Кільце Нетер

Кільце Нетер — в абстрактній алгебрі це таке асоціативне кільце з одиницею для якого справджується наступне твердження: нехай маємо деяку зростаючу послідовність ідеалів кільця:

${\displaystyle I_{1}\,\subseteq \,I_{2}\,\subseteq \,I_{3}\,\subseteq \,\cdots ,}$

тоді існує таке ${\displaystyle n}$ для якого:

${\displaystyle I_{n}\,=\,I_{n+1}\,=\,I_{n+2}\,=\,\cdots .}$

Якщо ідеали в означенні ліві, то кільце називається лівим кільцем Нетер, якщо праві  - правим кільцем Нетер. Якщо твердження виконується і для лівих і для правих ідеалів то кільце просто називається кільцем Нетер. Дані кільця названі на честь німецького математика Еммі Нетер (нім. Emmy Noether).

Альтернативні означення

Наступні два твердження є еквівалентними до означення кільця Нетер і, відповідно, самі можуть бути означеннями:

• Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожна непуста множина його ідеалів має максимальний елемент.
• Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожен його ідеал є скінченно породженим. Тобто для кожного ідеалу ${\displaystyle I}$ кільця ${\displaystyle R}$ існують такі елементи ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\in R}$, що ${\displaystyle I=\{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}:x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\in R\}}$.

Приклади

Приклади кілець Нетер:

• Будь-яке поле, зокрема раціональні, дійсні та комплексні числа.
• Кільце цілих чисел.
• Кільце многочленів з скінченною кількістю змінних і цілочисельними коефіцієнтами

чи коефіцієнтами з деякого поля.

Приклади кілець, що не є кільцями Нетер

• Кільце многочленів, з нескінченною кількістю змінних.
• Кільце неперервних функцій з множини дійсних функцій в множину дійсних функцій.

Властивості

• Теорема Гільберта про базис: для довільного кільця Нетер A кільце многочленів ${\displaystyle A[x]}$ є кільцем Нетер.
• Якщо A є кільцем Нетер то будь-яке фактор-кільце по двохсторонньому ідеалу є кільцем Нетер

Див. також

• Нетеровий топологічний простір

Література

• Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)