyami cilisnosti ye naslidkom poperednoyi vlastivosti Zalishayetsya lishe dovesti sho yaksho vsi lokalizaciyi A za maksimalnimi idealami ye cilozamknutimi to i A ye cilozamknutoyu Nehaj element r Q displaystyle r in Q ye cilim nad A Todi vin ye cilim nad vsima Am dlya vsih maksimalnih idealiv zvidki r m Maxspec AAm displaystyle r in bigcap m in operatorname Maxspec A A m Tozh zalishayetsya dovesti sho dlya dovilnoyi oblasti cilisnosti A m Maxspec AAm displaystyle A bigcap m in operatorname Maxspec A A m Nehaj r m Maxspec AAm displaystyle r in bigcap m in operatorname Maxspec A A m Poklademo I a A ar A displaystyle I a in A ar in A Cya mnozhina ye idealom v A i dlya kozhnogo maksimalnogo ideala m v kilci A I m displaystyle I not subset m oskilki r Am displaystyle r in A m mozhe buti zapisanim yak r b a displaystyle r b a de a A m b A displaystyle a in A setminus m b in A zvidki a I m displaystyle a in I setminus m Tomu I A displaystyle I A otzhe 1 I displaystyle 1 in I i r 1r A displaystyle r 1r in A Natomist cilozamknutist mozhe ne zberigatisya pri perehodi do faktorkilcya napriklad kilce Z t t2 4 ne ye cilozamknutim Oblast cilisnosti ye cilozamknutoyu yaksho i tilki yaksho vona rivna peretinu vsih kilec normuvannya sho mistyat yiyi Nehaj A cilozamknuta oblast z polem chastok Q i nehaj L skinchenne rozshirennya polya Q Todi element x L displaystyle x in L ye cilim nad A yaksho i tilki yaksho jogo minimalnij mnogochlen nad Q maye koeficiyenti u poli A Zvidsi viplivaye zokrema sho cilij element nad cilozamknutoyu oblastyu A maye minimalnij mnogochlen nad A Ce tverdzhennya ye silnishim nizh te sho bud yaka cilij element ye korenem mnogochlena zi starshim koeficiyentom rivnim 1 i mozhe buti nepravilnim bez vimogi cilozamknutosti napriklad dlya kilcya A Z 5 displaystyle A mathbb Z sqrt 5 Rozglyanemo rozshirennya L L displaystyle L supseteq L take sho ma x i 1m x ai displaystyle mu a x prod i 1 m x a i dlya deyakih ai L displaystyle a i in L Oskilki ma x displaystyle mu a x ye nezvidnim Q ai Q a displaystyle Q a i equiv Q a i cej izomorfizm ye totozhnim na Q displaystyle Q Otzhe kozhen element ai displaystyle a i ye takozh cilim nad A Ale koeficiyenti ma x displaystyle mu a x ye mnogochlenami vid ai displaystyle a i z cilimi koeficiyentami elementarnimi simetrichnimi mnogochlenami otzhe voni takozh cili nad A Oskilki A ye cilozamknutoyu oblastyu to vsi ci koeficiyenti nalezhat A Dlya cilozamknutoyi oblasti A z polem chastok Q spravedlivoyu ye versiya lemi Gausa nehaj f A x displaystyle f in A x mnogochlen starshij koeficiyent yakogo rivnij 1 Nehaj takozh f gh displaystyle f gh de f g Q x displaystyle f g in Q x i starshij koeficiyent g displaystyle g rivnij 1 Todi g A x displaystyle g in A x Dostatno dovesti ce tverdzhennya dlya nezvidnogo g Rozglyanemo bud yakij jogo korin a v deyakomu rozshirenni polya Q Oskilki f a 0 displaystyle f a 0 to a ye cilim nad A Ale g x ma x displaystyle g x mu a x oskilki g ye nezvidnim otzhe zgidno poperednoyi vlastivosti g A x displaystyle g in A x Yaksho A cilozamknuta oblast to kilce mnogochleniv A x displaystyle A x tezh bude cilozamknutoyu oblastyu Nehaj f Q x Frac A x displaystyle f in Q x operatorname Frac A x ye cilim elementom nad A x displaystyle A x Todi vin ochevidno ye takozh cilim nad Q x displaystyle Q x Ale Q x displaystyle Q x ye kilcem golovnih idealiv i tomu cilozamknutim Tozh f Q x displaystyle f in Q x Zalishayetsya dovesti sho dlya cilozamknutoyi oblasti A displaystyle A kilce A x displaystyle A x ye cilozamknutim u Q x displaystyle Q x Pripustimo sho f Q x displaystyle f in Q x ye cilim elementom nad A x displaystyle A x tobto fn an 1 x fn 1 a1 x f a0 x 0 displaystyle f n a n 1 x f n 1 cdots a 1 x f a 0 x 0 dlya deyakih ai x A x