Ендоморфізм Фробеніуса

Ендоморфізм Фробеніуса — ендоморфізм комутативного кільця простої характеристики p, задається формулою ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$. У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так.

Означення

Нехай R — комутативне кільце простої характеристики p (зокрема, такою є будь-яка область цілісності ненульової характеристики). Ендоморфізм Фробеніуса кільця R задається формулою ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$.

Ендоморфізм Фробеніуса є гомоморфізмом кілець оскільки ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ (щоб довести другу тотожність, достатньо розписати ліву частину за формулою бінома Ньютона і зазначити, що всі біноміальні коефіцієнти, крім першого і останнього, подільні на p ).

Основні властивості

• Якщо ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ — довільний гомоморфізм кілець простої характеристики p, то ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}}$, тобто: ${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi }$.

Це означає, що ендоморфізм Фробеніуса є натуральним перетворенням тотожного функтора (на категорії комутативних кілець характеристики p) в себе.

• Якщо кільце R не містить нетривіальних нільпотентів, то ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним (оскільки його ядро є рівним нулю). Обернене твердження теж є вірним: якщо ${\displaystyle x}$ - нетривіальний нільпотентний елемент, такий що для ${\displaystyle x^{n}=0}$ але ${\displaystyle x^{n+1}\neq 0}$ для деякого ${\displaystyle n>1}$, то ${\displaystyle (x^{n-1})^{p}=0}$.

• Ендоморфізм Фробеніуса не обов'язково є сюр'єктивним, навіть якщо R є полем. Наприклад, нехай ${\displaystyle R=\mathbb {F} _{p}(t)}$ - поле раціональних функцій з коефіцієнтами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, тоді функція ${\displaystyle t}$ не є образом ендоморфізму Фробеніуса. Поле k називається досконалим, якщо його характеристика дорівнює нулю, або характеристика є рівною p і ендоморфізм Фробеніуса ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$ є сюр'єктивним (а отже є автоморфізмом). Зокрема, всі скінченні поля є досконалими.

Нерухомі точки

Розглянемо скінченне поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Згідно малої теореми Ферма, всі елементи цього поля задовольняють рівняння ${\displaystyle x^{p}=x}$. Рівняння p-го степеня не може мати більше p коренів, отже, в будь-якому розширенні поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ нерухомі точки ендоморфізму Фробеніуса — елементи поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Аналогічне твердження вірне для цілісних кілець характеристики p.

Подібні властивості задовольняють і степені ендоморфізму Фробеніуса. Якщо ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ — скінченне поле, всі його елементи задовольняють рівняння ${\displaystyle x^{p^{k}}=x}$ і в будь-якому розширенні цього поля елементи вихідного поля є нерухомими точками k-го степеня ендоморфізму Фробеніуса, тобто нерухомими точками ${\displaystyle x\mapsto x^{p^{k}}}$.

Породжуючий елемент групи Галуа

Група Галуа скінченного розширення скінченного поля є циклічною і породжується степенем ендоморфізму Фробеніуса.

Розглянемо спочатку випадок, коли основне поле є рівним ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Нехай ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ — скінченне поле, де ${\displaystyle q=p^{n}}$. Ендоморфізм Фробеніуса ${\displaystyle F}$ зберігає елементи простого поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Також ${\displaystyle F}$ у цьому випадку є автоморфізмом оскільки для полів характеристики p: ${\displaystyle (x-y)^{p}=x^{p}-y^{p}}$, тож ${\displaystyle F(x)=F(y)}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle x=y}$. Тобто ендоморфізм Фробеніуса є елементом групи Галуа розширення ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}}$. До того ж ця група є циклічною і породжується ${\displaystyle F}$.

