Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.
Означення
Поповнення кільця щодо ідеалу
Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.
Нехай кільце і
ідеал. Позначимо
Послідовність називається нульовою, якщо для всіх
існує число
, таке що
Позначимо ідеал всіх нульових послідовностей.
Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх
існує число
, таке що:
Позначимо кільце всіх фундаментальних послідовностей.
Фактор-кільце називається поповненням
за
.
Якщо то послідовність
є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм
Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:
Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).
Кільце називається повним (по відношенню до ), якщо
є ізоморфізмом.
Поповнення модулів
Фільтрацією модуля над кільцем
називається послідовність
така, що:
Найважливішим частковим випадком є послідовність для деякого ідеала
. Ця фільтрація називається
-адичною.
Ввівши модуль послідовностей і використовуючи
замість
можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля
щодо фільтрації чи, в окремому випадку
щодо ідеала
.
Модуль називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:
є ізоморфізмом.
Альтернативні означення
Як поповнення метричного простору
Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай кільце і
ідеал. Тоді на
можна задати псевдометрику:
Якщо до того ж виконується:
то функція є метрикою, тобто додатково
До метричного простору можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.
За допомогою проективних границь
Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними де гомоморфізми визначені як
Проективною границею цієї системи називається кільце:
Якщо тепер ідеал і позначивши
— природний гомоморфізм кільця
у його фактор-кільце
,
отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:
Властивості
- Нехай
і
— кільця і
і
— ідеали. Якщо
— гомоморфізм кілець для якого
, то можна визначити гомоморфізм
- Нехай
— локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом
і
його поповнення. Тоді:
(
позначає розмірність Круля кільця)
є регулярним, якщо і тільки якщо таким є
.
- Теорема Коена про структуру: якщо
регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:
де
є полем лишків кільця
.
- Поповнення кільця Нетер
є плоским модулем над
.
- Якщо
— кільце і
— скінченнопороджений модуль над кільцем
то відображення
є сюр'єктивним. Якщо додатково
є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією
. Зокрема для деякого ідеала
у нетеровому кільці
звідси випливає
- Нехай
є
-модулем і
— задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного
розглядати модуль
з індукованою фільтрацією, то
є підмодулем
і також
- Для поповнення ідеала
у нетеровому кільці
(щодо
-адичної фільтрації) справедливими є твердження:
Також
є підмножиною радикала Джекобсона кільця
- Нехай
є
-модулем і
— задана на ньому фільтрація. Тоді
(де
означені як і вище) є фільтрацією модуля
і для цієї фільтрації
- Нехай
- коротка точна послідовність
-модулів і
— фільтрація модуля
. Нехай
і
— індуковані фільтрації на модулях
і
Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність
- Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця:
Приклади
Формальний степеневий ряд
Якщо є кільцем многочленів
над полем
і
ідеал породжений елементами
Поповнення кільця за ідеалом
є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів
Р-адичні числа
р-адичні числа є поповненням поля
щодо
-адичної метрики
(де
— деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел
і
маємо
де і
і
не ділить жодне з чисел
Тоді
Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо -адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу
. Таким чином, ми отримуємо вкладення:
.
Тут, ліва сторона позначає поповнення за
. Це вкладення задає ізоморфізм
з кільцем
-адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу
.
Геометричний Приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemc0TDA1bGQzUnZibk5qYUdWZlMyNXZkR1Z1TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxT1pYZDBiMjV6WTJobFgwdHViM1JsYmk1d2JtYz0ucG5n.png)
Нехай плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням
У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою . Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом
де
і
Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.
Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.
Інтерпретація в алгебричній геометрії
У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки і
на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди
і
є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.
З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.
