Кільце Безу

Кільце Безу (назване на честь французького математика Етьєна Безу) — область цілісності, в якій кожен скінченнопорождений ідеал є головним. З цього визначення випливає, що кільце Безу нетерове тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів, узагальненням яких і є кільця Безу.

Властивості

Цілісне кільце є кільцем Безу тоді і тільки тоді, коли в цьому кільці будь-які два елементи мають найбільший спільний дільник (НСД), що записується у вигляді їх лінійної комбінації. Ця умова означає, що кожен ідеал з двома твірними допускає одну твірну, з чого по індукції виводиться, що кожен скінченнопорождений ідеал є головним. Представлення НСД двох елементів їх лінійною комбінацією часто називають . Також в кільці Безу для скінченної кількості елементів визначене найменше спільне кратне.

Для кільця Безу ${\displaystyle R}$ наступні умови еквівалентні:

1. ${\displaystyle R}$ — кільце головних ідеалів.
2. ${\displaystyle R}$ — нетерове.
3. ${\displaystyle R}$ — область з однозначним розкладом (факторіальне кільце).
4. ${\displaystyle R}$ задовольняє умові обриву зростаючих ланцюгів головних ідеалів.
5. Довільний елемент ${\displaystyle R}$ розкладається в добуток незвідних елементів.

Кільце Безу є цілозамкнутим і його локалізація (тобто кільце часток) знову є кільцем Безу.

Як і для кілець головних ідеалів, скінченнопороджений модуль над кільцем Безу є прямою сумою модуля кручення і вільного модуля.

Приклади

Приклади не нетерових кілець Безу:

• (Helmer, 1940) Кільце функцій, голоморфних на всій комплексній площині.
• Кільце цілих алгебраїчних чисел.

Джерела

• P.M. Cohn, Bezout rings and their subrings [ 3 березня 2016 у Wayback Machine.], 1967.