В комутативній алгебрі локалізацією комутативного кільця R (з одиницею) по мультиплікативній системі називається простір формальних дробів з чисельниками з R і знаменниками з S з арифметичними операціями і ототожненнями, звичайними для дробів. Використовується також термін кільце часток. Позначається як S-1R .
Термін локалізація походить з алгебраїчної геометрії: якщо R — це кільце функцій на алгебраїчному многовиді V, то для того, щоб вивчити локальні властивості цього многовида в точці p, зазвичай розглядають множину функцій, які не рівні нулю в цій точці і локалізують R по цій множині.
Звичайне позначення для локалізації (або кільця часток) — S-1R, проте в окремих випадках частіше вживають інші позначення. Так, якщо S — доповнення простого ідеалу I, локалізація R позначається як RI (і називається локалізацією кільця по простому ідеалу), а якщо S — множина всіх степенів елемента f, використовується позначення Rf . Останні два випадки є фундаментальними для теорії схем.
Формальне визначення
За допомогою формальних дробів
Мультиплікативною системою в кільці R називається підмножина S в R, така що і множина S є замкнутою щодо множення в кільці R, тобто з того що випливає, що також .
Елементами локалізації кільця R по мультиплікативній системі S є формальні дроби виду r/s, де r — довільний елемент R, а s — елемент множини S. Два дроби і вважаються еквівалентними (є представниками одного і того ж елемента кільця часток), якщо для деякого елемента справедливо . Якщо R — цілісне кільце, тобто в ньому немає дільників нуля то очевидно для нього має виконуватися простіше правило еквівалентності: два дроби і є еквівалентними, якщо .
Операції додавання і множення визначаються як звичайно для дробів:
Перевіряється, що, якщо в сумі або добутку дроби замінити на еквівалентні, новий результат буде дробом, еквівалентним попередньому. З такими операціями множина набуває структури комутативного кільця з одиницею. Нулем в ньому є дріб 0/1, одиницею — дріб 1/1. Елементи початкового кільця R можна ідентифікувати з елементами виду r/1 в кільці S -1 R. Відображення , що відображає елемент r в r/1 є гомоморфізмом кілець.
Через універсальну властивість
Нехай, як і вище R — комутативне кільце з одиницею і S деяка його мультиплікативна система.
Локалізація кільця R по мультиплікативній системі S має наступну властивість універсальності:
- тобто образи елементів з S у кільці є оборотними елементами і окрім того для любих гомоморфізмів , для яких тобто образи елементів з S є оборотними, існує єдиний гомоморфізм для якого .
Дана властивість повністю визначає локалізацію R по S: Якщо деяке інше кільце задовольняє умову універсальності подану вище то воно є ізоморфним до
Властивості
- Кожен оборотний елемент кільця S-1R має вигляд er/s, де r і s належать множині S, а e — оборотний елемент кільця R.
- Кожен ідеал кільця S-1R є породжений елементами з множини де I — деякий ідеал кільця R.
- Існує бієкція між множиною простих ідеалів кільця S-1R і множиною простих ідеалів R, що не перетинаються з множиною S.
- Якщо, як вище, ідеали IS і JS кільця S -1R породжені елементами і де I і J — ідеали кільця R, то ідеали IS + JS , ISJS породжені елементами з і відповідно. Також (радикал ідеалу) породжується елементами з
- Як наслідок з попереднього, нульрадикал кільця S-1R породжується образами нульрадикала кільця R при канонічному відображенні.
- Нехай I — ідеал кільця R, і — природна проєкція на фактор-кільце. Для мультиплікативної системи S, що не перетинається з I позначимо через T образ цієї множини при цій проєкції. Тоді p породжує сюр'єктивний гомоморфізм і кільця і є ізоморфними.
- Нехай — мультиплікативні системи в кільці R і Тоді кільце часток є ізоморфним кільцю
- Локалізація кілець Нетер, Артіна і Дедекінда теж є кільцями відпвідно Нетер, Артіна і Дедекінда.
Локалізація по простому ідеалу
Важливий окремий випадок локалізації — локалізація кільця по простому ідеалу I, коли мультиплікативна система є доповненням цього ідеалу в кільці. В цьому випадку локалізація позначається як RI. Для локалізації кільця по простому ідеалу справедливі такі властивості:
- Локалізація RI по простому кільці є локальним кільцем. Його єдиний максимальний ідеал породжується образами ідеала I.
