Алгебраїчне доповнення

Нехай ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ — квадратна матриця порядку ${\displaystyle \ n}$, в якій вибрано:

• довільні ${\displaystyle \ k}$ рядків з номерами ${\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ та
• довільні ${\displaystyle \ k}$ стовпців з номерами ${\displaystyle \ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.}$

Визначення

Алгебраїчне доповнення мінора ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ визначається так:

${\displaystyle A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}\;{\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$

де

${\displaystyle \ p=i_{1}+\ldots +i_{k},\quad q=j_{1}+\ldots +j_{k},}$

${\displaystyle {\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ — доповнювальний мінор.

Алгебраїчним доповненням елемента ${\displaystyle \ a_{ij}}$ називають мінор цього елемента, взятий зі знаком ${\displaystyle \ (-1)^{i+j},}$ тобто

${\displaystyle \ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.}$

Приклади

• Мінор ${\displaystyle \ M_{23}}$ квадратної матриці ${\displaystyle \ A}$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\,\\\,\,\,3&0&5\,\\-1&9&\!11\,\\\end{pmatrix}},\qquad M_{23}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.}$

• Знайти алгебраїчні доповнення елементів а₂₁ та а₃₃ визначника

${\displaystyle {\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&4&2\\-3&1&4\\\end{vmatrix}}}$

Розв'язок:

Алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁ та а₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно.

Знаходження мінорів:

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одержимо шукані алгебраїчні доповнення

А₂₁=(-1)²⁺¹ М₂₁= -13

А₃₃=(-1)³⁺³ М₃₃= 5

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця
• Визначник
• Теорема Лапласа
• Союзна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)