У теорії кілець умовою Оре називається деяка властивість елементів некомутативного кільця при якій для кільця можна побудувати кільця часток із властивостями схожими до комутативного випадку.
Мотивація
У комутативній алгебрі, локалізація кільця є одним із найважливіших засобів дослідження. При локалізації елементи деякої множини кільця стають оборотними і можуть розглядатися як знаменники. Щоб така конструкція мала зміст необхідно лише щоб множина була мультиплікативною, містила 1 і не містила 0.
При спробі узагальнити цю конструкцію на випадок некомутативних кілець виникає кілька проблем. Хоча можна ввести абстрактні кільця в яких елементи будуть оборотними і які задовольняють деяку універсальну властивість аналогічну до комутативного випадку, але ці кільця загалом мають погані властивості і їх не просто задати. Навіть у випадку кілець без дільників нуля, наприклад, існують кільця які не можна вкласти у тіло, тобто у цьому випадку немає загальної конструкції аналогічної до поля часток.
Більш конкретно, якщо намагатися подібно до комутативного випадку формально розглядати вирази виду as−1, то виникають проблеми із інтерпретацією добутку (as−1)(bt−1). Щоб можна було отримати змістовну конструкцію такого виду потрібно переписати добуток s−1b як b1s1−1. Якщо це можливо, то помноживши зліва на s і справа на s1, отримаємо еквівалентну умову bs1 = sb1. Відповідно для довільних добутків потрібно для всіх b і s існування b1 і s1 із s1 ≠ 0 і для яких as1 = sa1.
Норвезький математик Ойстен Оре у 1931 році ввів саме цей критерій і показав, що при цьому можна ввести кільця часток із хорошими математичними властивостями . Надалі ідеї Оре були узагальнені Кейзо Асано і іншими.
Означення
Нехай є довільним некомутативним кільцем. Нехай є множиною регулярних елементів (тобто елементів, що не є лівими чи правими дільниками нуля). Ця множина є мультиплікативною, не містить 0 і містить 1 (якщо R є кільцем з одиницею). У випадку кілець без дільників нуля .
Кільце задовольняє праву умову Оре, якщо для всіх елементів існують елементи для яких або еквівалентно:
- .
Кільце у якому виконується права умова Оре називається правим кільцем Оре.
У випадку кілець без дільників нуля задовольняє праву умова Оре, якщо для всіх елементів виконується умова:
- ,
тобто і мають деяке спільне кратне справа окрім 0.
Еквівалентно можна ввести означення лівої умови Оре і лівого кільця Оре.
Кільця і тіла часток
Класи еквівалентності
Якщо кільце задовольняє праву умову Оре, то можна сформувати кільце правих часток подібно до того, як утворюється кільце часток для комутативного кільця. Елементами кільця часток будуть вирази виду
- де .
Дві «частки» і вважаються рівними якщо існують елементи для яких і . (Формально, вводиться відношення еквівалентності на множині , і позначає клас еквівалентності .)
Арифметичні операції
Для введених «часток» можна ввести операції додавання і множення. А саме для і згідно умови Оре існують регулярні елементи для яких Тоді додавання задається як
Також для і згідно умови Оре існують для яких і множення можна ввести як
Введені операції додавання і віднімання є коректними, тобто не залежать від представників класів еквівалентності часток і від елементів і із умов Оре.
Усі частки із операціями додавання і множення утворюють кільце, яке позначається або і називається класичним правим кільцем часток.
Усі елементи утворюють одну частку (належать одному класу еквівалентності). Цей клас є одиницею у кільці .
Аналогічно можна ввести означення лівого кільця чи тіла часток. Варто зауважити, що кільце може задовольняти праву умову Оре і не задовольняти ліву і навпаки. Проте, якщо кільце є одночасно лівим і правим кільцем Оре (або просто кільцем Оре), тоді відповідні ліві і праві кільця часток є ізоморфними.
Канонічне вкладення у кільце часток
Для будь-якого елементи належать одному класу і визначається ін'єктивний гомоморфізм що є вкладенням у .
Кільця правих часток і ін'єктивний гомоморфізм кілець , задовольняють умови:
- Для всіх , є оборотним елементом.
- Кожен елемент можна записати як для деяких .
Теорема Оре
Теорема Оре: Для кільця існує вкладення у кільце з одиницею , що задовольняє дві вказані умови, якщо і тільки якщо є правим кільцем Оре.
Тіло часток
Якщо є кільцем без дільників нуля, то його кільце правих часток буде тілом і ця конструкція узагальнює поле часток для комутативних областей цілісності.
