Підгрупа кручення

Підгрупа кручення (торсійна підгрупа) (англ. torsion subgroup) — підгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи ${\displaystyle A}$ позначається ${\displaystyle \operatorname {Tor} \,A}$.

Підгрупою p-кручення ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}\,A}$ називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається .

Властивості і приклади

• Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:

${\displaystyle A_{T}=\bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;}$

• Будь-яка скінченнопороджена абелева група може бути розкладена в пряму суму вигляду

${\displaystyle A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tor} \,A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor} _{p_{i}}\,A}$

де ${\displaystyle p_{i}}$ — прості числа.

• Факторгрупа ${\displaystyle A/\operatorname {Tor} \,A}$ є групою без кручень.
• Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:

< x, y | x² = y² = 1 >

елементи x і y мають порядок 2, проте елементи xy і yx мають нескінченні порядки.

• Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.

Див. також

• Періодична група
• Скрут (алгебра)

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)