displaystyle a i x in A x Nehaj m displaystyle m cile chislo bilshe nizh stepin f displaystyle f i vsi stepeni ai displaystyle a i Poznachimo f1 x f x xm displaystyle f 1 x f x x m Yaksho poznachiti q t tn an 1 x tn 1 a1 x t a0 x displaystyle q t t n a n 1 x t n 1 cdots a 1 x t a 0 x to f1 displaystyle f 1 ye korenem mnogochlena q1 t q t tm displaystyle q 1 t q t t m Zauvazhimo sho q1 t tn bn 1 x tn 1 b1 x t b0 x displaystyle q 1 t t n b n 1 x t n 1 cdots b 1 x t b 0 x i b0 x q xm displaystyle b 0 x q x m maye starshij koeficiyent rivnij 1 Oskilki f1 f1n 1 bn 1 t f1n 2 b1 x b0 x displaystyle f 1 f 1 n 1 b n 1 t f 1 n 2 cdots b 1 x b 0 x i f1 displaystyle f 1 i b0 displaystyle b 0 mayut starshi koeficiyenti 1 to z lemi Gausa otrimuyemo sho koeficiyenti mnogochlena f1 displaystyle f 1 nalezhat A i tezh same ye pravilnim dlya mnogochlena f x f1 x xm displaystyle f x f 1 x x m sho zavershuye dovedennya Induktivna granicya cilozamknutih oblastej ye cilozamknutoyu oblastyu Nehaj A cilozamknuta oblast z polem chastok Q i L ye normalnim rozshirennyam polya Q z grupoyu Galua G G L Q Nehaj takozh S ye cilim zamikannyam oblasti A v poli L Todi i G ye grupoyu A avtomorfizmiv kilcya S ii Prosti ideali P and P kilcya S lezhat nad spilnim prostim idealom P kilcya R tobto P A P A P displaystyle P cap A P cap A P todi i tilki todi koli isnuye s G s P P displaystyle sigma in G sigma P P dd Teorema pro spusk Nehaj A cilozamknuta oblast i S oblast cilisnosti sho ye cilim rozshirennyam A Nehaj P1 P2 Pn displaystyle P 1 supset P 2 supset ldots supset P n spadna poslidovnist prostih idealiv kilcya A i P 1 prostij ideal kilcya S dlya yakogo P1 A P1 displaystyle P 1 cap A P 1 Todi isnuye spadna poslidovnist P1 P2 Pn displaystyle P 1 supset P 2 supset ldots supset P n prostih idealiv kilcya S dlya yakih Pi A Pi displaystyle P i cap A P i Nehaj A cilozamknuta oblast z polem chastok Q i L skinchenne separabelne rozshirennya polya Q Nehaj S ye cilim zamikannyam oblasti A v poli L Todi isnuye bazis e1 e2 en displaystyle e 1 e 2 e n polya L nad Q dlya yakogo S i 1nAei displaystyle S subset sum i 1 n Ae i Yaksho A ye kilcem golovnih idealiv to mozhna vibrati takij bazis shob v cij formuli vikonuvalasya rivnist Neterova cilozamknuta oblastNehaj A ye neterovoyu oblastyu cilisnosti Todi A ye cilozamknutoyu yaksho i tilki yaksho vikonuyutsya umovi A ye peretinom vsih lokalizacij Ap displaystyle A mathfrak p za prostimi idealami p displaystyle mathfrak p visoti 1 i lokalizaciyi Ap displaystyle A mathfrak p za prostimi idealami p displaystyle mathfrak p visoti 1 ye kilcyami diskretnogo normuvannya Dlya neterovoyi lokalnoyi oblasti A rozmirnosti odin todi ekvivalentnimi ye tverdzhennya A ye cilozamknutoyu maksimalnij ideal of A ye golovnim A ye kilce diskretnogo normuvannya ekvivalentno A ye kilcem Dedekinda A ye regulyarnim lokalnim kilcem Neterova oblast cilisnosti ye kilcem Krulya todi i tilki todi koli vona ye cilozamknutoyu Nehaj A neterova cilozamknuta oblast z polem chastok Q i L skinchenne separabelne rozshirennya polya Q Cile zamikannyam oblasti A v poli L ye kilcem Neter Yaksho A neterova cilozamknuta oblast a S neterova oblast sho ye skinchennim rozshirennyam kilcya A to dlya dovilnogo prostogo ideala p displaystyle mathfrak p kilcya A yaksho B displaystyle mathfrak B minimalnij prostij ideal kilcya S sho mistit p displaystyle mathfrak p todi B A p displaystyle mathfrak B cap A mathfrak p Zokrema dlya cogo vipadku teorema spusku vikonuyetsya bez dodatkovih umov Nehaj A neterova cilozamknuta oblast a S neterova oblast sho ye skinchennim rozshirennyam kilcya A Todi dlya dovilnogo ideala B displaystyle mathfrak B kilcya S vikonuyetsya rivnist ht B A ht B displaystyle operatorname ht mathfrak B cap A operatorname