До того ж виконується універсальна властивість
- Якщо є гомоморфізмом кілець для якого для всіх є оборотним елементом у тоді однозначно продовжується до гомоморфізму
Властивості і приклади
- Кожне (ліве чи праве) кільце Нетер без дільників нуля задовольняє (ліву/праву) умову Оре.
- Кільце без дільників нуля є (правим/лівим) кільцем Оре якщо і тільки якщо воно є рівномірним (лівим/правим) модулем над собою, тобто перетин двох ненульових підмодулів завжди буде ненульовим підмодулем.
- Кільце цілих кватерніонів є кільцем Оре і його тілом часток є тіло раціональних кватерніонів.
- Довільне комутативне кільце є кільцем Оре і звичайна локалізація є кільцем часток.
- Нехай — поле, — кільце многочленів від змінної і — кільце раціональних функцій над від змінної . Тоді кільце
- є правим кільцем Оре із кільцем правих часток
- .
- Проте це кільце не є лівим кільцем Оре оскільки
- тобто ліва умова Оре порушується.
Узагальнення
Означення кільця (правих) часток можна модифікувати для більш загальних множин (замість «класичної» множини регулярних елементів кільця ). В загальному випадку проте гомоморфізм може не бути ін'єктивним. Натомість виконується умова:
- ker .
Кільце (правих) часток щодо множини можна побудувати якщо і тільки якщо задовольняє властивості:
- Для всіх існують елементи , для яких , (узагальнення умови Оре для .)
- Якщо для існує елемент для якого , то існує також із властивістю .
Примітки
- Øystein Ore: Linear equations in non-commutative fields. In: Annals of Mathematics. 32, 1931, ISSN 0003-486X, S. 463–477.
- Keizo Asano: Über die Quotientenbildung von Schiefringen. In: Journal of the Mathematical Society of Japan. Vol. 1, No. 2, 1949, ISSN 0025-5645, S. 73–78, DOI:10.2969/jmsj/00120073.
Див. також
Література
- A. V. Jategaonkar (1986), Localization in Noetherian rings, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 98, Cambridge University Press, ISBN
- Stenström, Bo (1971), Rings and modules of quotients, Lecture Notes in Mathematics, т. 237, Berlin: Springer-Verlag, с. vii+136, doi:10.1007/BFb0059904, ISBN , MR 0325663, Zbl 0229.16003
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi kilec umovoyu Ore nazivayetsya deyaka vlastivist elementiv nekomutativnogo kilcya pri yakij dlya kilcya mozhna pobuduvati kilcya chastok iz vlastivostyami shozhimi do komutativnogo vipadku MotivaciyaU komutativnij algebri lokalizaciya kilcya ye odnim iz najvazhlivishih zasobiv doslidzhennya Pri lokalizaciyi elementi deyakoyi mnozhini S displaystyle S kilcya stayut oborotnimi i mozhut rozglyadatisya yak znamenniki Shob taka konstrukciya mala zmist neobhidno lishe shob mnozhina S displaystyle S bula multiplikativnoyu mistila 1 i ne mistila 0 Pri sprobi uzagalniti cyu konstrukciyu na vipadok nekomutativnih kilec vinikaye kilka problem Hocha mozhna vvesti abstraktni kilcya v yakih elementi S displaystyle S budut oborotnimi i yaki zadovolnyayut deyaku universalnu vlastivist analogichnu do komutativnogo vipadku ale ci kilcya zagalom mayut pogani vlastivosti i yih ne prosto zadati Navit u vipadku kilec bez dilnikiv nulya napriklad isnuyut kilcya yaki ne mozhna vklasti u tilo tobto u comu vipadku nemaye zagalnoyi konstrukciyi analogichnoyi do polya chastok Bilsh konkretno yaksho namagatisya podibno do komutativnogo vipadku formalno rozglyadati virazi vidu as 1 to vinikayut problemi iz interpretaciyeyu dobutku as 1 bt 1 Shob mozhna bulo otrimati zmistovnu konstrukciyu takogo vidu potribno perepisati dobutok s 1b yak b1s1 1 Yaksho ce mozhlivo to pomnozhivshi zliva na s i sprava na s1 otrimayemo ekvivalentnu umovu bs1 sb1 Vidpovidno dlya dovilnih dobutkiv potribno dlya vsih b i s isnuvannya b1 i s1 iz s1 0 i dlya yakih as1 sa1 Norvezkij matematik Ojsten Ore u 1931 roci vviv same cej kriterij i pokazav sho pri comu mozhna vvesti kilcya