Глибина (теорія кілець)

В комутативній алгебрі глибиною модуля називається одна з важливих характеристик модуля над комутативним кільцем. Особливо важливим є випадок модулів над локальними нетеровими кільцями. Поняття вперше було введено Осландером і Бухсбаумом у 1956 році

Означення

Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне кільце Нетер і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Послідовність елементів ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}\in R}$, називається M-регулярною, якщо для всіх ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$ елемент ${\displaystyle a_{i}}$ не є дільником нуля в модулі

${\displaystyle M/(a_{1},\ldots ,a_{i-1})M,}$

тобто з того, що ${\displaystyle a_{i}x=0}$, де ${\displaystyle x}$ — деякий елемент вказаного модуля, випливає, що ${\displaystyle x=0}$.

I-глибина модуля ${\displaystyle M}$ дорівнює довжині найбільшої М-регулярної послідовності, складеної з елементів ідеала ${\displaystyle I}$. У випадку локального кільця ${\displaystyle R}$ за ${\displaystyle I}$ приймають зазвичай максимальний ідеал і тоді використовується термін глибина модуля ${\displaystyle M}$.

Еквівалентно I-глибиною модуля ${\displaystyle M}$ називається найменше ціле число ${\displaystyle n}$, для якого ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0.}$

Для позначення глибини модуля використовують ${\displaystyle \operatorname {depth} _{I}(M)}$ або ${\displaystyle \operatorname {prof} _{I}(M)}$.

Властивості

• Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді правильною є нерівність

${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leqslant \dim(M),}$

де в правій частині є розмірність Круля для модуля, що за означенням рівна ${\displaystyle \operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$. Кільця для яких глибина рівна розмірності Круля називаються кільцями Коена — Маколея.

• Формула Аусландера — Бухсбаума. Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо проективна розмірність модуля ${\displaystyle M}$ є скінченною, то виконується рівність

${\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).}$

• Справедливою є наступна формула:

${\displaystyle \operatorname {depth} _{I}(M)=\inf _{{\mathfrak {p}}\supset I}\operatorname {depth} _{I}(M_{\mathfrak {p}})}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ позначає простий ідеал кільця ${\displaystyle R}$, а ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ розглядається як модуль над локальним кільцем ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$.

• Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=0}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ є асоційованим простим ідеалом модуля ${\displaystyle R.}$
• Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Нехай елемент ${\displaystyle a\in {\mathfrak {m}}}$ не є дільником нуля для модуля ${\displaystyle M.}$ Тоді ${\displaystyle \mathrm {depth} (M/aM)=\mathrm {depth} (M)-1.}$
• Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо ${\displaystyle {\hat {R}},{\hat {M}}}$ — поповнення відповідно кільця і модуля по ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адичній фільтрації, то ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} ({\hat {M}})}$.
• Твердження ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)\geqslant n}$ рівнозначно тому, що модулі локальних когомологій ${\displaystyle H_{i}^{I}(M)}$ дорівнюють нулю при ${\displaystyle i<n}$.
• Нехай ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ — точна послідовність скінченнопороджених модулів над комутативним нетеровим кільцем і ${\displaystyle I}$ — ідеал кільця, для якого ${\displaystyle IM'\neq M'\;IM\neq M\;IM''\neq M''}$. Тоді:

Якщо ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)<\mathrm {depth} _{I}(M'')}$ то ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M')=\mathrm {depth} _{I}(M)}$.

Якщо ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)>\mathrm {depth} _{I}(M'')}$ то ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M')=1+\mathrm {depth} _{I}(M)}$.

Якщо ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\mathrm {depth} _{I}(M'')}$ то ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M')>\mathrm {depth} _{I}(M)}$.

Див. також

• Довжина модуля
• Розмірність Круля

Джерела

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1956), Homological dimension in Noetherian rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42: 36—38
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp.
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.