У загальній алгебрі, термін скрут (іноді кручення, за́крут) стосується елементів групи, що має скінченний порядок, або елементів модуля, що анулюються регулярним елементом кільця.
Визначення
Елемент g групи G називається елементом закруту, якщо він має скінченний порядок, тобто існує натуральне n, таке що gn = e, де e позначає нейтральний елемент групи. Група називається періодичною (або групою із за́крутом), якщо всі її елементи є елементами закруту, і безза́крутовою групою, якщо єдиний елемент закруту — нейтральний. Відомо, що будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел; зокрема, визначення елемента закруту для неї можна переформулювати так: існує ненульове ціле число, таке що множення на це число переводить даний елемент в нуль. Це приводить до такого визначення:
Елемент m модуля M над кільцем R називається елементом за́круту, якщо існує ненульовий регулярний елемент r кільця R (тобто елемент, який не є лівим або правим дільником нуля), що анулює m, тобто такий, що rm = 0.
У разі роботи з цілісним кільцем припущення регулярності можна відкинути. Аналогічно визначаються модуль закруту і модуль без закруту. У разі, якщо кільце R комутативне, множина всіх елементів закруту модуля M утворює підмодуль, званий підмодулем закруту (зокрема, для модуля над Z він називається підгрупою закруту).
Загальніше, нехай M — модуль над кільцем R і S — мультиплікативно замкнута система кільця. Елемент m модуля M називається елементом S-закруту, якщо існує елемент мультиплікативної системи, який анулює m. Зокрема, множина регулярних елементів кільця є найбільшою мультиплікативною системою.
Приклади
- Нехай M — вільний модуль над кільцем R, з визначення негайно випливає, що M є модулем без закруту. Зокрема, векторні простори не мають закруту.
- В модулярній групі будь-який нетривіальний елемент закруту або має порядок 2 і є спряженим з S, або має порядок 3 і є спряженим з ST. Елементи закруту тут не утворюють підгрупи: наприклад, S · ST = T, а T має нескінченний порядок.
- Абелева група
(яку можна уявляти як групу поворотів кола на кут, сумірний з довжиною кола) є групою кручення. Цей приклад можна узагальнити так: якщо R — комутативне кільце, а Q — його поле часток, то Q/R є групою закруту.
- Нехай задано векторний простір V над полем F з лінійним оператором. Якщо природним чином розглядати цей простір як F(x)-модуль, то цей модуль є модулем закруту (за теоремою Гамільтона-Келі, або просто через скінченновимірність простору).
Випадок області головних ідеалів
Нехай R — область головних ідеалів, і M — скінченнопороджений R-модуль. За відповідною структурною теоремою, цей модуль можна розкласти в пряму суму
де F — вільний R-модуль, а T(M) — підмодуль закруту модуля M. Для модулів, які не є скінченнопородженими, такого розкладу, взагалі кажучи, не існує: навіть підгрупа закруту абелевої групи не обов'язково є прямим доданком.
Кручення і локалізація
Нехай R — область цілісності з полем часток Q, а M — R-модуль. Тоді можна розглянути Q-модуль (тобто векторний простір)
Існує природний гомоморфізм з абелевої групи M в абелеву групу MQ, і ядро цього гомоморфізму — точно підмодуль закруту. Аналогічно, для локалізації кільця R за мультиплікативною системою S
ядро природного гомоморфізму — це точно елементи S-закруту. Таким чином, підмодуль закруту можна розуміти як множину тих елементів, які ототожнюються при локалізації.
Закрут у гомологічній алгебрі
Поняття закруту відіграє важливу роль у гомологічній алгебрі. Якщо M і N — модулі над комутативним кільцем R, функтор Tor дозволяє отримати сімейство R-модулів Tori(M,N). При цьому модуль S-закруту модуля M природно ізоморфний Tor1(M, R,S/R). Зокрема, з цього зразу випливає, що плоскі модулі є модулями без закруту. Назва Tor є скороченням від англійського torsion (закрут).
Примітки
- М. М. Семко, М. М. Пискун. Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп (PDF) (укр) . ISSN 1025-6415. Процитовано 22 лютого 2021.
- О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. Теорія груп / Навчальний посібник для студентів механіко-математичного факультету. — Київ : Видавничо–поліграфічний центр “Київський університет”, 2005.
- В. О. Оніщук, Б. К. Гануліч. Групи, що задовольняють слабку умову мінімальності для неабелевих субнормальних підгруп // Комп'ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. — Луцький національний технічний університет, 2011. — № 3. — С. 167. з джерела 21 квітня 2018. Процитовано.
- Термін у словниках
Література
- Ernst Kunz, Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser 1985 —
- Irving Kaplansky, Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
- Michiel Hazewinkel (2001), Torsion submodule [ 5 травня 2014 у Wayback Machine.], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer —
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Skrut U zagalnij algebri termin skrut inodi kruchennya za krut stosuyetsya elementiv grupi sho maye skinchennij poryadok abo elementiv modulya sho anulyuyutsya regulyarnim elementom kilcya ViznachennyaElement g grupi G nazivayetsya elementom zakrutu yaksho vin maye skinchennij poryadok tobto isnuye naturalne n take sho gn e de e poznachaye nejtralnij element grupi Grupa nazivayetsya periodichnoyu abo grupoyu iz za krutom yaksho vsi yiyi elementi ye elementami zakrutu i bezza krutovoyu grupoyu yaksho yedinij element zakrutu nejtralnij Vidomo sho bud yaka abeleva grupa ye modulem nad kilcem cilih chisel zokrema viznachennya elementa zakrutu dlya neyi mozhna pereformulyuvati tak isnuye nenulove cile chislo take sho mnozhennya na ce chislo perevodit danij element v nul Ce privodit do takogo viznachennya Element m modulya M nad kilcem R nazivayetsya elementom za krutu yaksho isnuye nenulovij regulyarnij element r kilcya R tobto element yakij ne ye livim abo pravim dilnikom nulya sho anulyuye m tobto takij sho rm 0 U razi roboti z cilisnim kilcem pripushennya regulyarnosti mozhna vidkinuti Analogichno viznachayutsya modul zakrutu i modul bez zakrutu U razi yaksho kilce R komutativne mnozhina vsih elementiv zakrutu modulya M utvoryuye pidmodul zvanij pidmodulem zakrutu zokrema dlya modulya nad Z vin nazivayetsya pidgrupoyu zakrutu Zagalnishe nehaj M modul nad kilcem R i S multiplikativno zamknuta sistema kilcya Element m modulya M nazivayetsya elementom S zakrutu yaksho isnuye element multiplikativnoyi sistemi yakij anulyuye m Zokrema mnozhina regulyarnih elementiv kilcya ye najbilshoyu multiplikativnoyu sistemoyu PrikladiNehaj M vilnij modul nad kilcem R z viznachennya negajno viplivaye sho M ye modulem bez zakrutu Zokrema vektorni prostori ne mayut zakrutu V modulyarnij grupi bud yakij netrivialnij element zakrutu abo maye poryadok 2 i ye spryazhenim z S abo maye poryadok 3 i ye spryazhenim z ST Elementi zakrutu tut ne utvoryuyut pidgrupi napriklad S ST T a T maye neskinchennij poryadok Abeleva grupa Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z yaku mozhna uyavlyati yak grupu povorotiv kola na kut sumirnij z dovzhinoyu kola ye grupoyu kruchennya Cej priklad mozhna uzagalniti tak yaksho R komutativne kilce a Q jogo pole chastok to Q R ye grupoyu zakrutu Nehaj zadano vektornij prostir V nad polem F z linijnim operatorom Yaksho prirodnim chinom rozglyadati cej prostir yak F x modul to cej modul ye modulem zakrutu za teoremoyu Gamiltona Keli abo prosto cherez skinchennovimirnist prostoru Vipadok oblasti golovnih idealivNehaj R oblast golovnih idealiv i M skinchennoporodzhenij R modul Za vidpovidnoyu strukturnoyu teoremoyu cej modul mozhna rozklasti v pryamu sumu M F T M displaystyle M simeq F oplus T M de F vilnij R modul a T M pidmodul zakrutu modulya M Dlya moduliv yaki ne ye skinchennoporodzhenimi takogo rozkladu vzagali kazhuchi ne isnuye navit pidgrupa zakrutu abelevoyi grupi ne obov yazkovo ye pryamim dodankom Kruchennya i lokalizaciyaNehaj R oblast cilisnosti z polem chastok Q a M R modul Todi mozhna rozglyanuti Q modul tobto vektornij prostir MQ M RQ displaystyle M Q M otimes R Q Isnuye prirodnij gomomorfizm a a 1 displaystyle a mapsto a otimes 1 z abelevoyi grupi M v abelevu grupu MQ i yadro cogo gomomorfizmu tochno pidmodul zakrutu Analogichno dlya lokalizaciyi kilcya R za multiplikativnoyu sistemoyu S MS M RRS displaystyle M S M otimes R R S yadro prirodnogo gomomorfizmu ce tochno elementi S zakrutu Takim chinom pidmodul zakrutu mozhna rozumiti yak mnozhinu tih elementiv yaki ototozhnyuyutsya pri lokalizaciyi Zakrut u gomologichnij algebriPonyattya zakrutu vidigraye vazhlivu rol u gomologichnij algebri Yaksho M i N moduli nad komutativnim kilcem R funktor Tor dozvolyaye otrimati simejstvo R moduliv Tori M N Pri comu modul S zakrutu modulya M prirodno izomorfnij Tor1 M R S R Zokrema z cogo zrazu viplivaye sho ploski moduli ye modulyami bez zakrutu Nazva Tor ye skorochennyam vid anglijskogo torsion zakrut PrimitkiM M Semko M M Piskun Pro deyaki uzagalnennya nablizheno normalnih pidgrup PDF ukr ISSN 1025 6415 Procitovano 22 lyutogo 2021 O G Ganyushkin O O Bezushak Teoriya grup Navchalnij posibnik dlya studentiv mehaniko matematichnogo fakultetu Kiyiv Vidavnicho poligrafichnij centr Kiyivskij universitet 2005 V O Onishuk B K Ganulich Grupi sho zadovolnyayut slabku umovu minimalnosti dlya neabelevih subnormalnih pidgrup Komp yuterno integrovani tehnologiyi osvita nauka virobnictvo Luckij nacionalnij tehnichnij universitet 2011 3 S 167 z dzherela 21 kvitnya 2018 Procitovano Termin u slovnikahLiteraturaErnst Kunz Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry Birkhauser 1985 ISBN 0 8176 3065 1 Irving Kaplansky Infinite abelian groups University of Michigan 1954 Michiel Hazewinkel 2001 Torsion submodule 5 travnya 2014 u Wayback Machine in Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4