Незвідний елемент

Незвідним елементом в області R називається елемент, що не є оборотним в R, і з рівності p=bc, випливає, що або b, або c є оборотним елементом.

Якщо p≠0 — простий елемент, тобто (p) — простий ідеал, то p є незвідним. Справді, тоді якщо p=ab маємо через простоту (p) що, наприклад a ∈(p). Тоді маємо: a=px для деякого x, значить a=abx і bx=1, тобто b є оборотним. Зворотне в загальному випадку невірно, хоча виконується для довільного факторіального кільця.

Приклади

• Прості числа є незвідними елементами кільця цілих чисел.
• Незвідні многочлени є незвідними елементами кільця многочленів.
• В кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ квадратичних цілих чисел, число 3 є незвідним ${\displaystyle (N(3)=9,}$ у цьому кільці немає елемента норма якого дорівнює 3 і оскільки ${\displaystyle N(ab)=N(a)N(b),}$ то один з дільників має бути ${\displaystyle \pm 1),}$ але не є простим оскільки число 9 може бути записане як ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$.

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)