ht mathfrak B de ht displaystyle operatorname ht poznachaye visotu ideala Normalni kilcyaNormalnim kilcem nazivayetsya kilce dlya yakogo vsi lokalizaciyi za prostimi idealami ye cilozamknutimi oblastyami Take kilce ye redukovanim tobto ne mistit nilpotentnih elementiv krim 0 Yaksho A ye neterovim kilcem dlya yakogo vsi lokalizaciyi za maksimalnimi idealami ye oblastyami cilisnosti to A ye skinchennim dobutkom oblastej cilisnosti Zokrema yaksho A ye neterovim normalnim kilcem to vono ye skinchennim dobutkom cilozamknutih oblastej Navpaki skinchennij dobutok cilozamknutih oblastej ye normalnim kilcem Nehaj A neterove kilce Kriterij Serra stverdzhuye sho A ye normalnim yaksho i tilki yaksho vono zadovolnyaye taki umovi dlya bud yakogo prostogo ideala p displaystyle mathfrak p i yaksho p displaystyle mathfrak p maye visotu 1 displaystyle leq 1 to Ap displaystyle A mathfrak p ye regulyarnim lokalnim kilcem tobto Ap displaystyle A mathfrak p ye kilce diskretnogo normuvannya ii yaksho p displaystyle mathfrak p maye visotu 2 displaystyle geq 2 to Ap displaystyle A mathfrak p maye glibinu 2 displaystyle geq 2 Cilkom cilozamknuti oblastiNehaj A oblast i K yiyi pole chastok Element x K displaystyle x in K nazivayetsya majzhe cilim nad A yaksho pidkilce A x kilcya K porodzhene A i x ye drobovim idealom kilcya A tobto yaksho isnuye d 0 displaystyle d neq 0 dlya yakogo dxn A displaystyle dx n in A dlya vsih n 0 displaystyle n geq 0 Oblast A nazivayetsya cilkom cilozamknutoyu yaksho vsi majzhe cili elementi polya K nalezhat A Cilkom cilozamknuta oblast ye cilozamknutoyu Navpaki neterova cilozamknuta oblast ye cilkom cilozamknutoyu Pripustimo sho oblast A ye cilkom cilozamknutoyu Todi kilce formalnih stepenevih ryadiv A X displaystyle A X ye cilkom cilozamknutim Analog cogo tverdzhennya dlya cilozamknutih oblastej ye nevirnim yaksho R ye kilcem normuvannya visoti ne menshe 2 ce kilce ye cilozamknutim to R X displaystyle R X ne ye cilozamknutim Nehaj L rozshirennya polya K Todi cile zamikannya kilcya A v L ye cilkom cilozamknutim Oblast cilisnosti ye cilkom cilozamknutoyu yaksho i tilki yaksho monoyid divizoriv A ye grupoyu Lokalizaciya cilkom cilozamknutogo kilcya mozhe ne buti cilkom cilozamknutoyu Div takozhKilce normuvannya Faktorialne kilcePrimitkiRobert B Ash A Course In Commutative Algebra Ch 3 Valuation Rings 14 listopada 2017 u Wayback Machine st 4 Matsumura teorema 9 2 Yaksho vsi lokalizaciyi za maksimalnimi idealami komutativnogo kilcya R ye redukovanimi napriklad oblastyami cilisnosti to R tezh ye redukovanim Dovedennya Pripustimo x ye nenulovim elementom v R i xn 0 Anigilyator ann x mistitsya v deyakomu maksimalnomu ideali m displaystyle mathfrak m Obraz elementa x ye nenulovim v lokalizaciyi kilcya R za idealom m displaystyle mathfrak m oskilki v inshomu vipadku xs 0 displaystyle xs 0 dlya deyakogo s m displaystyle s not in mathfrak m i s displaystyle s nalezhit anigilyatoru x vsuperech oznachennyu m displaystyle mathfrak m Tomu lokalizaciya R za m displaystyle mathfrak m ne ye redukovanim kilcem Kaplansky teorema 168 pg 119 Matsumura 1989 p 64 Matsumura Commutative algebra pg 125 Matsumura Exercise 10 4 Bourbaki Ch VII 1 n 2 teorema 1LiteraturaDrozd Yu A 2004 PDF Lviv VNTL Klasika ISBN 9667493539 Arhiv originalu PDF za 22 travnya 2011 Procitovano 14 listopada 2017 ukr Bourbaki 1972 Commutative Algebra Gopalakrishnan N S 1984 Commutative Algebra Oxonian Press s 290 Kaplansky Irving September 1974 Commutative rings Lectures v Mathematics University of Chicago Press ISBN 0 226 42454 5 Matsumura Hideyuki 1989 Commutative ring Theory Cambridge Studies v Advanced Mathematics vid 2nd Cambridge University Press ISBN 0 521 36764 6 Matsumura Hideyuki 1970 Commutative Algebra ISBN 0 8053 7026 9