Характеристичний поліном квадратної матриці розміру — це многочлен степеня від змінної який дорівнює
- , де — одинична матриця порядку .
Мотивація
Скаляр є власним значенням матриці A для власного вектора
тоді і тільки тоді коли:
чи
Оскільки то
повинна бути виродженою, а отже:
.
Властивості
- Неважко переконатися, що
- Для матриць елементи яких комутативними є
-алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:
- де
— многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність (елементарних симетричних многочленів) від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто
)
- Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:
- Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:
- Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці ((теорема Гамільтона — Келі)):
Характеристичне рівняння
Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння
Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці
Тільки вони є власними значеннями матриці
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет