У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.
Означення
Нехай — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного
- Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:
- Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх :
Приклади
- Кільце цілих чисел і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими.
- Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем.
- Для будь-якого комутативного кільця R, кільце є редукованим. Більш загально кільце є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто .
- Кільце містить ненульовий нільпотентний елемент і тому не є редукованим. Натомість кільце є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів.
- Кільце не є редукованим, оскільки ненульовий елемент є нільпотентним.
- Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею
- Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.
Властивості
- Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що Jk = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими.
- Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця мають вид де I — двосторонній ідеал кільця R, а тому якщо то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими.
- Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.
- У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли для деяких Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації.
- Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим.
- Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем.
- Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.
- Нехай — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів.
- Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх і тому y не належить деякому . Оскільки натомість xy належить усім то x є елементом .
- Нехай . S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію . Позначимо прообраз максимального ідеалу. Тоді є підмножиною D і і з мінімальності .
- Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем.
- Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець для якого усі проєкції на є сюр'єктивними.
Редукована схема
Схема називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини кільце є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки локальне кільце
є редукованим.
Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента виконується рівність то образ у є рівним нулю для всіх і тому теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що
Навпаки, якщо є редукованим для всіх відкритих підмножин і ненульового то для будь-якого представника елемента з означення локального кільця, елемент є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси теж не є нільпотентним у Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.
Зокрема афінна схема є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.
Примітки
Див. також
- Нільрадикал
- (Нормальне кільце)
- Область цілісності
Література
- Kaplansky, Irving (1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN .
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR1838439
- Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U abstraktnij algebri redukovanim nazivayetsya kilce v yakomu nemaye nenulovih nilpotentnih elementiv Dane ponyattya ye vazhlivim u algebrichnij geometriyi de na jogo osnovi takozh vvoditsya ponyattya redukovanoyi shemi OznachennyaNehaj R displaystyle R kilce Vono nazivayetsya redukovanim yaksho dlya kozhnogo r R displaystyle r in R rn 0 r 0 displaystyle r n 0 Leftrightarrow r 0 Dlya komutativnih kilec ekvivalentno mozhna skazati sho kilce ye redukovanim yaksho jogo nilradikal ye nulovim idealom 0 0 displaystyle sqrt 0 0 Ekvivalentno kilce ye redukovanim yaksho dlya vsih r R displaystyle r in R r2 0 r 0 displaystyle r 2 0 Leftrightarrow r 0 PrikladiKilce cilih chisel Z displaystyle mathbb Z i kilce mnogochleniv nad bud yakim polem ye redukovanimi Bilsh zagalno bud yaka oblast cilisnosni ye redukovanim kilcem Dlya bud yakogo komutativnogo kilcya R kilce R 0 displaystyle R sqrt 0 ye redukovanim Bilsh zagalno kilce R I displaystyle R I ye redukovanim todi i tilki todi koli ideal I ye radikalnim tobto I I displaystyle I sqrt I Kilce Z 4 displaystyle mathbb Z 4 mistit nenulovij nilpotentnij element 2 displaystyle 2 i tomu ne ye redukovanim Natomist kilce Z 6 displaystyle mathbb Z 6 ye redukovanim i ye prikladom redukovanogo komutativnogo kilce sho ne ye oblastyu cilisnosti V zagalnomu vipadku Z n displaystyle mathbb Z n ye redukovanim todi i tilki todi koli n 0 abo n ye naturalnim chislom vilnim vid kvadrativ Kilce K X X2 displaystyle K X X 2 ne ye redukovanim oskilki nenulovij element X displaystyle X ye nilpotentnim Kilcya matric nad bud yakim kilcem ne ye redukovanimi Napriklad dlya matric poryadku 2 nad bud yakim kilcem z odiniceyu 0100 0100 0000 displaystyle left begin matrix 0 amp 1 0 amp 0 end matrix right cdot left begin matrix 0 amp 1 0 amp 0 end matrix right left begin matrix 0 amp 0 0 amp 0 end matrix right Komutativne kilce R harakteristiki p ye redukovanim todi i tilki todi koli jogo endomorfizm Frobeniusa ye in yektivnim VlastivostiBud yake redukovane kilce ye napivprostim