Див. також
Література
- Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989),
- Ernst Kunz, «Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry», Birkhauser 1985,
- Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969),
- Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Popovnennya kilcya abo modulya ye metodom u komutativnij algebri v yakomu kilce abo modul popovnyuyetsya shodo zadanoyi metriki yaka ye indukovanoyu idealom Termin geometrichno pov yazanij z lokalizaciyeyu kilcya obidva kilcya doslidzhuyut okoli tochki v spektri kilcya ale popovnennya she bilshe vidobrazhaye lokalni vlastivosti OznachennyaPopovnennya kilcya shodo idealu Vsyudi u cij statti kilcya vvazhayutsya komutativnimi z odiniceyu Nehaj A displaystyle A kilce i I displaystyle I ideal Poznachimo AN n NA displaystyle A mathbb N prod n in mathbb N A Poslidovnist ai i N a0 a1 displaystyle a i i in mathbb N a 0 a 1 dots nazivayetsya nulovoyu yaksho dlya vsih n N displaystyle n in mathbb N isnuye chislo k N displaystyle k in mathbb N take sho i gt k ai In displaystyle forall i gt k a i in I n Poznachimo NF displaystyle mathrm NF ideal vsih nulovih poslidovnostej Poslidovnist ai i N displaystyle a i i in mathbb N nazivayetsya fundamentalnoyu abo poslidovnistyu Koshi koli dlya vsih n N displaystyle n in mathbb N isnuye chislo k N displaystyle k in mathbb N take sho i j gt k ai aj In displaystyle forall i j gt k a i a j in I n Poznachimo CF displaystyle mathrm CF kilce vsih fundamentalnih poslidovnostej Faktor kilce A I CF NF displaystyle hat A I mathrm CF mathrm NF nazivayetsya popovnennyam A displaystyle A za I displaystyle I Yaksho a A displaystyle a in A to poslidovnist a a a displaystyle a a a dots ye ochevidno fundamentalnoyu i tomu isnuye gomomorfizm f A A displaystyle f colon A to hat A f a a a displaystyle f colon a mapsto a a dots Danij gomomorfizm ye in yektivnim yaksho i 0 Ii 0 displaystyle bigcap i 0 infty I i 0 Zokrema cya rivnist vikonuyetsya dlya vazhlivogo vipadku lokalnih neterovih kilec dlya yakih ce tverdzhennya ye naslidkom lemi Artina Risa Kilce nazivayetsya povnim po vidnoshennyu do I displaystyle I yaksho f displaystyle f ye izomorfizmom Popovnennya moduliv Filtraciyeyu modulya M displaystyle M nad kilcem A displaystyle A nazivayetsya poslidovnist Mi i N displaystyle M i i in mathbb N taka sho M M0 M1 Mi displaystyle M M 0 supset M 1 supset supset M i supset Najvazhlivishim chastkovim vipadkom ye poslidovnist Mn InM displaystyle M n I n M dlya deyakogo ideala I displaystyle I Cya filtraciya nazivayetsya I displaystyle I adichnoyu Vvivshi modul poslidovnostej MN displaystyle M mathbb N i vikoristovuyuchi Mn displaystyle M n zamist In displaystyle I n mozhna analogichno do poperednogo vvesti ponyattya fundamentalnih i nulovih poslidovnostej i popovnennya modulya M CF NF displaystyle hat M CF NF shodo filtraciyi chi v okremomu vipadku Mn InM displaystyle M n I n M shodo ideala I displaystyle I Modul M displaystyle M nazivayetsya povnim shodo filtraciyi koli prirodne vidobrazhennya f M M displaystyle f colon M to hat M ye izomorfizmom Alternativni oznachennyaYak popovnennya metrichnogo prostoru Popovnennya kilcya za idealom mozhna rozglyadati yak okremij vipadok popovnennya metrichnih prostoriv yaksho vidpovidnu metriku zadati na kilci Nehaj A displaystyle A kilce i I displaystyle I ideal Todi na A displaystyle A mozhna zadati psevdometriku dI x y inf 2 i x y Ii mit I0 A displaystyle mathrm d I x y mathrm inf 2 i x y in I i text mit I 0 A Yaksho do togo zh vikonuyetsya i 0 Ii displaystyle bigcap i 0 infty I i emptyset to funkciya dI displaystyle mathrm d I ye metrikoyu tobto dodatkovo dI x y 0 x y displaystyle mathrm d I x y 0 Rightarrow x y Do metrichnogo prostoru A dI displaystyle A mathrm d I mozhna zastosuvati standartnu proceduru popovnennya metrichnih prostoriv Vnaslidok cogo