Справді ${\displaystyle F^{n}(x)=x^{p^{n}}=x}$ для всіх ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}}$, тож ${\displaystyle F^{n}}$ є тотожним відображенням. З іншого боку для ${\displaystyle d<n}$ рівність ${\displaystyle F^{d}(x)=x^{p^{d}}=x}$ може виконуватися лише щонайбільше для ${\displaystyle p^{d}}$ елементів поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, тож ${\displaystyle F^{d}}$ не є тотожним відображенням і автоморфізми ${\displaystyle F^{0},F,F^{2},\ldots ,F^{n-1}}$ є різними. Але згідно базових результатів теорії Галуа оскільки ${\displaystyle [\mathbb {F} _{q}:\mathbb {F} _{p}]=n}$ то і порядок групи Галуа теж є рівним p. Тому всі елементи цієї групи є степенями ендоморфізму Фробеніуса.

У розширенні ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}}$ для n-ого степеня ендоморфізма Фробеніуса ${\displaystyle F^{n}}$ (який теж є автоморфізмом) полем нерухомих точок є ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Подібно як і вище можна довести, що група Галуа цього розширення породжується ${\displaystyle F^{n}}$ і має порядок ${\displaystyle k}$.

Для розширень ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}}$ відображення ${\displaystyle F_{\mathbb {F} _{q^{k}}/\mathbb {F} _{q}}=F^{n}(x)=x^{p^{n}}}$ також називають автоморфізмом Фробеніуса цього розширення.

Застосування в теорії чисел

Локальні поля

Нехай k — локальне поле із скінченним полем лишків ${\displaystyle {\bar {k}}}$, а K — нерозгалужене скінченне розширення поля k. Тоді автоморфізм Фробеніуса розширень скінченних полів лишків ${\displaystyle F_{{\bar {K}}/{\bar {k}}}}$ однозначно продовжується до автоморфізму розширення ${\displaystyle K/k}$, що теж називається автоморфізмом Фробеніуса і позначається ${\displaystyle F_{K/k}}$. Нехай ${\displaystyle |{\bar {k}}|=q=p^{n}}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$-кільце цілих елементів поля K і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — максимальний ідеал в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Тоді автоморфізм Фробеніуса однозначно визначається умовою:

${\displaystyle F_{K/k}(x)\equiv x^{q}\mod {\mathfrak {p}}}$

для будь-якого ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{K}}$.

Якщо ${\displaystyle K/k}$ — довільне скінченне розширення Галуа локальних полів, то автоморфізмом Фробеніуса розширення ${\displaystyle K/k}$ іноді називають будь-який автоморфізм, що індукує на максимальному нерозгалуженому підрозширенні поля ${\displaystyle K}$ автоморфізм Фробеніуса у зазначеному вище означенні.

Глобальні поля

Нехай ${\displaystyle K/k}$ — скінченне розширення Галуа глобальних полів, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал поля k і ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — деякий простий ідеал поля K, що лежить над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Нехай також ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ є розгалуженим в розширенні ${\displaystyle K/k}$.

Тоді можна перейти до поповнень і ввести ${\displaystyle F_{\mathfrak {B}}=F_{K_{\mathfrak {B}}/k{\mathfrak {p}}}\in }$. Ототожнюючи групу Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {B}}/k_{\mathfrak {p}})}$ із підгрупою розкладання ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ у групі ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$, можна розглядати ${\displaystyle F_{\mathfrak {B}}}$ як елемент групи ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$. Цей елемент називається автоморфізмом Фробеніуса простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ і породжує його групу розкладу. Відповідно до теореми Чеботарьова про щільність для будь-якого автоморфізму ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (K/k)}$ існує нескінченна кількість простих нерозгалужених в ${\displaystyle K/k}$ ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ для яких ${\displaystyle F_{\mathfrak {B}}=\sigma }$.

Для абелевого розширення ${\displaystyle K/k}$ автоморфізм Фробеніуса залежить тільки від ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. У цьому випадку він також називається відображенням Артіна простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Див. також

• Група Галуа
• Скінченне поле

Посилання

• Timothy Murphy. Course 373 Finite Fields [ 28 вересня 2016 у Wayback Machine.]

Література

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields, Graduate Studies in Mathematics, т. 7 (вид. second), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN , MR 1362545