Область головних ідеалів — це область цілісності, в якій будь-який ідеал є головним. Загальніше поняття — кільце головних ідеалів, від якого не вимагається цілісність (однак деякі автори, наприклад Бурбакі, посилаються на кільце головних ідеалів як на цілісне кільце).
Елементи кільця головних ідеалів у деякому сенсі схожі на числа: для будь-якого елемента існує єдиний розклад на прості, для будь-яких двох елементів існує найбільший спільний дільник.
Області головних ідеалів можна позначити на такому ланцюжку включень:
- Коммутативні кільця ⊃ Області цілісності ⊃ Факторіальні кільця ⊃ Області головних ідеалів ⊃ Евклідові кільця ⊃ Поля
Крім того, всі області головних ідеалів є нетерівськими і дедекіндовими кільцями.
Приклади
- Кільце цілих чисел
- Кільце многочленів над полем k — k[x], а також кільце формальних степеневих рядів
- Z[i] — кільце цілих гаусових чисел
- Кільце цілих чисел Ейзенштейна
Приклади цілісних кілець, які не є кільцями головних ідеалів:
- Z[x] — кільце многочленів з цілими коефіцієнтами (ідеал (2, x) можна породити одним многочленом)
- Кільце многочленів від двох змінних k[x, y] (ідеал (x, y) не є головним)
Модулі
Основний результат тут — така теорема: якщо R — область головних ідеалів і M — скінченнопороджений модуль над R, то M розкладається в пряму суму циклічних модулів, тобто модулів, породжених одним елементом. Оскільки існує сюр'єктивний гомоморфізм з R у циклічний модуль над ним (який відправляє одиницю в генератор), за теоремою про гомоморфізм будь-який циклічний модуль має вигляд для деякого
.
Зокрема, будь-який підмодуль вільного модуля над областю головних ідеалів вільний. Це хибно для довільних кілець, як контрприклад можна навести вкладення -модулів
.
Див. також
Література
- Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004.
- Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oblast golovnih idealiv ce oblast cilisnosti v yakij bud yakij ideal ye golovnim Zagalnishe ponyattya kilce golovnih idealiv vid yakogo ne vimagayetsya cilisnist odnak deyaki avtori napriklad Burbaki posilayutsya na kilce golovnih idealiv yak na cilisne kilce Elementi kilcya golovnih idealiv u deyakomu sensi shozhi na chisla dlya bud yakogo elementa isnuye yedinij rozklad na prosti dlya bud yakih dvoh elementiv isnuye najbilshij spilnij dilnik Oblasti golovnih idealiv mozhna poznachiti na takomu lancyuzhku vklyuchen Kommutativni kilcya Oblasti cilisnosti Faktorialni kilcya Oblasti golovnih idealiv Evklidovi kilcya Polya Krim togo vsi oblasti golovnih idealiv ye neterivskimi i dedekindovimi kilcyami PrikladiKilce cilih chisel Z displaystyle mathbb Z Kilce mnogochleniv nad polem k k x a takozh kilce formalnih stepenevih ryadiv Z i kilce cilih gausovih chisel Kilce cilih chisel Ejzenshtejna Prikladi cilisnih kilec yaki ne ye kilcyami golovnih idealiv Z x kilce mnogochleniv z cilimi koeficiyentami ideal 2 x mozhna poroditi odnim mnogochlenom Kilce mnogochleniv vid dvoh zminnih k x y ideal x y ne ye golovnim ModuliOsnovnij rezultat tut taka teorema yaksho R oblast golovnih idealiv i M skinchennoporodzhenij modul nad R to M rozkladayetsya v pryamu sumu ciklichnih moduliv tobto moduliv porodzhenih odnim elementom Oskilki isnuye syur yektivnij gomomorfizm z R u ciklichnij modul nad nim yakij vidpravlyaye odinicyu v generator za teoremoyu pro gomomorfizm bud yakij ciklichnij modul maye viglyad R x R displaystyle R xR dlya deyakogo x R displaystyle x in R Zokrema bud yakij pidmodul vilnogo modulya nad oblastyu golovnih idealiv vilnij Ce hibno dlya dovilnih kilec yak kontrpriklad mozhna navesti vkladennya Z X displaystyle mathbb Z X moduliv 2 X Z X displaystyle 2 X subseteq mathbb Z X Div takozhAlgoritm Evklida Normalna forma SmitaLiteraturaZarisskij O Samuel P Kommutativnaya algebra tt 1 2 M IL 1963 Michiel Hazewinkel Nadiya Gubareni V V Kirichenko Algebras rings and modules Kluwer Academic Publishers 2004 ISBN 1 4020 2690 0 Nathan Jacobson Basic Algebra I Dover 2009 ISBN 978 0 486 47189 1