Простий елемент

У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.

Визначення

Елемент ${\displaystyle c}$ комутативного кільця з одиницею ${\displaystyle (R,+,\cdot ,0,1)}$ називається простим, якщо ${\displaystyle c}$ не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів ${\displaystyle a,b\in R}$ з того що ${\displaystyle c}$ ділить добуток ${\displaystyle a\cdot b}$ випливає, що ${\displaystyle c}$ ділить також хоча б один з елементів ${\displaystyle a}$ або ${\displaystyle b}$.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle c}$ є простим елементом і ${\displaystyle e}$ є оборотним елементом, то добуток ${\displaystyle c\cdot e}$ теж є простим елементом.
• Для елемента ${\displaystyle c\neq 0}$ породжений ним ідеал ${\displaystyle (c)}$ є простим тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle c}$ є простим елементом.
• Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним:

Припустимо, що ${\displaystyle p}$ є простим елементом і існує розклад на добуток елементів ${\displaystyle p=ab.}$ Тоді ${\displaystyle p|ab\Rightarrow p|a}$ або ${\displaystyle p|b.}$ Нехай ${\displaystyle p|a\Rightarrow a=pc,}$ тоді ${\displaystyle p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.}$ Оскільки ${\displaystyle R}$ є областю цілісності то ${\displaystyle cb=1.}$ Тож ${\displaystyle b}$ є оборотним елементом і ${\displaystyle p}$ є незвідним.

Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади).

• Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.

Приклади

• Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів.
• Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …).
• Простими елементами в кільці гаусових чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ є добуток ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ і простих чисел виду ${\displaystyle 4k+3,\ k\in \mathbb {Z} }$, а також числа ${\displaystyle a+b\cdot i,\ a,b\in \mathbb {Z} }$, для яких ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ є простим числом, зокрема ${\displaystyle 3,\,7,\,11,\,1+i,\,2+3i}$ Числа ${\displaystyle 2=(1+i)\cdot (1-i)}$, ${\displaystyle 5=(2+i)\cdot (2-i)}$ і ${\displaystyle 3+i=(1+i)\cdot (2-i)}$ не є простими.
• Область цілісності ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ (множина чисел виду ${\displaystyle a+b\cdot i{\sqrt {5}}}$ де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема ${\displaystyle 2|(1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})=6}$ проте 2 не ділить жодне з чисел ${\displaystyle 1+i{\sqrt {5}},1-i{\sqrt {5}}}$. В іншому випадку норма числа 2 ${\displaystyle N(2)=4}$ ділила б норму котрогось з цих чисел. Але ${\displaystyle N(1+i{\sqrt {5}})=N(1-i{\sqrt {5}})=6.}$ Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник ${\displaystyle a+b\cdot i{\sqrt {5}}}$ мав би задовольнять рівність ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=2,}$ що неможливо.
• В кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,}$ що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але ${\displaystyle 2=2\cdot 4,\;3=3\cdot 3,}$ тож вони не є незвідними.

Див. також

• Незвідний елемент
• Простий ідеал

Джерела

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)