В комутативній алгебрі Формула Аусландера — Бухсбаума пов'язує поняття глибини і проективної розмірності скінченнопороджених модулів над локальними нетеровими кільцями. Формула доведена американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом у 1957 році.
Твердження
Нехай R — комутативне локальне нетерове кільце і M — ненульовий скінченнопороджений R-модуль із скінченною проективною розмірністю. Тоді
де pd позначає проективну розмірність модуля і depth — глибину кільця і модуля.
Доведення
Лема 1
Нехай R — локальне кільце і M — скінченнопороджений R-модуль. Якщо максимальний ідеал (еквівалентно всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля), то або
Доведення
Припустимо Якщо то можна знайти R-модуль M для якого Для цього потрібно побудувати частину проективної резольвенти
після чого побудувати вільний модуль F породжений елементами модуля Ядро природного відображення буде мати проективну розмірність 1 згідно властивостей проективних розмірностей.
Тому можна вважати, що Нехай — мінімальна породжуюча множина для M. Тоді M є факторкільцем вільного модуля F з базисом і ядром K. Таким чином одержана коротка точна послідовність
Також Справді довільний елемент K можна записати як де При відображенні в M ця сума є рівною 0. Якщо якийсь з елементів не належить то він є оборотним і у модулі M елемент є R-лінійною комбінацією інших породжуючих елементів, що суперечить мінімальності породжуючої множини. Тож
Оскільки то K є проективним модулем, а як скінченнопороджений модуль над локальним кільцем то також і вільним R-модулем. Оскільки то є анулятором деякого елемента Оскільки то а оскільки це суперечить тому, що K є вільним R-модулем.
Лема 2
Нехай R локальне кільце, — необоротний елемент, що не є дільником нуля у R. Позначимо Нехай M — скінченнопороджений R-модуль скінченної проективної розмірності для якого a не є дільником нуля. Тоді
Доведення
Доведення індукцією по Якщо n = 0, M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем), тобто є прямою сумою копій R. Тоді M/aM є прямою сумою копій тобто є вільним -модулем.
Припустимо n > 0 і розглянемо точну послідовність де F — вільний модуль. Оскільки a не є дільником нуля у M, звідси одержується точна послідовність -модулів
Якщо M/aM є вільним -модулем, то M є вільним R-модулем. Справді, нехай є базою M/aM як -модуля. Нехай є прообразами цих елементів щодо відображення Згідно леми Накаями, є породжуючою множиною M.
Для доведення того, що є лінійно незалежними над R, розглянемо лінійне рівняння Тоді також у M/aM і тому Тому можна записати і і з того, що a не є дільником нуля у M, також За тими ж аргументами, що й вище, a ділить кожен тож якщо взяти то Таким чином для кожного i одержується послідовність ідеалів кільця R, Оскільки R є нетеровим кільцем, ця послідовність зрештою стабілізується для кожного i.
Тому можна вважати, що для кожного i. Тоді і оскільки то Оскільки то є оборотним елементом і всі і тому всі тобто є лінійно незалежними над R.
Також і за припущенням індукції Із цього і точної послідовності (*) випливає
Доведення формули Аусландера — Бухсбаума
Доведення теореми здійснюється індукцією по Припустимо У цьому випадку результат доводиться індукцією по Якщо то всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля і тому і, згідно леми 1, і формула є вірною.
Припустимо Також можна вважати , оскільки якщо то M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем) і тоді і формула є вірною.
З того, що випливає, що і тому існує елемент для якого Візьмемо точну послідовність R-модулів
де F — вільний модуль і елемент для якого Тоді і Оскільки можна вибрати що не є дільником нуля у R. Модуль F є вільним, тож a також не є дільником нуля у F і K. Якщо позначити і то бо є анулятором ненульового елемента Звідси Оскільки з леми 2, випливає, що
З того, що формула одержується індукцією по Модуль K/aK є скінченнопородженим ненульовим модулем над нульової глибини, то Але Тому що завершує доведення у випадку
Припустимо тепер, що Можна також вважати, що оскільки в іншому випадку і згідно леми 1 тобто M є вільним модулем і Оскільки не є асоційованим простим ідеалом ні для M ні для R то він не є підмножиною жодного з цих простих ідеалів і відповідно не є підмножиною їх об'єднання. Тому існує елемент який не є дільником нуля ні для R ні для M. Тоді і за індукцією Згідно леми 2, і тому
Застосування
З формули Аусландера — Бухсбаума випливає що локальне Нетерове кільце є регулярним якщо і тільки якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Звідси випливає, що локалізація регулярного локального кільця теж є регулярним локальним кільцем.