otrimayemo kilce sho ye povnim metrichnim prostorom i ye izomorfnim popovnennya kilcya zgidno poperednogo oznachennya Za dopomogoyu proektivnih granic Obernenoyu sistemoyu kilec abo moduliv nazivayetsya ryad kilec abo moduliv i gomomorfizmiv mizh nimi Ai fi i N displaystyle A i f i i in mathbb N de gomomorfizmi viznacheni yak fn An An 1 displaystyle f n colon A n to A n 1 Proektivnoyu graniceyu ciyeyi sistemi nazivayetsya kilce lim An fn n N xn n N n NAn xn An fn xn xn 1 displaystyle lim longleftarrow A n f n n in mathbb N biggl x n n in mathbb N in prod n in mathbb N A n biggl x n in A n f n x n x n 1 biggl Yaksho teper I A displaystyle I subset A ideal i poznachivshi Ai A Ii displaystyle A i A I i A0 0 displaystyle A 0 0 fi 1 Ai 1 Ai displaystyle f i 1 colon A i 1 to A i prirodnij gomomorfizm kilcya Ai 1 displaystyle A i 1 u jogo faktor kilce Ai Ai 1 In 1 In displaystyle A i A i 1 I n 1 I n otrimayemo kilce izomorfne popovnennyu kilcya A I lim An fn n N displaystyle hat A I cong lim longleftarrow A n f n n in mathbb N VlastivostiNehaj A displaystyle A i B displaystyle B kilcya i I A displaystyle I subset A i J B displaystyle J subset B ideali Yaksho f A B displaystyle f colon A to B gomomorfizm kilec dlya yakogo f I J displaystyle f I subset J to mozhna viznachiti gomomorfizm f A B displaystyle hat f colon hat A to hat B Nehaj A displaystyle A lokalne kilce Neter z maksimalnim idealom m displaystyle m i A displaystyle hat A jogo popovnennya Todi dim A dim A displaystyle mathrm dim A mathrm dim hat A dim A displaystyle mathrm dim A poznachaye rozmirnist Krulya kilcya A displaystyle A ye regulyarnim yaksho i tilki yaksho takim ye A displaystyle hat A Teorema Koena pro strukturu yaksho A displaystyle A regulyarne lokalne kilce yake ye povnim shodo jogo maksimalnogo ideala i mistit v sobi pole to A k X1 Xn displaystyle A cong k X 1 dots X n de k displaystyle k ye polem lishkiv kilcya A displaystyle A Popovnennya kilcya Neter A displaystyle A ye ploskim modulem nad A displaystyle A Yaksho A displaystyle A kilce i M displaystyle M skinchennoporodzhenij modul nad kilcem A displaystyle A to vidobrazhennya fM M AA M displaystyle varphi M M otimes A hat A to hat M ye syur yektivnim Yaksho dodatkovo A displaystyle A ye neterovim kilcem to ce vidobrazhennya ye izomorfizmom V danomu vipadku popovnennya modulya zdijsnyuyetsya za filtraciyeyu Mn InM displaystyle M n I n M Zokrema dlya deyakogo ideala I displaystyle I u neterovomu kilci A displaystyle A zvidsi viplivaye I I AA A I displaystyle hat I simeq I otimes A hat A simeq hat A I Nehaj M displaystyle M ye A displaystyle A modulem i Mi i N displaystyle M i i in mathbb N zadana na nomu filtraciya Yaksho dlya dovilnogo n N displaystyle n in mathbb N rozglyadati modul Mn displaystyle M n z indukovanoyu filtraciyeyu to M n displaystyle hat M n ye pidmodulem M displaystyle hat M i takozh M M n M Mn displaystyle hat M hat M n simeq M M n Dlya popovnennya ideala I displaystyle I u neterovomu kilci A displaystyle A shodo I displaystyle I adichnoyi filtraciyi spravedlivimi ye tverdzhennya I n In In In 1 I n I n 1 displaystyle hat I n widehat I n quad I n I n 1 simeq hat I n hat I n 1 Takozh I displaystyle hat I ye pidmnozhinoyu radikala Dzhekobsona kilcya A displaystyle hat A Nehaj M displaystyle M ye A displaystyle A modulem i Mi i N displaystyle M i i in mathbb N zadana na nomu filtraciya Todi M i i N displaystyle hat M i i in mathbb N de M i displaystyle hat M i oznacheni yak i vishe ye filtraciyeyu modulya M displaystyle hat M i dlya ciyeyi filtraciyi M M displaystyle hat hat M hat M Nehaj0 M fM gM 0 displaystyle 0 to M xrightarrow f M xrightarrow g M to 0 korotka tochna poslidovnist A displaystyle A moduliv i Mi i N displaystyle M i i in mathbb N filtraciya modulya M displaystyle M Nehaj f 1Mi i N displaystyle f 1 M i i in mathbb N i gMi i N