- Існує бієкція між простими ідеалами в RI і простими ідеалами в R, що містяться у I.
- Якщо S — мультиплікативна система, що не перетинається з I, то RI є ізоморфним
- Зокрема поле часток кільця R є ізоморфним полю часток кільця RI.
Приклади
- Якщо R — цілісне кільце, множина всіх його ненульових елементів утворює мультиплікативну систему. Кільце часток за цією системою є полем і називається полем часток, зазвичай позначається Quot (R). Всі елементи поля часток мають вигляд a/ b, де a, b — елементи R і b ≠ 0, зі звичайними арифметичними правилами скорочення чисельника і знаменника, додавання і множення. Легко бачити, що поле часток — найменше поле, в яке можна вкласти R. Наприклад, поле часток поля є ізоморфним самому полю.
- Полем часток кільця цілих чисел
є поле раціональних чисел
.
- Степені числа 10 в
утворюють мультиплікативну систему. Кільцем часток по ній буде кільце скінченних десяткових дробів.
- Полем часток кільця многочленів
над полем k буде поле раціональних функцій
.
- Парні числа в
утворюють простий ідеал. Локалізацією кільця
по ньому буде кільце раціональних дробів, у яких в нескоротному вигляді знаменник — непарне число.
- Розглянемо кільце многочленів k[x] і f = x. Тоді Rf — кільце многочленів Лорана k[x, x-1].
- Якщо R — евклідове кільце, то всяке кільце, проміжне між R і його полем часток, є локалізацією кільця R за деякою мультиплікативною системою S.
- Якщо система S складається з одних тільки оборотних елементів кільця R, канонічний гомоморфізм кільця R в S -1 R перетворюється в ізоморфізм, тобто S -1 R в цьому випадку є ізоморфним кільцю R.
Модулі часток
Приблизно таку ж конструкцію можна застосувати і до модулів і для довільного R-модуля M розглянути локалізацію модуля S -1 M .
Локалізація модуля S-1M — це множина формальних дробів виду m/s із відношенням еквівалентності , якщо
, для деякого елемента
, зі звичайною операцією додавання дробів, а також з операцією множення на елементи кільця S -1R виду m/s * a/s'= am / ss' .
Еквівалентно, як і для випадку кілець локалізацію модуля можна визначити за допомогою універсальної властивості аналогічної випадку кілець.
Нехай — гомоморфізм R-модулів. Він індукує гомоморфізм S-1R-модулів
, що відображає m/s в u(m)/s . Очевидно, що
, тобто операція S-1 є функтором. Більш того, цей функтор є точним. Тобто, якщо послідовність
є точною, то і індукована послідовність
є точною.
З цього випливає, що якщо є підмодулем
, то і
є підмодулем
. Якщо ж ми розглянемо два підмодуля даного модуля, то застосування до них S -1 комутує із операцією суми модулів, перетину модулів і операцією переходу до фактор-модуля. Також локалізація тензорного добутку двох R-модулів ізоморфна тензорному добутку їх локалізацій.
Локалізацію модуля також можна записати за допомогою тензорного добутку:
З цього запису і з точності функтора локалізації випливає, що модуль є плоским.
R-модуль M є нульовим тоді і тільки тоді коли для довільного простого ідеала I локалізація M по I є нульовим модулем. Те саме твердження справедливе, якщо замість простих ідеалів розглядати лише максимальні.
Локальні властивості
Властивість P кільця А (або А - модуля M) називається локальною якщо такі твердження еквівалентні:
- R (відповідно M) має властивість P,
- RI (відповідно MI ) має властивість P для всіх простих ідеалів I кільця А.
Можна навести такі приклади локальних властивостей: властивість модуля бути рівним нулю, властивість гомоморфізму бути ін'єктивним або сюр'єктивним (потрібно розглядати гомоморфізми, індуковані локалізацією), властивість модуля бути плоским.