chastok iz horoshimi matematichnimi vlastivostyami Nadali ideyi Ore buli uzagalneni Kejzo Asano i inshimi OznachennyaNehaj R displaystyle R ye dovilnim nekomutativnim kilcem Nehaj S displaystyle S ye mnozhinoyu regulyarnih elementiv tobto elementiv sho ne ye livimi chi pravimi dilnikami nulya Cya mnozhina ye multiplikativnoyu ne mistit 0 i mistit 1 yaksho R ye kilcem z odiniceyu U vipadku kilec bez dilnikiv nulya S R 0 displaystyle S R lbrace 0 rbrace Kilce R displaystyle R zadovolnyaye pravu umovu Ore yaksho dlya vsih elementiv s S a R displaystyle s in S a in R isnuyut elementi t S r R displaystyle t in S r in R dlya yakih a t s r displaystyle at sr abo ekvivalentno a S s R displaystyle aS cap sR neq emptyset Kilce u yakomu vikonuyetsya prava umova Ore nazivayetsya pravim kilcem Ore U vipadku kilec bez dilnikiv nulya R displaystyle R zadovolnyaye pravu umova Ore yaksho dlya vsih elementiv a b R 0 displaystyle a b in R lbrace 0 rbrace vikonuyetsya umova a R b R 0 displaystyle aR cap bR neq lbrace 0 rbrace tobto a displaystyle a i b displaystyle b mayut deyake spilne kratne sprava okrim 0 Ekvivalentno mozhna vvesti oznachennya livoyi umovi Ore i livogo kilcya Ore Kilcya i tila chastokKlasi ekvivalentnosti Yaksho kilce R displaystyle R zadovolnyaye pravu umovu Ore to mozhna sformuvati kilce pravih chastok podibno do togo yak utvoryuyetsya kilce chastok dlya komutativnogo kilcya Elementami kilcya chastok budut virazi vidu a s displaystyle a s de a R s R 0 displaystyle a in R s in R lbrace 0 rbrace Dvi chastki a s displaystyle a s i a s displaystyle a s vvazhayutsya rivnimi yaksho isnuyut elementi b b displaystyle b b dlya yakih s b s b S displaystyle sb s b in S i a b a b displaystyle ab a b Formalno vvoditsya vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini R R 0 displaystyle R times R lbrace 0 rbrace i a s displaystyle a s poznachaye klas ekvivalentnosti a s displaystyle a s Arifmetichni operaciyi Dlya vvedenih chastok mozhna vvesti operaciyi dodavannya i mnozhennya A same dlya a s displaystyle a s i b t displaystyle b t zgidno umovi Ore isnuyut regulyarni elementi x y S displaystyle x y in S dlya yakih s x t y displaystyle sx ty Todi dodavannya zadayetsya yak a s b t a x b y s x displaystyle a s b t ax by sx Takozh dlya a s displaystyle a s i b t displaystyle b t zgidno umovi Ore isnuyut c R d S displaystyle c in R d in S dlya yakih s c b d displaystyle sc bd i mnozhennya mozhna vvesti yak a s b t a c t d displaystyle a s cdot b t ac td Vvedeni operaciyi dodavannya i vidnimannya ye korektnimi tobto ne zalezhat vid predstavnikiv klasiv ekvivalentnosti chastok i vid elementiv x y S displaystyle x y in S i c R d S displaystyle c in R d in S iz umov Ore Usi chastki iz operaciyami dodavannya i mnozhennya utvoryuyut kilce yake poznachayetsya R S 1 displaystyle RS 1 abo Q c l r R displaystyle Q cl r R i nazivayetsya klasichnim pravim kilcem chastok Usi elementi s s s S displaystyle s s s in S utvoryuyut odnu chastku nalezhat odnomu klasu ekvivalentnosti Cej klas ye odiniceyu u kilci R S 1 displaystyle RS 1 Analogichno mozhna vvesti oznachennya livogo kilcya chi tila chastok Varto zauvazhiti sho kilce mozhe zadovolnyati pravu umovu Ore i ne zadovolnyati livu i navpaki Prote yaksho kilce ye odnochasno livim i pravim kilcem Ore abo prosto kilcem Ore todi vidpovidni livi i pravi kilcya chastok ye izomorfnimi Kanonichne vkladennya u kilce chastok Dlya bud yakogo a R displaystyle a in R elementi a s s s S displaystyle as s s in S nalezhat odnomu klasu i viznachayetsya in yektivnij gomomorfizm ϕ a a s s displaystyle phi a mapsto as s sho ye vkladennyam R displaystyle R u R S 1 displaystyle RS 1 Kilcya pravih chastok R S 1 displaystyle RS 1 i in yektivnij gomomorfizm kilec ϕ R R S 1 displaystyle phi R rightarrow RS 1 zadovolnyayut umovi