Евклідове кільце

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Визначення

Евклідове кільце — область цілісності ${\displaystyle R}$, для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) ${\displaystyle d\colon R\to \mathbb {N} \cup \{-\infty \}}$, причому ${\displaystyle d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0}$, і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких ${\displaystyle a,b\in R,\,b\neq 0}$ є представлення ${\displaystyle a=bq+r}$, для якого ${\displaystyle d(r)<d(b)}$.

Примітка

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: ${\displaystyle d(a)\leq d(ab)}$ для будь-яких ${\displaystyle a}$ та ненульових ${\displaystyle b}$ з кільця ${\displaystyle R}$. Якщо на ${\displaystyle R}$ задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

${\displaystyle d'(a)=\min\{d(ax):\,x\in R,\,x\neq 0\}}$

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай ${\displaystyle x\in R}$ такий, що ${\displaystyle d'(b)=d(bx)}$. Розділимо з остачею ax на bx: ${\displaystyle ax=bxq'+r'x}$, де ${\displaystyle r'=a-bq'}$ і ${\displaystyle d(r'x)<d(bx)=d'(b)}$. Тому що з визначення ${\displaystyle d'(r')\leq d(r'x)}$, ми отримали представлення ${\displaystyle a=bq'+r'}$ з ${\displaystyle d'(r')<d'(b)}$, що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади

• Кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Приклад евклідової функції — абсолютна величина ${\displaystyle |\cdot |}$.
• Кільце цілих гаусових чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ (де i — уявна одиниця, ${\displaystyle i^{2}=-1}$) з нормою ${\displaystyle d(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$ — евклідове.
• Довільне поле ${\displaystyle K}$ є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює ${\displaystyle 1}$ для всіх елементів, окрім ${\displaystyle 0}$.
• Кільце многочленів від однієї змінної ${\displaystyle K[x]}$ над полем ${\displaystyle K}$. Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, ${\displaystyle \mathrm {deg} \,(\cdot )}$.
• Кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle K[[x]]}$ над полем ${\displaystyle K}$ є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
• Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — ${\displaystyle 0}$, необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
• Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
• Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
• Кільце часток ${\displaystyle S^{-1}R}$ евклідового кільця ${\displaystyle R}$ по мультиплікативній системі ${\displaystyle S}$ також є евклідовим. Нормою дробу ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle S^{-1}R}$ приймається

${\displaystyle d_{S}(x)=\min\{d_{R}(u):\,(u,s)\in R\times S,\,x=u/s\}}$, де ${\displaystyle d_{R}}$ — евклідова норма в ${\displaystyle R}$, а ${\displaystyle d_{S}}$ — норма в ${\displaystyle S^{-1}R}$.

Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби ${\displaystyle x=r/t}$ і ${\displaystyle y}$ з ${\displaystyle S^{-1}R}$. За визначенням норми в ${\displaystyle S^{-1}R}$ існують елементи ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle s}$ в S, такі що ${\displaystyle y=u/s}$ і ${\displaystyle d_{S}(y)=d_{R}(u)}$. Вчинимо ділення з остачею в кільці ${\displaystyle R}$ елементів ${\displaystyle rs}$ і ${\displaystyle u}$:
rs = uq + r', так що ${\displaystyle d_{R}(r')<d_{R}(u)}$. Тоді ${\displaystyle r/t=(u/s)(q/t)+r'/ts}$. З побудови випливають нерівності ${\displaystyle d_{S}(r'/ts)\leq d_{R}(r')<d_{R}(u)=d_{S}(y)}$.

• Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$.

Алгоритм Евкліда

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи ${\displaystyle a_{0}}$ і ${\displaystyle a_{1}}$, при чому ${\displaystyle d(a_{1})\leq d(a_{0})}$ і ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$. Ділення з остачею дає елемент ${\displaystyle a_{2}=a_{0}-a_{1}q_{1}}$ с ${\displaystyle d(a_{2})<d(a_{1})}$. Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент ${\displaystyle a_{3}=a_{1}-a_{2}q_{2}}$, і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ з ${\displaystyle d(a_{0})>d(a_{1})>d(a_{2})>\dots }$. Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з ${\displaystyle N\cup \{-\infty \}}$ може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому ${\displaystyle n}$ остача ${\displaystyle a_{n+1}}$ дорівнює нулю, а ${\displaystyle a_{n}}$ не дорівнює, вона і є НСД елементів ${\displaystyle a_{0}}$ і ${\displaystyle a_{1}}$. Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець

• В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
  • Нехай ${\displaystyle I}$ — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент ${\displaystyle f}$ з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо ${\displaystyle g}$ — довільний елемент ідеалу ${\displaystyle I}$, запишемо його у вигляді ${\displaystyle g=fg+r}$ з ${\displaystyle d(r)<d(f)}$. Тоді ${\displaystyle r}$ — також елемент ідеалу ${\displaystyle I}$ і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у ${\displaystyle f}$. Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі ${\displaystyle (f)}$. З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент ${\displaystyle f}$, містить ідеал ${\displaystyle (f)}$. Отже, ${\displaystyle I=(f)}$ — головний ідеал.
• Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
• Кожне евклідове кільце ${\displaystyle R}$ цілозамкнене, тобто якщо дріб ${\displaystyle a/b,\,a,b\in R}$, є коренем многочлена ${\displaystyle f\in R[x]}$ зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює ${\displaystyle 1}$, тоді ${\displaystyle a}$ ділиться на ${\displaystyle b}$. Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Нехай ${\displaystyle R}$ — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені ${\displaystyle R}$-модулі характеризуються такими властивостями:

• Кожен підмодуль ${\displaystyle N}$ скінченнопородженого ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle M}$ скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця ${\displaystyle R}$)
• Ранг підмодуля ${\displaystyle N}$ не перевищує рангу модуля ${\displaystyle M}$. (наслідок того, що ідеали в ${\displaystyle R}$ головні)
• Підмодуль вільного ${\displaystyle R}$-модуля вільний.
• Гомоморфізм ${\displaystyle A\colon N\to M}$ скінченнопороджених ${\displaystyle R}$-модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ модуля ${\displaystyle N}$, твірні (базис) ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}}$ модуля ${\displaystyle M}$, номер ${\displaystyle k\leq \min\{m,n\}}$ і ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ — елементи кільця ${\displaystyle R}$, такі що ${\displaystyle a_{i}}$ ділить ${\displaystyle a_{i+1}}$ та при ${\displaystyle i>k}$ ${\displaystyle Au_{i}=0}$, а при інших — ${\displaystyle Au_{i}=a_{i}v_{i}}$. При цьому коефіцієнти ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця ${\displaystyle R}$. (Тут прямо задіяна евклідовість кільця ${\displaystyle R}$.)

Див. також

• Кільце
• Поле
• Область цілісності
• Кільце головних ідеалів
• Алгоритм Евкліда
• Евклід

Джерела

Українською

• (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Weisstein, Eric W. Евклідове кільце(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• J. von zur Gathen, J. Gerhard, «Modern Computer Algebra»,