Див. також
Джерела
- Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
- Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V komutativnij algebri lokalizaciyeyu komutativnogo kilcya R z odiniceyu po multiplikativnij sistemi S R displaystyle S subset R nazivayetsya prostir formalnih drobiv z chiselnikami z R i znamennikami z S z arifmetichnimi operaciyami i ototozhnennyami zvichajnimi dlya drobiv Vikoristovuyetsya takozh termin kilce chastok Poznachayetsya yak S 1R Termin lokalizaciya pohodit z algebrayichnoyi geometriyi yaksho R ce kilce funkcij na algebrayichnomu mnogovidi V to dlya togo shob vivchiti lokalni vlastivosti cogo mnogovida v tochci p zazvichaj rozglyadayut mnozhinu funkcij yaki ne rivni nulyu v cij tochci i lokalizuyut R po cij mnozhini Zvichajne poznachennya dlya lokalizaciyi abo kilcya chastok S 1R prote v okremih vipadkah chastishe vzhivayut inshi poznachennya Tak yaksho S dopovnennya prostogo idealu I lokalizaciya R poznachayetsya yak RI i nazivayetsya lokalizaciyeyu kilcya po prostomu idealu a yaksho S mnozhina vsih stepeniv elementa f vikoristovuyetsya poznachennya Rf Ostanni dva vipadki ye fundamentalnimi dlya teoriyi shem Formalne viznachennya Za dopomogoyu formalnih drobiv Multiplikativnoyu sistemoyu v kilci R nazivayetsya pidmnozhina S v R taka sho 1 S 0 S displaystyle 1 in S 0 not in S i mnozhina S ye zamknutoyu shodo mnozhennya v kilci R tobto z togo sho a b S displaystyle a b in S viplivaye sho takozh a b S displaystyle ab in S Elementami lokalizaciyi kilcya R po multiplikativnij sistemi S ye formalni drobi vidu r s de r dovilnij element R a s element mnozhini S Dva drobi r 1 s 1 displaystyle r 1 s 1 i r 2 s 2 displaystyle r 2 s 2 vvazhayutsya ekvivalentnimi ye predstavnikami odnogo i togo zh elementa kilcya chastok yaksho dlya deyakogo elementa t S displaystyle t in S spravedlivo t r 1 s 2 r 2 s 1 0 displaystyle t r 1 s 2 r 2 s 1 0 Yaksho R cilisne kilce tobto v nomu nemaye dilnikiv nulya to ochevidno dlya nogo maye vikonuvatisya prostishe pravilo ekvivalentnosti dva drobi r 1 s 1 displaystyle r 1 s 1 i r 2 s 2 displaystyle r 2 s 2 ye ekvivalentnimi yaksho r 1 s 2 r 2 s 1 0 displaystyle r 1 s 2 r 2 s 1 0 Operaciyi dodavannya i mnozhennya viznachayutsya yak zvichajno dlya drobiv r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 s 2 r 2 s 1 s 1 s 2 displaystyle r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 s 2 r 2 s 1 s 1 s 2 r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 r 2 s 1 s 2 displaystyle r 1 s 1 r 2 s 2 r 1 r 2 s 1 s 2 Pereviryayetsya sho yaksho v sumi abo dobutku drobi zaminiti na ekvivalentni novij rezultat bude drobom ekvivalentnim poperednomu Z takimi operaciyami mnozhina S 1 R displaystyle S 1 R nabuvaye strukturi komutativnogo kilcya z odiniceyu Nulem v nomu ye drib 0 1 odiniceyu drib 1 1 Elementi pochatkovogo kilcya R mozhna identifikuvati z elementami vidu r 1 v kilci S 1 R Vidobrazhennya l S R S 1 R displaystyle l S R rightarrow S 1 R sho vidobrazhaye element r v r 1 ye gomomorfizmom kilec Cherez universalnu vlastivist Nehaj yak i vishe R komutativne kilce z odiniceyu i S deyaka jogo multiplikativna sistema Lokalizaciya kilcya R po multiplikativnij sistemi S maye nastupnu vlastivist universalnosti l S S S 1 R displaystyle l S S subset S 1 R tobto obrazi elementiv z S u kilci S 1 R displaystyle S 1 R ye oborotnimi elementami i okrim togo dlya lyubih gomomorfizmiv f R B displaystyle f R rightarrow B dlya yakih f S B displaystyle f S subset B tobto obrazi