Якщо A є локальною скінченнопородженою R-алгеброю над регулярним локальним кільцем R, тоді з формули Аусландера — Бухсбаума випливає що A є кільцем Коена — Маколея якщо і тільки якщо, pdRA = codimRA.
Див. також
Література
- Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1957), Homological dimension in local rings, , 85: 390—405, doi:10.2307/1992937, ISSN 0002-9947, JSTOR 1992937, MR 0086822
- Srikanth Iyengar, Graham J. Leuschke, Anton Leykin, Claudia Miller, Ezra Miller (2007), Twenty-four hours of local cohomology, Graduate Studies in Mathematics, т. 87, American Mathematical Society, ISBN
- Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
- Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V komutativnij algebri Formula Auslandera Buhsbauma pov yazuye ponyattya glibini i proektivnoyi rozmirnosti skinchennoporodzhenih moduliv nad lokalnimi neterovimi kilcyami Formula dovedena amerikanskimi matematikami Morisom Auslanderom i Devidom Buhsbaumom u 1957 roci Zmist 1 Tverdzhennya 2 Dovedennya 2 1 Lema 1 2 1 1 Dovedennya 2 2 Lema 2 2 2 1 Dovedennya 2 3 Dovedennya formuli Auslandera Buhsbauma 3 Zastosuvannya 4 Div takozh 5 LiteraturaTverdzhennyared Nehaj R komutativne lokalne neterove kilce i M nenulovij skinchennoporodzhenij R modul iz skinchennoyu proektivnoyu rozmirnistyu Todi p d R M d e p t h M d e p t h R displaystyle mathrm pd R M mathrm depth M mathrm depth R nbsp de pd poznachaye proektivnu rozmirnist modulya i depth glibinu kilcya i modulya Dovedennyared Lema 1red Nehaj R lokalne kilce i M skinchennoporodzhenij R modul Yaksho maksimalnij ideal m Ass R displaystyle mathfrak m in operatorname Ass R nbsp ekvivalentno vsi elementi maksimalnogo idealu ye dilnikami nulya to pd R M 0 displaystyle operatorname pd R M 0 nbsp abo pd R M displaystyle operatorname pd R M infty nbsp Dovedennyared Pripustimo pd R M n gt 0 displaystyle operatorname pd R M n gt 0 nbsp Yaksho n lt displaystyle n lt infty nbsp to mozhna znajti R modul M dlya yakogo pd R M 1 displaystyle operatorname pd R M 1 nbsp Dlya cogo potribno pobuduvati chastinu proektivnoyi rezolventi E n 2 E 2 E 1 E 0 e M 0 displaystyle E n 2 rightarrow cdots rightarrow E 2 rightarrow E 1 rightarrow E 0 overset varepsilon longrightarrow M rightarrow 0 nbsp dd pislya chogo pobuduvati vilnij modul F porodzhenij elementami modulya E n 2 displaystyle E n 2 nbsp Yadro prirodnogo vidobrazhennya F E n 2 displaystyle F to E n 2 nbsp bude mati proektivnu rozmirnist 1 zgidno vlastivostej proektivnih rozmirnostej Tomu mozhna vvazhati sho pd R M 1 displaystyle operatorname pd R M 1 nbsp Nehaj x 1 x t displaystyle x 1 x t nbsp minimalna porodzhuyucha mnozhina dlya M Todi M ye faktorkilcem vilnogo modulya F z bazisom x 1 x t displaystyle x 1 x t nbsp i yadrom K Takim chinom oderzhana korotka tochna poslidovnist 0 K F M 0 displaystyle 0 to K to F to M to 0 nbsp Takozh K m F displaystyle K subset mathfrak m F nbsp Spravdi dovilnij element K mozhna zapisati yak i 1 t a i x i displaystyle sum i 1 t a i x i nbsp de a i R displaystyle a i in R nbsp Pri vidobrazhenni v M cya suma ye rivnoyu 0 Yaksho yakijs z elementiv a i