tobto z togo sho Jk 0 dlya deyakogo idealu J viplivaye sho J 0 Dlya komutativnih kilec ponyattya redukovanosti i napivprostoti ye ekvivalentnimi Natomist isnuyut nekomutativni kilcya sho ye napivprostimi ale ne redukovanimi Zokrema yak opisano v prikladah kilce kvadratnih matric nad bud yakim kilcem ne ye redukovanim Natomist dvostoronni ideali kilcya Mn R displaystyle M n R mayut vid Mn I displaystyle M n I de I dvostoronnij ideal kilcya R a tomu yaksho Mn I Mn I 0 displaystyle M n I M n I 0 to i II 0 U vipadku napivprostogo kilcya zvidsi I 0 i tomu Mn I 0 displaystyle M n I 0 Tobto kilcya kvadratnih matric nad napivprostimi kilcyami ye napivprostimi ale ne redukovanimi Pidkilcya dobutki lokalizaciyi u komutativnomu vipadku redukovanih kilec ye redukovanimi kilcyami U vipadku lokalizaciyi za multiplikativnoyu mnozhinoyu S nenulovij element r s de r R s S displaystyle r in R s in S bude nilpotentnim todi i tilki todi koli trn 0 displaystyle tr n 0 dlya deyakih t S n N displaystyle t in S n in mathbb N Ale todi tr ye nilpotentnim elementom u R Do togo zh tr ne ye nulovim oskilki todi b r s buv nulovim elementom u lokalizaciyi dd Yaksho vsi lokalizaciyi za maksimalnimi idealami komutativnogo kilcya R ye redukovanimi to R tezh ye redukovanim Pripustimo x ye nenulovim elementom v R i xn 0 Anigilyator ann x mistitsya v deyakomu maksimalnomu ideali m displaystyle mathfrak m Obraz elementa x ye nenulovim v lokalizaciyi kilcya R za idealom m displaystyle mathfrak m oskilki v inshomu vipadku xs 0 displaystyle xs 0 dlya deyakogo s m displaystyle s not in mathfrak m i s displaystyle s nalezhit anigilyatoru x vsuperech oznachennyu m displaystyle mathfrak m Tomu lokalizaciya R za m displaystyle mathfrak m ne ye redukovanim kilcem dd Mnozhina D dilnikiv nulya u komutativnomu redukovanomu kilci ye rivnoyu ob yednannyu minimalnih prostih idealiv Nehaj pi displaystyle mathfrak p i mnozhina mozhlivo porozhnya minimalnih prostih idealiv D pi displaystyle D subset cup mathfrak p i Nehaj x ye dilnikom nulya tobto xy 0 dlya deyakogo nenulovogo y Oskilki R ye redukovanim to 0 ye peretinom usih pi displaystyle mathfrak p i i tomu y ne nalezhit deyakomu pj displaystyle mathfrak p j Oskilki natomist xy nalezhit usim pi displaystyle mathfrak p i to x ye elementom pj displaystyle mathfrak p j D pi displaystyle D supset mathfrak p i Nehaj S xy x R D y R p displaystyle S xy x in R D y in R mathfrak p S ye multiplikativnoyu mnozhinoyu i tomu mozhna rozglyanuti lokalizaciyu R R S 1 displaystyle R to R S 1 Poznachimo q displaystyle mathfrak q proobraz maksimalnogo idealu Todi q displaystyle mathfrak q ye pidmnozhinoyu D i pi displaystyle mathfrak p i i z minimalnosti q pi displaystyle mathfrak q mathfrak p i dd Dlya zagalnogo ne obov yazkovo komutativnogo redukovanogo kilcya R bud yakij minimalnij prostij ideal I ye silno prostim tobto R I ye cilisnim kilcem Kilce R ye redukovanim todi i tilki todi koli vono ye pidpryamim dobutkom kilec cilisnosti tobto vono ye izomorfnim deyakomu pidkilcyu pryamogo dobutku kilec Rl l L displaystyle R lambda lambda in Lambda dlya yakogo usi proyekciyi na Rl displaystyle R lambda ye syur yektivnimi Redukovana shemaShema X OX displaystyle X mathcal O X nazivayetsya redukovanoyu yaksho dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U X displaystyle U subset X kilce OX U displaystyle mathcal O X U ye redukovanim Ekvivalentno yaksho dlya kozhnoyi tochki x X displaystyle x in X lokalne kilce OX x limV x F V displaystyle mathcal O X x operatorname lim V ni x mathcal F V ye redukovanim Yaksho vsi lokalni kilcya X ye redukovanimi i dlya elementa f OX U displaystyle f in mathcal O X U vikonuyetsya rivnist fn 0 displaystyle f n 0 to obraz fn displaystyle f n u OU u displaystyle mathcal O U u ye rivnim nulyu dlya vsih u U displaystyle u in U i tomu f displaystyle f tezh ye rivnim nulyu u vsih cih kilcyah Z oznachennya shemi zvidsi viplivaye sho f 0 displaystyle f 0 Navpaki yaksho OX U displaystyle mathcal O X U ye redukovanim dlya vsih vidkritih pidmnozhin U displaystyle U i nenulovogo f OX x displaystyle f in mathcal O X x to dlya bud yakogo predstavnika U f O U displaystyle U bar f in mathcal O U elementa f displaystyle f z oznachennya lokalnogo kilcya element f displaystyle bar f ye nenulovim i tomu ne ye nilpotentnim Zvidsi f displaystyle f tezh ne ye nilpotentnim u OX x displaystyle mathcal O X x Zvidsi viplivaye ekvivalentnist dvoh oznachen redukovnosti shem Zokrema afinna shema X Spec R displaystyle X operatorname Spec R ye redukovanoyu todi i tilki todi koli kilce R ye redukovanim Primitkihttps math stackexchange com q 45061Div takozhNilradikal Normalne kilce Oblast cilisnostiLiteraturaKaplansky Irving 1974 Commutative Rings Lectures in Mathematics University of Chicago Press ISBN 0 226 42454 5 Lam Tsit Yuen 2001 A First Course in Noncommutative Rings vid 2nd Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 95325 0 MR1838439 Matsumura Hideyuki 1989 Commutative Ring Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics vid 2nd Cambridge University Press ISBN 0 521 36764 6