displaystyle gM i i in mathbb N indukovani filtraciyi na modulyah M displaystyle M i M displaystyle M Todi popovnennya moduliv shodo cih filtracij utvoryuyut tochnu poslidovnist 0 M M M 0 displaystyle 0 to hat M xrightarrow hat M xrightarrow hat M to 0 Zokrema ce spravedlivo yaksho na vsih modulyah filtraciya ye porodzhena deyakim idealom kilcya Mn InM displaystyle M n I n M PrikladiFormalnij stepenevij ryad Yaksho A displaystyle A ye kilcem mnogochleniv K X1 Xn displaystyle K X 1 dots X n nad polem K displaystyle K i I displaystyle I ideal porodzhenij elementami X1 Xn displaystyle X 1 dots X n Popovnennya kilcya K X1 Xn displaystyle K X 1 dots X n za idealom I displaystyle I ye izomorfnim kilcyu formalnih stepenevih ryadiv K X1 Xn displaystyle K X 1 dots X n R adichni chisla r adichni chisla Qp displaystyle mathbb Q p ye popovnennyam polya Q displaystyle mathbb Q shodo p displaystyle p adichnoyi metriki dp displaystyle d p de p displaystyle p deyake proste chislo yaka zadayetsya tak dlya racionalnih chisel q displaystyle q i r displaystyle r mayemo q r pi st displaystyle q r pm p i cdot dfrac s t de s t N displaystyle s t in mathbb N i i Z displaystyle i in mathbb Z i p displaystyle p ne dilit zhodne z chisel s t displaystyle s t Todi dp q r p i displaystyle d p q r p i Poslidovnist cilih chisel ye fundamentalnoyu shodo p displaystyle p adichnoyi metriki yaksho vona ye fundamentalnoyu shodo idealu p displaystyle p Takim chinom mi otrimuyemo vkladennya f Z p Qp displaystyle f colon widehat mathbb Z p hookrightarrow mathbb Q p Tut liva storona poznachaye popovnennya Z displaystyle mathbb Z za p displaystyle p Ce vkladennya zadaye izomorfizm Zp Zp displaystyle widehat mathbb Z p cong mathbb Z p z kilcem p displaystyle p adichnih cilih chisel yake i ye popovnennyam cilih chisel shodo idealu p displaystyle p Geometrichnij Priklad Grafik krivoyi y2 x2 x 1 displaystyle y 2 x 2 x 1 v dijsnij afinnij ploshini Nehaj X displaystyle X ploska algebrichna kriva v dvovimirnomu afinnomu prostori sho zadayetsya rivnyannyam y2 x2 x 1 displaystyle y 2 x 2 x 1 U nulovij tochci kriva peretinaye sama sebe i v okoli nulya ye shozhoyu z krivoyu 0 xy displaystyle 0 xy Cya lokalna shozhist viyavlyayetsya izomorfizmom A B displaystyle hat A cong hat B de A K x y y2 x2 x3 x y displaystyle A K x y y 2 x 2 x 3 bar x bar y i B K x y xy x y displaystyle B K x y xy bar x bar y Sami lokalni kilcya dvoh krivih v tochci ne ye izomorfnimi na vidminu vid yih popovnen Kilce z livoyi storoni rivnyannya izomorfizmu ye prikladom togo sho popovnennya oblasti cilisnosti mozhe same ne buti oblastyu cilisnosti Interpretaciya v algebrichnij geometriyiU algebrichnij geometriyi osoblive znachennya mayut popovnennya lokalnih kilec v tochkah algebrichnih mnogovidiv Voni ye vazhlivimi dlya vivchennya lokalnoyi povedinki mnogovidiv i dayut chasto znachno bilshe informaciyi nizh sami lokalni kilcya Zokrema yaksho dvi tochki P X displaystyle P in X i Q Y displaystyle Q in Y na nezvidnih algebrichnih mnogovidah mayut izomorfni lokalni kilcya to mnogovidi X displaystyle X i Y displaystyle Y ye biracionalnimi Lokalne kilce nese majzhe vsyu informaciyu pro mnogovid todi yak popovnennya lokalnogo kilcya maye vlastivosti yaki intuyitivno bilsh harakterni same dlya lokalnoyi informaciyi Z teoremi Koena viplivaye sho regulyarni tochki na algebrichnih mnogovidah mayut izomorfni popovnennya vidpovidnih lokalnih kilec todi i tilki todi koli vidpovidni mnogovidi mayut odnakovu rozmirnist Div takozhLokalizaciya kilcyaLiteraturaBruske Ischebeck Vogel Kommutative Algebra Bibliographisches Institut 1989 ISBN 978 3411140411 Ernst Kunz Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry Birkhauser 1985 ISBN 0 8176 3065 1 Atiyah Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 2010 0361 9 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9