Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю:
Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від матриці як лінійні комбінації Твердження теореми є справедливим для матриць із елементами із будь-якого комутативного кільця з одиницею зокрема будь-якого поля.
Пояснення та приклади
Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати поліноми з матриць.
Тому для довільного полінома можливо розглянути вираз
який є квадратною матрицею того самого порядка, що й
Приклад
Тоді
Доведення
Часткові випадки
- Доведемо теорему для матриць 2x2.
Маємо тому
- Розглянемо випадок діагональних матриць.
Якщо — діагональна матриця і
— поліном, то
Для характеристичного полінома тому одержуємо
Загальний випадок
Позначимо через союзну матрицю для характеристичної матриці
Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:
За властивостями союзних матриць:
Нехай:
Підставимо і отримаємо:
Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:
Помножимо ці рівності відповідно на справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teore ma Ga miltona Ke li na chest Vilyama Gamiltona ta Artura Keli stverdzhuye sho rezultat pidstanovki kvadratnoyi matrici A displaystyle A do yiyi harakteristichnogo polinoma totozhno dorivnyuye nulyu pA A 0 displaystyle p A A 0 Teorema Gamiltona Keli dozvolyaye viraziti polinomi visokogo stepenya vid n n displaystyle n times n matrici A displaystyle A yak linijni kombinaciyi An 1 A I displaystyle A n 1 ldots A I Tverdzhennya teoremi ye spravedlivim dlya matric iz elementami iz bud yakogo komutativnogo kilcya z odiniceyu zokrema bud yakogo polya Poyasnennya ta prikladiOskilki rezultatom dodavannya mnozhennya ta mnozhennya na skalyar kvadratnih matric ye kvadratna matricya to mozhna konstruyuvati polinomi z matric Tomu dlya dovilnogo polinoma f x a0xk a1xk 1 ak 1x ak displaystyle f x a 0 x k a 1 x k 1 ldots a k 1 x a k mozhlivo rozglyanuti viraz f A a0Ak a1Ak 1 ak 1A akI displaystyle f A a 0 A k a 1 A k 1 ldots a k 1 A a k I yakij ye kvadratnoyu matriceyu togo samogo poryadka sho j A displaystyle A Priklad A 0123 pA l l2 3l 2 displaystyle A begin bmatrix 0 amp 1 2 amp 3 end bmatrix quad p A lambda lambda 2 3 lambda 2 Todi A2 0123 0123 23611 pA A A2 3A 2I 23611 0369 2002 0000 displaystyle A 2 begin bmatrix 0 amp 1 2 amp 3 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 1 2 amp 3 end bmatrix begin bmatrix 2 amp 3 6 amp 11 end bmatrix qquad p A A A 2 3A 2I begin bmatrix 2 amp 3 6 amp 11 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 3 6 amp 9 end bmatrix begin bmatrix 2 amp 0 0 amp 2 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 0 amp 0 end bmatrix DovedennyaChastkovi vipadki Dovedemo teoremu dlya matric 2x2 Mayemo A abcd pA l l2 tr A l detA displaystyle A begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix quad p A lambda lambda 2 operatorname tr A lambda det A tomu pA A A2 a d A ad bc I a2 bcab bdca dccb d2 a d a a d b a d c a d d ad bc00ad bc 0000 displaystyle p A A A 2 a d A ad bc I begin bmatrix a 2 bc amp ab bd ca dc amp cb d 2 end bmatrix begin bmatrix a d a amp a d b a d c amp a d d end bmatrix begin bmatrix ad bc amp 0 0 amp ad bc end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 0 amp 0 end bmatrix Rozglyanemo vipadok diagonalnih matric Yaksho A diag l1 ln displaystyle A operatorname diag lambda 1 ldots lambda n diagonalna matricya i f x displaystyle f x polinom to f A diag f l1 f ln displaystyle f A operatorname diag f lambda 1 ldots f lambda n Dlya harakteristichnogo polinoma pA l1 pA ln 0 displaystyle p A lambda 1 ldots p A lambda n 0 tomu oderzhuyemo pA A diag 0 0 displaystyle p A A operatorname diag 0 ldots 0 Zagalnij vipadok Poznachimo cherez B displaystyle B soyuznu matricyu dlya harakteristichnoyi matrici lIn A displaystyle lambda I n A Elementi matrici V ye algebrayichnimi dopovnennyami elementiv viznachnika lIn A displaystyle lambda I n A i tomu ye mnogochlenami vid l stepeni ne vishe n 1 Otzhe matricyu V mozhna predstaviti u viglyadi polinoma z matrichnimi koeficiyentami B i 0n 1liBi displaystyle B sum i 0 n 1 lambda i B i Za vlastivostyami soyuznih matric B lIn A det lIn A In p l In displaystyle B cdot lambda I n A det lambda I n A I n p lambda I n Nehaj p l ln ln 1cn 1 lc1 c0 displaystyle p lambda lambda n lambda n 1 c n 1 cdots lambda c 1 c 0 Pidstavimo i otrimayemo i 0n 1liBi lIn A lnIn ln 1cn 1In lc1In c0In displaystyle sum i 0 n 1 lambda i B i lambda I n A lambda n I n lambda n 1 c n 1 I n cdots lambda c 1 I n c 0 I n Rozkrivayuchi duzhki i pririvnyavshi koeficiyenti pri odnakovih stepenyah l oderzhimo In Bn 1 displaystyle I n B n 1 ciIn Bi 1 Bi A 0 lt i lt n displaystyle c i I n B i 1 B i cdot A qquad 0 lt i lt n c0In B0 A displaystyle c 0 I n B 0 cdot A Pomnozhimo ci rivnosti vidpovidno na An An 1 In displaystyle A n A n 1 ldots I n sprava i dodamo Vsi chleni pravoyi chastini skorotyatsya i mi oderzhimo p A An cn 1An 1 c1A c0In 0 displaystyle p A A n c n 1 A n 1 cdots c 1 A c 0 I n 0 DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros