Лема Накаями — твердження в теорії кілець що має важливі застосування зокрема в алгебраїчної геометрії. Термін застосовуєть для кількох нееквівалентних тверджень, як для комутативних так і некомутативних кілець. У комутативному випадку лема є простим наслідком результатів лінійної алгебри зокрема правила Крамера або теореми Гамільтона — Келі. Лема названа на честь японського математика Тадасі Накаями, який вперше сформулював її у досить загальнму варіанті для некомутативних кілець. Часткові випадки, зокрема і комутативний варіант були відомі і раніше.
Варіант для комутативних кілець
Твердження і доведення
Нехай R — комутативне кільце з одиницею 1, I ідеал в R, а M — скінченнопороджений модуль над кільцем R. Якщо IM = M, тоді існує a ∈ I такий, що . |
Доведення леми. Нехай — твірні модуля M. Так як M = IM, кожен з них задовольняє рівність:
- , де — елементи ідеалу I. Тобто .
З формули Крамера для цієї системи випливає, що для довільного j
- .
Так як рівний 1 — a, для деякого a, що належить ідеалу I, лема доведена.
Наступний наслідок з доведеного твердження також відомий як лема Накаями:
Наслідок 1: Якщо в умовах леми ідеал I має властивість, що для кожного його елемента a елемент 1 — a є оборотним (наприклад, це так, якщо I міститься в радикалі Джекобсона), необхідно повинно бути M = 0.
Доведення. Існує елемент a ідеалу I, такий що , отже, , домножимо зліва на елемент, обернений до 1 — a, одержуємо, що M = 0.
Застосування до модулів над локальними кільцями
Нехай R — локальне кільце, — максимальний ідеал в R, M — скінченнопороджений R — модуль, і — гомоморфізм факторизації. Лема Накаями дає зручний засіб для переходу від модуля M над локальним кільцем R до фактор-модуля , який є скінченновимірним лінійним простором над полем . Наступне твердження також вважається однією з форм леми Накаями, для цього випадку:
Елементи породжують модуль M тоді і тільки тоді, коли їх образи породжують фактор-модуль . |
Доведення. Нехай S — підмодуль в M, породжений елементами , Q = M/S — фактор-модуль і — гомоморфізм факторизації. Так як породжують фактор-модуль , це означає, що для всякого існує , такий що . Тоді . Оскільки сюр'ективне, це означає, що . Згідно леми Накаями (точніше, згідно Наслідку 1) Q = 0, тобто S = M.
Справедливим є ще один варіант леми Накаями для модулів над локальними кільцями:
Нехай — гомоморфізм скінченнопороджених R — модулів. Він індукує гомоморфізм фактор-модулів . Ці гомоморфізми сюр'єктивні або не сюр'єктивні одночасно. |
На основі цієї форми леми Накаями виводиться наступна важлива теорема:
Всякий скінченнопороджений проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним. |
Квадрати скінченнопороджених ідеалів
Ще одним важливим наслідком леми Накаями є таке твердження: Нехай I — скінченнопороджений ідеал в комутативному кільці R і при цьому I не рівний самому кільцю і нульовому ідеалу. Тоді якщо I I = I (тобто ідеал рівний своєму квадрату), то ідеал I — головний, при чому елемент, що його породжує є ідемпотентним.
Справді оскільки скінченнопороджений ідеал є за означенням також скінченнопородженим модулем згідно леми Накаями, якщо I I = I то існує елемент e ∈ I такий, що . Звідси також e e = e тобто елемент e є ідемпотентом і R e є підмножиною I оскільки e ∈ I. Звідси I = R e.
Як наслідок жоден ненульовий власний скінченнопороджений ідеал області цілісності не рівний своєму квадату. Зокрема у кільці Нетер всі ненульові власні ідеали не рівні своєму квадрату.
Некомутативний випадок
У некомутативному випадку один з варіантів леми Накаями можна сформулювати так:
Нехай R — деяке довільне кільце з одиницею 1, M — скінченнопороджений правий модуль над кільцем R. Тоді якщо J(R) позначає радикал Джекобсона то J(R) M є власним підмодулем модуля M. |
Література
- М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
- Nakayama, Tadasi (1951), «A remark on finitely generated modules», Nagoya Mathematical Journal
