У абстрактній алгебрі фактор-модулем називається новий модуль, який можна визначити для довільного модуля над кільцем i його підмодуля. Побудова фактор-модуля є аналогом побудови факторм-ножини, фактор-групи, фактор-кільця і фактор-простору.
Означення
Нехай дано (лівий) модуль над кільцем
і його підмодуль
. На
можна ввести відношення еквівалентності:
якщо і тільки якщо
для будь-яких . Елементами множини
є класи еквівалентності
.
Сума двох класів еквівалентності у є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи
. Конкретно:
i
для будь-яких і
.
Таким чином отримує структуру модуля над
Цей модуль називається фактор-модулем модуля
по підмодулю
.
Приклади
- M/M є тривіальним модулем {0}.
- M/{0} є ізоморфним M.
- Нехай
— кільце дійсних чисел i
— кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є
-модулем. Розглянемо підмодуль
- модуля
тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на
. Відношення еквівалентності для цих модулів задається як:
якщо і тільки якщо залишки від ділення
і
на
є однаковими.
- Зокрема у фактор-модулі
многочлен
переходить у той же клас, що і
i фактор-модуль можна розглядати як похідний від
при ототожненні
. Фактор-модуль
є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.
Властивості
- Фактор-модуль
є гомоморфним образом модуля
для гомоморфізма ядро якого є рівним
і яке можна записати як
.
- Відображення
називається проєкцією модуля
на фактор-модуль
.
- Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів
модуля
:
.
- для підмодуля
виконується
.
- Кожен гомоморфізм R-модулів
ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів
для якого
.
- Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм
Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів
ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм
для якого
то
. Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.
- Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини.
- Нехай
— два модулі над комутативним кільцем
і
— їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість
де
— підмодуль у
породжений елементами виду
і
для довільних
- Якщо
— мультиплікативна множина у комутативному кільці
то для локалізації
- Якщо
є
-алгеброю (асоціативною з одиницею), то
,
- де
є образом
у
.
- Якщо
є (двостороннім) ідеалом у
, то фактор-модуль
є фактор-кільцем
.
Література
- Dauns, John (1994). Modules and rings. Cambridge University Press. ISBN .
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U abstraktnij algebri faktor modulem nazivayetsya novij modul yakij mozhna viznachiti dlya dovilnogo modulya nad kilcem i jogo pidmodulya Pobudova faktor modulya ye analogom pobudovi faktorm nozhini faktor grupi faktor kilcya i faktor prostoru OznachennyaNehaj dano livij modul M displaystyle M nad kilcem R displaystyle R i jogo pidmodul N displaystyle N Na M displaystyle M mozhna vvesti vidnoshennya ekvivalentnosti m n displaystyle m sim n yaksho i tilki yaksho m n N displaystyle m n in N dlya bud yakih m n M displaystyle m n in M Elementami mnozhini M N displaystyle M N ye klasi ekvivalentnosti m m n n N displaystyle m m n colon n in N Suma dvoh klasiv ekvivalentnosti u M N displaystyle M N ye klasom ekvivalentnosti ekvivalentnosti sumi predstavnikiv dvoh klasiv v shozhij sposib mozhna vvesti mnozhennya na elementi R displaystyle R Konkretno m n m n displaystyle m n m n i r m rm displaystyle r m rm dlya bud yakih m n M displaystyle m n in M i r R displaystyle r in R Takim chinom M N displaystyle M N otrimuye strukturu modulya nad R displaystyle R Cej modul nazivayetsya faktor modulem modulya M displaystyle M po pidmodulyu N displaystyle N PrikladiM M ye trivialnim modulem 0 M 0 