elementiv z S ye oborotnimi isnuye yedinij gomomorfizm g S 1 R B displaystyle g S 1 R rightarrow B dlya yakogo f g l S displaystyle f g circ l S Dana vlastivist povnistyu viznachaye lokalizaciyu R po S Yaksho deyake inshe kilce zadovolnyaye umovu universalnosti podanu vishe to vono ye izomorfnim do S 1 R displaystyle S 1 R Vlastivosti Kozhen oborotnij element kilcya S 1R maye viglyad er s de r i s nalezhat mnozhini S a e oborotnij element kilcya R Kozhen ideal kilcya S 1R ye porodzhenij elementami z mnozhini l S I displaystyle l S I de I deyakij ideal kilcya R Isnuye biyekciya mizh mnozhinoyu prostih idealiv kilcya S 1R i mnozhinoyu prostih idealiv R sho ne peretinayutsya z mnozhinoyu S Yaksho yak vishe ideali IS i JS kilcya S 1R porodzheni elementami l S I displaystyle l S I i l S J displaystyle l S J de I i J ideali kilcya R to ideali IS JS ISJS porodzheni elementami z l S I J displaystyle l S I J i l S I J displaystyle l S IJ vidpovidno Takozh I S displaystyle sqrt I S radikal idealu porodzhuyetsya elementami z l S I displaystyle l S sqrt I Yak naslidok z poperednogo nulradikal kilcya S 1R porodzhuyetsya obrazami nulradikala kilcya R pri kanonichnomu vidobrazhenni Nehaj I ideal kilcya R i p R R I displaystyle p R to R I prirodna proyekciya na faktor kilce Dlya multiplikativnoyi sistemi S sho ne peretinayetsya z I poznachimo cherez T obraz ciyeyi mnozhini pri cij proyekciyi Todi p porodzhuye syur yektivnij gomomorfizm p S 1 R T 1 R I displaystyle bar p S 1 R to T 1 R I i kilcya T 1 R I displaystyle T 1 R I i S 1 R I S 1 R displaystyle S 1 R IS 1 R ye izomorfnimi Nehaj S S displaystyle S S multiplikativni sistemi v kilci R i S S displaystyle S subset S Todi kilce chastok S 1 R displaystyle S 1 R ye izomorfnim kilcyu l S S 1 S 1 R displaystyle l S S 1 S 1 R Lokalizaciya kilec Neter Artina i Dedekinda tezh ye kilcyami vidpvidno Neter Artina i Dedekinda Lokalizaciya po prostomu idealu Vazhlivij okremij vipadok lokalizaciyi lokalizaciya kilcya po prostomu idealu I koli multiplikativna sistema ye dopovnennyam cogo idealu v kilci V comu vipadku lokalizaciya poznachayetsya yak RI Dlya lokalizaciyi kilcya po prostomu idealu spravedlivi taki vlastivosti Lokalizaciya RI po prostomu kilci ye lokalnim kilcem Jogo yedinij maksimalnij ideal porodzhuyetsya obrazami ideala I Isnuye biyekciya mizh prostimi idealami v RI i prostimi idealami v R sho mistyatsya u I Yaksho S multiplikativna sistema sho ne peretinayetsya z I to RI ye izomorfnim S 1 R I displaystyle S 1 R I Zokrema pole chastok kilcya R ye izomorfnim polyu chastok kilcya RI PrikladiYaksho R cilisne kilce mnozhina vsih jogo nenulovih elementiv utvoryuye multiplikativnu sistemu Kilce chastok za ciyeyu sistemoyu ye polem i nazivayetsya polem chastok zazvichaj poznachayetsya Quot R Vsi elementi polya chastok mayut viglyad a b de a b elementi R i b 0 zi zvichajnimi arifmetichnimi pravilami skorochennya chiselnika i znamennika dodavannya i mnozhennya Legko bachiti sho pole chastok najmenshe pole v yake mozhna vklasti R Napriklad pole chastok polya ye izomorfnim samomu polyu Polem chastok kilcya cilih chisel Z displaystyle mathbb Z ye pole racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q Stepeni chisla 10 v Z displaystyle mathbb Z utvoryuyut multiplikativnu sistemu Kilcem chastok po nij bude kilce skinchennih desyatkovih drobiv Polem chastok kilcya mnogochleniv k X 1 X 2 X n displaystyle k X 1 X 2 X n nad polem k bude pole racionalnih funkcij k X 1 X 2 X n displaystyle k X 1 X 2 X n Parni chisla v Z displaystyle mathbb Z utvoryuyut prostij ideal Lokalizaciyeyu kilcya Z displaystyle mathbb Z po nomu bude kilce racionalnih drobiv u yakih v neskorotnomu viglyadi znamennik neparne chislo Rozglyanemo kilce mnogochleniv k x i f x Todi Rf kilce mnogochleniv Lorana k x x 1 Yaksho R evklidove kilce to vsyake kilce promizhne mizh R i jogo polem chastok ye lokalizaciyeyu kilcya R za deyakoyu multiplikativnoyu sistemoyu S Yaksho sistema S skladayetsya z odnih tilki oborotnih elementiv kilcya R kanonichnij gomomorfizm kilcya R v S 1 R peretvoryuyetsya v izomorfizm tobto S 1 R v comu vipadku ye izomorfnim kilcyu R Moduli chastokPriblizno taku zh konstrukciyu mozhna zastosuvati i do moduliv i dlya dovilnogo R modulya M rozglyanuti lokalizaciyu modulya S 1M Lokalizaciya modulya S 1M ce mnozhina formalnih drobiv vidu m s iz vidnoshennyam ekvivalentnosti m 1 s 1 m 2 s 2 displaystyle m 1 s 1 equiv m 2 s 2 yaksho t m 1 s 2 m 2 s 1 0 displaystyle t m 1 s 2 m 2 s 1 0 dlya deyakogo elementa t S displaystyle t in S zi zvichajnoyu operaciyeyu dodavannya drobiv a takozh z operaciyeyu mnozhennya na elementi kilcya S 1R vidu m s a s am ss Ekvivalentno yak i dlya vipadku kilec lokalizaciyu modulya mozhna viznachiti za dopomogoyu universalnoyi vlastivosti analogichnoyi vipadku kilec Nehaj u M N displaystyle u M to N gomomorfizm R moduliv Vin indukuye gomomorfizm S 1R moduliv S 1 u S 1 M S 1 N displaystyle S 1 u S 1 M to S 1 N sho vidobrazhaye m s v u m s Ochevidno sho S 1 u v S 1 u S 1 v displaystyle S 1 u circ v S 1 u circ S 1 v tobto operaciya S 1 ye funktorom Bilsh togo cej funktor ye tochnim Tobto yaksho poslidovnist M 1 v M 2 u M 3 displaystyle M 1 xrightarrow v M 2 xrightarrow u M 3 ye tochnoyu to i indukovana poslidovnist S 1 M 1 S 1 v S 1 M 2 S 1 u S 1 M 3 displaystyle S 1 M 1 xrightarrow S 1 v S 1 M 2 xrightarrow S 1 u S 1 M 3 ye tochnoyu Z cogo viplivaye sho yaksho M displaystyle M ye pidmodulem M displaystyle M to i S 1 M displaystyle S 1 M ye pidmodulem S 1 M displaystyle S 1 M Yaksho zh mi rozglyanemo dva pidmodulya danogo modulya to zastosuvannya do nih S 1 komutuye iz operaciyeyu sumi moduliv peretinu moduliv i operaciyeyu perehodu do faktor modulya Takozh lokalizaciya tenzornogo dobutku dvoh R moduliv izomorfna tenzornomu dobutku yih lokalizacij Lokalizaciyu modulya takozh mozhna zapisati za dopomogoyu tenzornogo dobutku S 1 M S 1 R R M displaystyle S 1 M cong S 1 R otimes R M Z cogo zapisu i z tochnosti funktora lokalizaciyi viplivaye sho modul S 1 M displaystyle S 1 M ye ploskim R modul M ye nulovim todi i tilki todi koli dlya dovilnogo prostogo ideala I lokalizaciya M po I ye nulovim modulem Te same tverdzhennya spravedlive yaksho zamist prostih idealiv rozglyadati lishe maksimalni Lokalni vlastivostiVlastivist P kilcya A abo A modulya M nazivayetsya lokalnoyu yaksho taki tverdzhennya ekvivalentni R vidpovidno M maye vlastivist P RI vidpovidno MI maye vlastivist P dlya vsih prostih idealiv I kilcya A Mozhna navesti taki prikladi lokalnih vlastivostej vlastivist modulya buti rivnim nulyu vlastivist gomomorfizmu buti in yektivnim abo syur yektivnim potribno rozglyadati gomomorfizmi indukovani lokalizaciyeyu vlastivist modulya buti ploskim Div takozhLokalne kilce Povne kilce chastok Pole chastok Umova OreDzherelaZarisskij O Kommutativnaya algebra Moskva 1963 T 1 373 s ros Burbaki N Kommutativnaya algebra Moskva Mir 1971 S 707 Elementi matematiki ros Gopalakrishnan N S 1984 Commutative Algebra Oxonian Press s 290