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lema Nakayami tverdzhennya v teoriyi kilec sho maye vazhlivi zastosuvannya zokrema v algebrayichnoyi geometriyi Termin zastosovuyet dlya kilkoh neekvivalentnih tverdzhen yak dlya komutativnih tak i nekomutativnih kilec U komutativnomu vipadku lema ye prostim naslidkom rezultativ linijnoyi algebri zokrema pravila Kramera abo teoremi Gamiltona Keli Lema nazvana na chest yaponskogo matematika Tadasi Nakayami yakij vpershe sformulyuvav yiyi u dosit zagalnmu varianti dlya nekomutativnih kilec Chastkovi vipadki zokrema i komutativnij variant buli vidomi i ranishe Variant dlya komutativnih kilecTverdzhennya i dovedennya Nehaj R komutativne kilce z odiniceyu 1 I ideal v R a M skinchennoporodzhenij modul nad kilcem R Yaksho IM M todi isnuye a I takij sho am m m M displaystyle am m forall m in M Dovedennya lemi Nehaj m1 m2 mn displaystyle m 1 m 2 m n tvirni modulya M Tak yak M IM kozhen z nih zadovolnyaye rivnist mi ai1m1 ai2m2 ainmn displaystyle m i a i1 m 1 a i2 m 2 dots a in m n de aij displaystyle a ij elementi idealu I Tobto j dij aij mj 0 displaystyle sum limits j delta ij a ij m j 0 Z formuli Kramera dlya ciyeyi sistemi viplivaye sho dlya dovilnogo j det dij aij mj 0 displaystyle operatorname det delta ij a ij cdot m j 0 Tak yak det dij aij displaystyle operatorname det delta ij a ij rivnij 1 a dlya deyakogo a sho nalezhit idealu I lema dovedena Nastupnij naslidok z dovedenogo tverdzhennya takozh vidomij yak lema Nakayami Naslidok 1 Yaksho v umovah lemi ideal I maye vlastivist sho dlya kozhnogo jogo elementa a element 1 a ye oborotnim napriklad ce tak yaksho I mistitsya v radikali Dzhekobsona neobhidno povinno buti M 0 Dovedennya Isnuye element a idealu I takij sho am m m M displaystyle am m forall m in M otzhe a 1 m 0 m M displaystyle a 1 m 0 forall m in M domnozhimo zliva na element obernenij do 1 a oderzhuyemo sho M 0 Zastosuvannya do moduliv nad lokalnimi kilcyami Nehaj R lokalne kilce m displaystyle mathfrak m maksimalnij ideal v R M skinchennoporodzhenij R modul i ϕ M M mM displaystyle phi M to M mathfrak m M gomomorfizm faktorizaciyi Lema Nakayami daye zruchnij zasib dlya perehodu vid modulya M nad lokalnim kilcem R do faktor modulya M mM displaystyle M mathfrak m M yakij ye skinchennovimirnim linijnim prostorom nad polem R m displaystyle R mathfrak m Nastupne tverdzhennya takozh vvazhayetsya odniyeyu z form lemi Nakayami dlya cogo vipadku Elementi m1 m2 mn M displaystyle m 1 m 2 m n in M porodzhuyut modul M todi i tilki todi koli yih obrazi ϕ m1 ϕ m2 ϕ mn displaystyle phi m 1 phi m 2 phi m n porodzhuyut faktor modul M mM displaystyle M mathfrak m M Dovedennya Nehaj S pidmodul v M porodzhenij elementami m1 m2 mn displaystyle m 1 m 2 m n Q M S faktor modul i p M Q displaystyle pi M to Q gomomorfizm faktorizaciyi Tak yak ϕ m1 ϕ m2 ϕ mn displaystyle phi m 1 phi m 2 phi m n porodzhuyut faktor modul M mM displaystyle M mathfrak m M ce oznachaye sho dlya vsyakogo m M displaystyle m in M isnuye s S displaystyle s in S takij sho m s mM displaystyle m s in mathfrak m M Todi p m p m s mQ displaystyle pi m pi m s in mathfrak m Q Oskilki p displaystyle pi syur ektivne ce oznachaye sho Q mQ displaystyle Q mathfrak m Q Zgidno lemi Nakayami tochnishe zgidno Naslidku 1 Q 0 tobto S M Spravedlivim ye she odin variant lemi Nakayami dlya moduliv nad lokalnimi kilcyami Nehaj ϕ M N displaystyle phi M to N gomomorfizm skinchennoporodzhenih R moduliv Vin indukuye gomomorfizm faktor moduliv ϕ0 M mM N mN displaystyle phi 0 M mathfrak m M to N mathfrak m N Ci gomomorfizmi syur yektivni abo ne syur yektivni odnochasno Na osnovi ciyeyi formi lemi Nakayami vivoditsya nastupna vazhliva teorema Vsyakij skinchennoporodzhenij proyektivnij modul nad lokalnim kilcem ye vilnim Kvadrati skinchennoporodzhenih idealiv She odnim vazhlivim naslidkom lemi Nakayami ye take tverdzhennya Nehaj I skinchennoporodzhenij ideal v komutativnomu kilci R i pri comu I ne rivnij samomu kilcyu i nulovomu idealu Todi yaksho I I I tobto ideal rivnij svoyemu kvadratu to ideal I golovnij pri chomu element sho jogo porodzhuye ye idempotentnim Spravdi oskilki skinchennoporodzhenij ideal ye za oznachennyam takozh skinchennoporodzhenim modulem zgidno lemi Nakayami yaksho I I I to isnuye element e I takij sho em m m I displaystyle em m forall m in I Zvidsi takozh e e e tobto element e ye idempotentom i R e ye pidmnozhinoyu I oskilki e I Zvidsi I R e Yak naslidok zhoden nenulovij vlasnij skinchennoporodzhenij ideal oblasti cilisnosti ne rivnij svoyemu kvadatu Zokrema u kilci Neter vsi nenulovi vlasni ideali ne rivni svoyemu kvadratu Nekomutativnij vipadokU nekomutativnomu vipadku odin z variantiv lemi Nakayami mozhna sformulyuvati tak Nehaj R deyake dovilne kilce z odiniceyu 1 M skinchennoporodzhenij pravij modul nad kilcem R Todi yaksho J R poznachaye radikal Dzhekobsona to J R M ye vlasnim pidmodulem modulya M LiteraturaM Atya I Makdonald Vvedenie v kommutativnuyu algebru M Mir 1972 160 s Nakayama Tadasi 1951 A remark on finitely generated modules Nagoya Mathematical Journal