ye izomorfnim M Nehaj R displaystyle mathbb R kilce dijsnih chisel i A R X displaystyle A mathbb R X kilce mnogochleniv z dijsnimi koeficiyentami sho ochevidno ye R displaystyle mathbb R modulem Rozglyanemo pidmodulB X2 1 R X displaystyle B X 2 1 mathbb R X modulya A displaystyle A tobto pidmodul vsih mnogochleniv sho dilyatsya na X2 1 displaystyle X 2 1 Vidnoshennya ekvivalentnosti dlya cih moduliv zadayetsya yak P X Q X displaystyle P X sim Q X yaksho i tilki yaksho zalishki vid dilennya P X displaystyle P X i Q X displaystyle Q X na X2 1 displaystyle X 2 1 ye odnakovimi Zokrema u faktor moduli A B displaystyle A B mnogochlen X2 1 displaystyle X 2 1 perehodit u toj zhe klas sho i 0 displaystyle 0 i faktor modul mozhna rozglyadati yak pohidnij vid R X displaystyle mathbb R X pri ototozhnenni X2 1 0 displaystyle X 2 1 0 Faktor modul A B displaystyle A B ye izomorfnim iz dijsnim vektornim prostorom kompleksnih chisel VlastivostiFaktor modul M N displaystyle M N ye gomomorfnim obrazom modulya M displaystyle M dlya gomomorfizma yadro yakogo ye rivnim N displaystyle N i yake mozhna zapisati yakp M M N m m N displaystyle pi M longrightarrow M N m mapsto m N Vidobrazhennya p displaystyle pi nazivayetsya proyekciyeyu modulya M displaystyle M na faktor modul M N displaystyle M N Teoremi pro izomorfizmi dlya dvoh pidmoduliv M N displaystyle M N modulya Q displaystyle Q M M N M N N displaystyle M M cap N simeq M N N dlya pidmodulya N Q P displaystyle N subseteq Q subseteq P vikonuyetsya P N Q N P Q displaystyle P N Q N simeq P Q dd Kozhen gomomorfizm R moduliv f M L displaystyle f M rightarrow L yadro yakogo mistit N u yedinij sposib rozkladayetsya cherez M N tobto isnuye yedinij gomomorfizm R moduliv f M N L displaystyle tilde f M N to L dlya yakogo f p f displaystyle tilde f circ pi f Navpaki nehaj isnuye R modul P i syur yektivnij gomomorfizm p M P displaystyle p M longrightarrow P Yaksho dlya kozhnogo gomomorfizma R moduliv f M L displaystyle f M rightarrow L yadro yakogo mistit N isnuye yedinij gomomorfizm f P L displaystyle tilde f P to L dlya yakogo f p f displaystyle tilde f circ p f to M N P displaystyle M N simeq P Takim chinom dana vlastivist povnistyu harakterizuye faktor modul Vona nazivayetsya universalnoyu harakteristikoyu modulya Faktor modulyami skinchennoporodzhenih moduliv i moduliv skinchennoyi dovzhini ye skinchennoporodzheni moduli i moduli skinchennoyi dovzhini Nehaj M P displaystyle M P dva moduli nad komutativnim kilcem R displaystyle R i N M T P displaystyle N subset M T subset P yih pidmoduli Todi dlya tenzornogo dobutku vikonuyetsya vlastivist M N RP T M RP Q displaystyle M N otimes R P T simeq M otimes R P Q de Q displaystyle Q pidmodul u M RP displaystyle M otimes R P porodzhenij elementami vidu m t displaystyle m otimes t i n p displaystyle n otimes p dlya dovilnih m M t T n N p P displaystyle m in M t in T n in N p in P Yaksho S displaystyle S multiplikativna mnozhina u komutativnomu kilci R displaystyle R to dlya lokalizaciyi S 1 M N S 1M S 1N displaystyle S 1 M N simeq S 1 M S 1 N Yaksho B displaystyle B ye A displaystyle A algebroyu asociativnoyu z odiniceyu to B A M N B AM U displaystyle B otimes A M N simeq B otimes A M U de U displaystyle U ye obrazom B AN displaystyle B otimes A N u B AM displaystyle B otimes A M Yaksho I displaystyle I ye dvostoronnim idealom u A displaystyle A to faktor modul A I displaystyle A I ye faktor kilcem A I displaystyle A I LiteraturaDauns John 1994 Modules and rings Cambridge University Press ISBN 9780521462587 Dummit David S Foote Richard M 2004 Abstract Algebra vid 3rd John Wiley amp Sons ISBN 0 471 43334 9