Dlya vsih s S displaystyle s in S ϕ s displaystyle phi s ye oborotnim elementom Kozhen element R S 1 displaystyle RS 1 mozhna zapisati yak ϕ a ϕ s 1 displaystyle phi a phi s 1 dlya deyakih a R s S displaystyle a in R s in S Teorema Ore Teorema Ore Dlya kilcya R displaystyle R isnuye vkladennya ϕ R R S 1 displaystyle phi R rightarrow RS 1 u kilce z odiniceyu R S 1 displaystyle RS 1 sho zadovolnyaye dvi vkazani umovi yaksho i tilki yaksho R displaystyle R ye pravim kilcem Ore Tilo chastok Yaksho R displaystyle R ye kilcem bez dilnikiv nulya to jogo kilce pravih chastok Q r R displaystyle Q r R bude tilom i cya konstrukciya uzagalnyuye pole chastok dlya komutativnih oblastej cilisnosti Do togo zh vikonuyetsya universalna vlastivist Yaksho a R R displaystyle alpha R rightarrow R ye gomomorfizmom kilec dlya yakogo a a displaystyle alpha a dlya vsih a 0 displaystyle a neq 0 ye oborotnim elementom u R displaystyle R todi a displaystyle alpha odnoznachno prodovzhuyetsya do gomomorfizmu a Q r R R displaystyle hat alpha Q r R rightarrow R Vlastivosti i prikladiKozhne live chi prave kilce Neter bez dilnikiv nulya zadovolnyaye livu pravu umovu Ore Kilce bez dilnikiv nulya ye pravim livim kilcem Ore yaksho i tilki yaksho vono ye rivnomirnim livim pravim modulem nad soboyu tobto peretin dvoh nenulovih pidmoduliv zavzhdi bude nenulovim pidmodulem Kilce cilih kvaternioniv ye kilcem Ore i jogo tilom chastok ye tilo racionalnih kvaternioniv Dovilne komutativne kilce ye kilcem Ore i zvichajna lokalizaciya ye kilcem chastok Nehaj k displaystyle k pole k x displaystyle k x kilce mnogochleniv vid zminnoyi x displaystyle x i k x displaystyle k x kilce racionalnih funkcij nad k displaystyle k vid zminnoyi x displaystyle x Todi kilce R k k x 0 k x displaystyle R begin pmatrix k amp k x 0 amp k x end pmatrix dd ye pravim kilcem Ore iz kilcem pravih chastokR k k x 0 k x displaystyle R begin pmatrix k amp k x 0 amp k x end pmatrix dd Prote ce kilce ne ye livim kilcem Ore oskilkiS 0 1 0 0 R 1 0 0 x displaystyle S cdot begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix cap R cdot begin pmatrix 1 amp 0 0 amp x end pmatrix emptyset dd tobto liva umova Ore porushuyetsya UzagalnennyaOznachennya kilcya pravih chastok R S 1 displaystyle RS 1 mozhna modifikuvati dlya bilsh zagalnih mnozhin S displaystyle S zamist klasichnoyi mnozhini regulyarnih elementiv kilcya R displaystyle R V zagalnomu vipadku prote gomomorfizm ϕ displaystyle phi mozhe ne buti in yektivnim Natomist vikonuyetsya umova ker ϕ a R s S a s 0 displaystyle phi lbrace a in R exists s in S as 0 rbrace dd Kilce pravih chastok shodo mnozhini S displaystyle S mozhna pobuduvati yaksho i tilki yaksho S displaystyle S zadovolnyaye vlastivosti Dlya vsih s S a R displaystyle s in S a in R isnuyut elementi t S r R displaystyle t in S r in R dlya yakih a t s r displaystyle at sr uzagalnennya umovi Ore dlya S displaystyle S Yaksho dlya a R displaystyle a in R isnuye element s S displaystyle s in S dlya yakogo s a 0 displaystyle sa 0 to isnuye takozh s S displaystyle s in S iz vlastivistyu a s 0 displaystyle as 0 PrimitkiOystein Ore Linear equations in non commutative fields In Annals of Mathematics 32 1931 ISSN 0003 486X S 463 477 Keizo Asano Uber die Quotientenbildung von Schiefringen In Journal of the Mathematical Society of Japan Vol 1 No 2 1949 ISSN 0025 5645 S 73 78 DOI 10 2969 jmsj 00120073 Div takozhLokalizaciya kilcya Povne kilce chastok Pole chastokLiteraturaA V Jategaonkar 1986 Localization in Noetherian rings London Mathematical Society Lecture Note Series t 98 Cambridge University Press ISBN 9780521317139 Stenstrom Bo 1971 Rings and modules of quotients Lecture Notes in Mathematics t 237 Berlin Springer Verlag s vii 136 doi 10 1007 BFb0059904 ISBN 978 3 540 05690 4 MR 0325663 Zbl 0229 16003