Кільце головних ідеалів

Кільце головних ідеалів — асоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де ${\displaystyle a\in R}$. Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

Приклади

• Кільце цілих чисел;
• Кільце многочленів F[х] над полем F;
• Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$ є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.

Властивості

• Комутативне кільце головних ідеалів є прямою сумою областей головних ідеалів і кілець головних ідеалів, що мають єдиний простий ідеал, що є нільпотентним.
• Якщо R — область головних ідеалів, то два ненульові елементи a, b кільця R мають найбільший спільний лівий дільник (a, b) і найменше спільне праве кратне [а, b], які визначаються як елементи, що задовольняють рівності:

${\displaystyle aR+bR=(a,b)R;\quad aR\cap bR=[a,b]R.}$

Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.

• Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники (факторіальним кільцем).
• Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
• Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалів

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу ${\displaystyle k\leq n}$ над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k}}$, що ${\displaystyle b_{j}=e_{j}a_{j},\,1\leq j\leq k}$, де ${\displaystyle e_{j}\in R}$ і ${\displaystyle e_{j}}$ — є повним (тобто ${\displaystyle e_{j}R\cap Re_{j}\supseteq Re_{i}R}$) дільником елементів ${\displaystyle e_{i}}$ при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів ${\displaystyle R/e_{j}R,\quad 1\leq j\leq m}$ , де ${\displaystyle e_{j}\in R}$ і ${\displaystyle e_{j}}$ — повний дільник ${\displaystyle e_{i}}$ при ${\displaystyle j<i,e_{j}\neq 0}$. Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи ${\displaystyle e_{j},\quad 1\leq j\leq m}$, з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів ${\displaystyle R/e_{j}R}$, де ${\displaystyle e_{j}\in R,\quad 1\leq j\leq k}$. Елементи ${\displaystyle e_{j},\quad 1\leq j\leq k}$, визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то ${\displaystyle q_{j}R=0}$ або ${\displaystyle q_{j}R=p_{j}^{n_{j}},\quad 1\leq j\leq k}$, де ${\displaystyle p_{j}}$ - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. також

• Кільце Безу
• Область головних ідеалів

Джерела

• (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
• Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;