Повне кільце часток

У комутативній алгебрі, повне кільце часток є узагальнення поля часток на комутативні кільця R, що не обов'язково є областями цілісності, тобто можуть мати дільники нуля.

Означення

Нехай ${\displaystyle R}$ є комутативним кільцем і ${\displaystyle S}$ — множина елементів, які не є дільниками нуля у ${\displaystyle R}$; тоді ${\displaystyle S}$ є мультиплікативною множиною. Локалізація кільця ${\displaystyle R}$ по множині ${\displaystyle S}$ (позначається ${\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}$) називається повним кільцем часток кільця ${\displaystyle R}$.

Якщо ${\displaystyle R}$ є областю цілісності, то ${\displaystyle S=R-\{0\}}$ і повне кільце часток є полем часток.

Оскільки ${\displaystyle S}$ не містить дільників нуля, то природне відображення ${\displaystyle R\to Q(R)}$ є ін'єкцією і повне кільце часток є розширенням кільця ${\displaystyle R}$.

Приклади

• Повне кільце часток кільця голоморфних функцій на відкритій множині D є кільцем мероморфних функцій на D, навіть якщо D не є зв'язаною множиною.
• У кільці Артіна, всі елементи є оборотними або дільниками нуля. Тобто множина елементів, що не є дільниками нуля є групою оборотних елементів, тож ${\displaystyle Q(R)=R}$.
• Таку ж властивість мають комутативні, регулярні за фон Нейманом кільця R. Нехай ${\displaystyle a\in R}$ не є дільником нуля. Тоді a = axa для деякого x у кільці R, що дає рівність a(xa − 1) = 0. Оскільки a не є дільником нуля, xa = 1, то a є оборотним елементом. Тому ${\displaystyle Q(R)=R}$.

Властивості

• Повне кільце часток ${\displaystyle Q(A\times B)}$ добутку кілець є добутком повних кілець часток ${\displaystyle Q(A)\times Q(B)}$. Зокрема якщо A і B є областями цілісності, то повне кільце часток їх добутку є добутком полів.
• Для кільця ${\displaystyle R}$ і мультиплікативної множини ${\displaystyle S\subset R}$ елементи якої не є дільниками нуля ${\displaystyle Q(R)\cong Q(S^{-1}R)}$. Зокрема ${\displaystyle Q(R)\cong Q(Q(R))}$.

Якщо ${\displaystyle x\in S^{-1}R}$ не є дільником нуля і ${\displaystyle x=r/f}$ для ${\displaystyle r\in R}$ і ${\displaystyle f\in S}$, тоді ${\displaystyle r}$ не є дільником нуля у ${\displaystyle R}$. Тому ${\displaystyle y=s/x\in Q(S^{-1}R),}$ де ${\displaystyle s=t/u,\ t\in R,u\in S}$ має вигляд ${\displaystyle y=(tf)/(ru)\in Q(R).}$ Тож ${\displaystyle Q(S^{-1}R)\subset Q(R).}$ Обернене включення відразу випливає з властивостей локалізації.

• Нехай кільце ${\displaystyle R}$ має скінченну кількість мінімальних простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{t}}$ і об'єднання ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {q}}_{t}}$ є множиною дільників нуля кільця ${\displaystyle R}$ (такі властивості задовольняє, наприклад, нетерове редуковане кільце). Тоді повне кільце часток ${\displaystyle Q(R)}$ є рівним ${\displaystyle R_{{\mathfrak {q}}_{1}}\times \ldots \times R_{{\mathfrak {q}}_{t}}}$.

Розглянемо природні гомоморфізми ${\displaystyle Q(R)\to R_{{\mathfrak {q}}_{i}},}$ які є коректно визначені оскільки всі елементи, що не є дільниками нуля належать ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {q}}_{i}}$. Звідси одержується також натуральний гомоморфізм ${\displaystyle Q(R)\to R_{{\mathfrak {q}}_{1}}\times \ldots \times R_{{\mathfrak {q}}_{t}}}$. Для немінімального простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ з властивостей простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \subset {\mathfrak {q}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {q}}_{t}}$ і за умовою ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ містить елементи, що не є дільниками нуля. Тобто єдиними простими ідеалами кільця ${\displaystyle R,}$ що не містять елементів, що не є дільниками нуля є ${\displaystyle \{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{t}\}}$ і їх породжені їх образами при локалізації ідеали є єдиними елементами спектру ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Spec} } (Q(R)).}$ Тому ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Spec} } (Q(R))}$ є скінченною дискретною множиною і з властивостей спектру кільця у цьому випадку ${\displaystyle Q(R)=A_{1}\times \ldots \times A_{t}}$ де ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Spec} } (A_{i})=\{q_{i}\}}$. Також ${\displaystyle A_{i}}$ є локалізацією кільця ${\displaystyle R}$. Тому ${\displaystyle A_{i}\cong R_{{\mathfrak {q}}_{i}}}$.

Див. також

• Локалізація кільця
• Поле часток

Посилання

• The Stacks project. 10.24 Zerodivisors and total rings of fractions.

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp.