Мінімальний простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал P називається мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо він є мінімальним (щодо включення) простим ідеалом, що містить I. Зокрема якщо I є простим ідеалом, то I є єдиним мінімальним простим ідеалом над собою. Простий ідеал називається мінімальним простим ідеалом якщо він є мінімальним простим ідеалом над нульовим ідеалом.

Приклади

• В комутативному кільці Артіна довільний максимальний ідеал є мінімальним простим ідеалом.
• В області цілісності єдиним мінімальним простим ідеалом є нульовий ідеал.
• В кільці цілих чисел Z, мінімальними простими ідеалами, що містять головний ідеал (n) є головні ідеали (p), де p є простими дільниками n. Єдиним мінімальним простим ідеалом є сам нульовий ідеал, оскільки цілі числа є областю цілісності. Подібні твердження справедливі і для довільного кільця головних ідеалів.
• Якщо I є p-примарним ідеалом (наприклад степінь p), доді p є єдиним мінімальним простим ідеалом над I.
• Ідеали ${\displaystyle (x)}$ і ${\displaystyle (y)}$ є мінімальними простими ідеалами в кільці ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ оскільки вони містять нульовий ідеал (який не є простим, оскільки ${\displaystyle x\cdot y=0\in (0)}$, але ні ${\displaystyle x}$ ні ${\displaystyle y}$ не є елементами нульового ідеалу) і не містяться в жодному іншому простому ідеалу.
• В кільці ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ мінімальними простими ідеалами над ідеалом ${\displaystyle ((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})}$ є ідеали ${\displaystyle (x^{3}-y^{3}-z^{3})}$ і ${\displaystyle (x^{5}+y^{5}+z^{5})}$.

Властивості

Всі ідеали нижче вважаються комутативними і містять одиничний елемент.

• Кожен власний ідеал I в кільці має хоча б один мінімальний простий ідеал над I. Доведення є типовим використанням леми Цорна. Будь-який максимальний ідеал, що містить I є простим тому множина простих ідеалів, що містять I є непустою. Перетин спадної послідовності простих ідеалів є простим ідеалом. Тому згідно леми Цорна множина простих ідеалів, що містять I має мінімальний елемент, що є мінімальним простим ідеалом над I.
• В нетеровому кільці, над кожним ідеалом є лише скінченна кількість мінімальних простих ідеалів.

Позначимо ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ множину всіх ідеалів ${\displaystyle I}$ нетерового кільця ${\displaystyle R}$ для яких множина всіх мінімальних простих ідеалів ${\displaystyle Min(I)}$ є нескінченною. Припустимо, що ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ . Тоді ця множина має максимальний елемент ${\displaystyle I}$.

Ідеал ${\displaystyle I}$ очевидно не є простим і тому ${\displaystyle \exists a,b\not \in I:ab\in I}$. Оскільки ${\displaystyle R}$ є нетеровим кільцем то кожен його ідеал є скінченнопородженим і зокрема ${\displaystyle I=(r_{1},\ldots ,r_{n}).}$

Позначимо ${\displaystyle J_{1}=(r_{1},\ldots ,r_{n},a)}$, ${\displaystyle J_{2}=(r_{1},\ldots ,r_{n},b).}$ Тоді ${\displaystyle I\subset J_{1},\;\;I\subset J_{2}}$ і також ${\displaystyle J_{1}J_{2}\subset I.}$ Оскільки ${\displaystyle I}$ є максимальним елементом у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ то множини ${\displaystyle Min(J_{1})}$ і ${\displaystyle Min(J_{2})}$ є скінченними.

Нехай тепер ${\displaystyle P\in Min(I)}$, і оскільки ${\displaystyle ab\in I\subset P}$ і ${\displaystyle P}$ є простим ідеалом, то ${\displaystyle a\in P}$ або ${\displaystyle b\in P.}$ Звідси за означеннями ${\displaystyle J_{1}\subset P}$ або ${\displaystyle J_{2}\subset P}$. Тобто ${\displaystyle P}$ належить ${\displaystyle Min(J_{1})}$ або ${\displaystyle Min(J_{2}).}$ Як наслідок ${\displaystyle Min(J_{1})}$ або ${\displaystyle Min(J_{2})}$ має бути нескінченною множиною. Але це суперечить максимальності ідеалу ${\displaystyle I}$ і завершує доведення.

• Радикал ідеалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ є рівним перетину мінімальних простих ідеалів над I.
• Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — мінімальний простий ідеал кільця ${\displaystyle R}$. Кожен елемент максимального ідеалу локалізації ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є нільпотентним. Якщо ${\displaystyle R}$ є редукованим кільцем, то ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є полем.

Якщо ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ не є нільпотентним то існує простий ідеал кільця ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$, що не містить ${\displaystyle x}$ (оскільки перетин простих ідеалів є рівним нільрадикалу). Але тоді у ${\displaystyle R}$ існує простий ідеал, що є власною підмножиною ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і це суперечить мінімальності останнього. Якщо ${\displaystyle R}$ є редукованим кільцем, то таким є і ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ тобто єдиним нільпотентним елементом є 0 і з попереднього ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0.}$ Тобто ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є полем.

• Усі елементи довільного мінімального простого ідеалу є дільниками нуля. Якщо кільце є редукованим, то навпаки кожен дільник нуля є елементом деякого мінімального простого ідеалу.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ мінімальний простий ідеал кільця ${\displaystyle R}$. Розглянемо мультиплікативну множину ${\displaystyle {\rm {\,S\,}}}$ породжену множинами ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle R\setminus Z,\ }$ де ${\displaystyle {\rm {\,Z}}}$ є множиною всіх дільників нуля у ${\displaystyle R}$ (включно і з ${\displaystyle 0).\,}$ Тоді ${\displaystyle {\rm {\,0\not \in S\ }}}$ (якщо ${\displaystyle {\rm {\,0=a\,b,}}}$ ${\displaystyle {\rm {\ a\in R\setminus {\mathfrak {p}},\ }}}$ ${\displaystyle {\rm {\ b\in R\setminus Z\ }}}$ то мало б бути ${\displaystyle {\rm {\Rightarrow b\in Z).}}}$ Тому існує ідеал ${\displaystyle {\rm {\,Q\,}}}$ який є максимальний з ідеалів, що не містить ${\displaystyle {\rm {\,S.\,}}}$ До того ж ${\displaystyle {\rm {\,Q\,}}}$ є простим (теорема віддільності у статті Простий ідеал). Але ${\displaystyle {\rm {\,S\,\supset \,R\setminus {\mathfrak {p}}\cup R\setminus Z\ }}}$ тому ${\displaystyle Q\subset {\mathfrak {p}}\cap Z,\,}$ і з мінімальності ${\displaystyle {\rm {\,{\mathfrak {p}}\,}}}$ випливає, що ${\displaystyle {\rm {\,{\mathfrak {p}}=Q\subset Z,}}}$ тобто всі елементи ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є дільниками нуля.

Для редукованого кільця ${\displaystyle R}$ якщо xy = 0 і ${\displaystyle y\not \neq 0,}$ то існує мінімальний простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ якому не належить y. Тоді ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}.}$

• Простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кільця R є єдиним мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо і тільки якщо ${\displaystyle {\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}}$. Ідеал I є ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарним якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є максимальним. За допомогою цього можна отримати локальний критерій: простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ є ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$-примарним ідеалом. Якщо R є нетеровим кільцем, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}}$ є кільцем Артіна. Прообраз ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ при гомоморфізмі ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$ є примарним ідеалом кільця ${\displaystyle R}$ який називається ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарною компонентою ідеалу I.

Див. також

• Висота (теорія кілець)
• Простий ідеал

Примітки

1. Kaplansky, 1974, с. 6
2. Kaplansky, 1974, с. 59
3. Eisenbud, 1995, с. 47
4. Kaplansky, 1974, с. 16
5. Kaplansky, 1974, с. 57

Посилання

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E [ 25 грудня 2017 у Wayback Machine.]
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P [ 26 грудня 2017 у Wayback Machine.]

Література

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings, University of Chicago Press, MR 0345945