displaystyle a i nbsp ne nalezhit m displaystyle mathfrak m nbsp to vin ye oborotnim i u moduli M element x i displaystyle x i nbsp ye R linijnoyu kombinaciyeyu inshih porodzhuyuchih elementiv sho superechit minimalnosti porodzhuyuchoyi mnozhini Tozh K m F displaystyle K subset mathfrak m F nbsp Oskilki pd R M 1 displaystyle operatorname pd R M 1 nbsp to K ye proektivnim modulem a yak skinchennoporodzhenij modul nad lokalnim kilcem to takozh i vilnim R modulem Oskilki m Ass R displaystyle mathfrak m in operatorname Ass R nbsp to m displaystyle mathfrak m nbsp ye anulyatorom deyakogo elementa 0 a R displaystyle 0 neq a in R nbsp Oskilki K m F displaystyle K subset mathfrak m F nbsp to a K 0 displaystyle aK 0 nbsp a oskilki 0 a displaystyle 0 neq a nbsp ce superechit tomu sho K ye vilnim R modulem Lema 2red Nehaj R lokalne kilce a R displaystyle a in R nbsp neoborotnij element sho ne ye dilnikom nulya u R Poznachimo R R a displaystyle R R a nbsp Nehaj M skinchennoporodzhenij R modul skinchennoyi proektivnoyi rozmirnosti dlya yakogo a ne ye dilnikom nulya Todi pd R M pd R M a M displaystyle operatorname pd R M operatorname pd R M aM nbsp Dovedennyared Dovedennya indukciyeyu po n pd R M displaystyle n operatorname pd R M nbsp Yaksho n 0 M ye vilnim modulem yak skinchennoporodzhenij proektivnij modul nad lokalnim kilcem tobto ye pryamoyu sumoyu kopij R Todi M aM ye pryamoyu sumoyu kopij R displaystyle R nbsp tobto ye vilnim R displaystyle R nbsp modulem Pripustimo n gt 0 i rozglyanemo tochnu poslidovnist 0 K F M 0 displaystyle 0 to K to F to M to 0 nbsp de F vilnij modul Oskilki a ne ye dilnikom nulya u M zvidsi oderzhuyetsya tochna poslidovnist R displaystyle R nbsp moduliv 0 K a K F a F M a M 0 displaystyle 0 to K aK to F aF to M aM to 0 quad nbsp Yaksho M aM ye vilnim R displaystyle R nbsp modulem to M ye vilnim R modulem Spravdi nehaj y 1 y n displaystyle y 1 y n nbsp ye bazoyu M aM yak R displaystyle R nbsp modulya Nehaj x 1 x n displaystyle x 1 x n nbsp ye proobrazami cih elementiv shodo vidobrazhennya M M a M displaystyle M to M aM nbsp Zgidno lemi Nakayami x 1 x n displaystyle x 1 x n nbsp ye porodzhuyuchoyu mnozhinoyu M Dlya dovedennya togo sho x 1 x n displaystyle x 1 x n nbsp ye linijno nezalezhnimi nad R rozglyanemo linijne rivnyannya i 1 n l i x i 0 l i R displaystyle sum i 1 n lambda i x i 0 lambda i in R nbsp Todi takozh i 1 n l i y i 0 displaystyle sum i 1 n bar lambda i y i 0 nbsp u M aM i tomu l i 0 1 i n displaystyle bar lambda i 0 1 leqslant i leqslant n nbsp Tomu mozhna zapisati l i m i a 1 i n displaystyle lambda i mu i a 1 leqslant i leqslant n nbsp i m i a x i 0 displaystyle sum mu i ax i 0 nbsp i z togo sho a ne ye dilnikom nulya u M takozh m i a x i 0 displaystyle sum mu i ax i 0 nbsp Za timi zh argumentami sho j vishe a dilit kozhen m i displaystyle mu i nbsp tozh yaksho vzyati m i n i a displaystyle mu i nu i a nbsp to n i x i 0 displaystyle sum nu i x i 0 nbsp Takim chinom dlya kozhnogo i oderzhuyetsya poslidovnist idealiv kilcya R l i m i n i displaystyle lambda i subset mu i subset nu i subset ldots nbsp Oskilki R ye neterovim kilcem cya poslidovnist zreshtoyu stabilizuyetsya dlya kozhnogo i Tomu mozhna vvazhati sho l i m i displaystyle lambda i mu i nbsp dlya kozhnogo i Todi m i s i l i s i R displaystyle mu i sigma i lambda i sigma i in R nbsp i oskilki l i m i a displaystyle lambda i mu i a nbsp to m i 1 s i a 0 displaystyle mu i 1 sigma i a 0 nbsp Oskilki a m displaystyle a in mathfrak m nbsp to 1 s i a displaystyle 1 sigma i a nbsp ye oborotnim elementom i vsi m i 0 displaystyle mu i 0 nbsp i tomu vsi l i 0 displaystyle lambda i 0 nbsp tobto x 1 x n displaystyle x 1 x n nbsp ye linijno nezalezhnimi nad R Takozh pd R K n 1 lt displaystyle operatorname pd R K n 1 lt infty nbsp i za pripushennyam indukciyi pd R K a K n 1 displaystyle operatorname pd R K aK n 1 nbsp Iz cogo i tochnoyi poslidovnosti viplivaye pd R M a M n pd R M displaystyle operatorname pd R M aM n operatorname pd R M nbsp Dovedennya formuli Auslandera Buhsbaumared Dovedennya teoremi zdijsnyuyetsya indukciyeyu po d e p t h M displaystyle mathrm depth M nbsp Pripustimo d e p t h M 0 displaystyle mathrm depth M 0 nbsp U comu vipadku rezultat dovoditsya indukciyeyu po d e p t h R displaystyle mathrm depth R nbsp Yaksho d e p t h R 0 displaystyle mathrm depth R 0 nbsp to vsi elementi maksimalnogo idealu m displaystyle mathfrak m nbsp ye dilnikami nulya i tomu m Ass R displaystyle mathfrak m in operatorname Ass R nbsp i zgidno lemi 1 pd R M 0 displaystyle operatorname pd R M 0 nbsp i formula ye virnoyu Pripustimo d e p t h R gt 0 displaystyle mathrm depth R gt 0 nbsp Takozh mozhna vvazhati pd R M gt 0 displaystyle operatorname pd R M gt 0 nbsp oskilki yaksho pd R M 0 displaystyle operatorname pd R M 0 nbsp to M ye vilnim modulem yak skinchennoporodzhenij proektivnij modul nad lokalnim kilcem i todi d e p t h M d e p t h R displaystyle mathrm depth M mathrm depth R nbsp i formula ye virnoyu Z togo sho d e p t h M 0 displaystyle mathrm depth M 0 nbsp viplivaye sho m Ass M displaystyle mathfrak m in operatorname Ass M nbsp i tomu isnuye element y M y 0 displaystyle y in M y neq 0 nbsp dlya yakogo m y 0 displaystyle mathfrak m y 0 nbsp Vizmemo tochnu poslidovnist R moduliv 0 K F ϕ M 0 displaystyle 0 to K to F overset phi longrightarrow M to 0 nbsp de F vilnij modul i element x F displaystyle x in F nbsp dlya yakogo ϕ x y displaystyle phi x y nbsp Todi x K displaystyle x not in K nbsp i m x K displaystyle mathfrak m x subset K nbsp Oskilki d e p t h R gt 0 displaystyle mathrm depth R gt 0 nbsp mozhna vibrati a m displaystyle a in mathfrak m nbsp sho ne ye dilnikom nulya u R Modul F ye vilnim tozh a takozh ne ye dilnikom nulya u F i K Yaksho poznachiti R R a displaystyle R R a nbsp i m m a displaystyle mathfrak m mathfrak m a nbsp to m Ass K a K displaystyle mathfrak m in operatorname Ass K aK nbsp bo m displaystyle mathfrak m nbsp ye anulyatorom nenulovogo elementa a x a K K a K displaystyle ax aK in K aK nbsp Zvidsi d e p t h R K a K 0 displaystyle mathrm depth R K aK 0 nbsp Oskilki pd R K pd R M 1 lt displaystyle operatorname pd R K operatorname pd R M 1 lt infty nbsp z lemi 2 viplivaye sho pd R K a K pd R K lt displaystyle operatorname pd R K aK operatorname pd R K lt infty nbsp Z togo sho d e p t h R d e p t h R 1 displaystyle mathrm depth R mathrm depth R 1 nbsp formula oderzhuyetsya indukciyeyu po R displaystyle R nbsp Modul K aK ye skinchennoporodzhenim nenulovim modulem nad R displaystyle R nbsp nulovoyi glibini to pd R K a K d e p t h R displaystyle operatorname pd R K aK mathrm depth R nbsp Ale pd R K a K pd R K pd R M 1 displaystyle operatorname pd R K aK operatorname pd R K operatorname pd R M 1 nbsp Tomu pd R M d e p t h R displaystyle operatorname pd R M mathrm depth R nbsp sho zavershuye dovedennya u vipadku d e p t h M 0 displaystyle mathrm depth M 0 nbsp Pripustimo teper sho d e p t h M gt 0 displaystyle mathrm depth M gt 0 nbsp Mozhna takozh vvazhati sho d e p t h R gt 0 displaystyle mathrm depth R gt 0 nbsp oskilki v inshomu vipadku m Ass R displaystyle mathfrak m in operatorname Ass R nbsp i zgidno lemi 1 pd R M 0 displaystyle operatorname pd R M 0 nbsp tobto M ye vilnim modulem i d e p t h M d e p t h R displaystyle mathrm depth M mathrm depth R nbsp Oskilki m displaystyle mathfrak m nbsp ne ye asocijovanim prostim idealom ni dlya M ni dlya R to vin ne ye pidmnozhinoyu zhodnogo z cih prostih idealiv i vidpovidno ne ye pidmnozhinoyu yih ob yednannya Tomu isnuye element a m displaystyle a in mathfrak m nbsp yakij ne ye dilnikom nulya ni dlya R ni dlya M Todi d e p t h R a M a M d e p t h M 1 displaystyle mathrm depth R a M aM mathrm depth M 1 nbsp i za indukciyeyu pd R M a M d e p t h R a M a M d e p t h R a displaystyle operatorname pd R M aM mathrm depth R a M aM mathrm depth R a nbsp Zgidno lemi 2 pd R a M a M pd R M displaystyle operatorname pd R a M aM operatorname pd R M nbsp i tomu pd R M d e p t h R M 1 d e p t h R a d e p t h R displaystyle operatorname pd R M mathrm depth R M 1 mathrm depth R a mathrm depth R nbsp Zastosuvannyared Z formuli Auslandera Buhsbauma viplivaye sho lokalne Neterove kilce ye regulyarnim yaksho i tilki yaksho vono maye skinchennu globalnu rozmirnist Zvidsi viplivaye sho lokalizaciya regulyarnogo lokalnogo kilcya tezh ye regulyarnim lokalnim kilcem Yaksho A ye lokalnoyu skinchennoporodzhenoyu R algebroyu nad regulyarnim lokalnim kilcem R todi z formuli Auslandera Buhsbauma viplivaye sho A ye kilcem Koena Makoleya yaksho i tilki yaksho pdRA codimRA Div takozhred Glibina teoriya kilec Globalna rozmirnistLiteraturared Auslander Maurice Buchsbaum David A 1957 Homological dimension in local rings Transactions of American Mathematical Society 85 390 405 doi 10 2307 1992937 ISSN 0002 9947 JSTOR 1992937 MR 0086822 Srikanth Iyengar Graham J Leuschke Anton Leykin Claudia Miller Ezra Miller 2007 Twenty four hours of local cohomology Graduate Studies in Mathematics t 87 American Mathematical Society ISBN 9780821841266 Gopalakrishnan N S 1984 Commutative Algebra Oxonian Press s 290 Hideyuki Matsumura Commutative Ring Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8 Cambridge University Press Cambridge 1986 xiv 320 pp ISBN 0 521 25916 9 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Formula Auslandera Buhsbauma amp oldid 35036313