В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і .
Твердження
Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай M — скінченнопороджений модуль над R і N — його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,
Доведення
Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо . Оскільки можна розглядати як градуйоване кільце. Якщо позначити — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи є породжуючими для як алгебри над R і тому є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів і згідно теореми Гільберта про базис є кільцем Нетер.
Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів називається I-фільтрацією якщо ; I-фільтрація називається стабільною якщо для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо ; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем .
- є скінченнопородженим модулем над якщо і тільки якщо є I-стабільним.
Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то є породженою членами кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з , тоді для , кожен елемент f з може бути записаним як
для породжуючих елементів з (для кожного елемента індекс береться максимальним з тих, що ). Тобто, .
Позначимо тепер . Тоді є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що є скінченно породженим над і тому є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над ; зокрема, є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто . Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми
Теорема Круля про перетини
Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину
належать всі елементи для яких для деякого елемента , який може бути обраний єдиним для всіх .
Доведення
Очевидно, що якщо для деякого елемента то і відповідно .
Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх , Зокрема для :
Але оскільки то звідси і згідно леми Накаями існує такий, що для всіх .
Наслідок для локальних нетерових кілець
Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці .
Оскільки то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.
Література
- Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
- Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN
- Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, .
Посилання
- Artin-Rees Theorem на PlanetMath
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici lemoyu Artina Risa nazivayetsya vazhlive tverdzhennya pro vlastivosti moduliv nad kilcyami Neter Lema vikoristovuyetsya zokrema dlya dovedennya teoremi Krulya pro peretini i maye vazhlivi zastosuvannya v algebrichnij geometriyi Nazvana na chest Emilya Artina i Devida Risa Zmist 1 Tverdzhennya 2 Dovedennya 3 Teorema Krulya pro peretini 3 1 Dovedennya 3 2 Naslidok dlya lokalnih neterovih kilec 4 Literatura 5 PosilannyaTverdzhennyared Nehaj I ideal v neterovomu kilci R nehaj M skinchennoporodzhenij modul nad R i N jogo pidmodul Todi isnuye cile chislo k 1 sho dlya vsih cilih chisel n k I n M N I n k I k M N displaystyle I n M cap N I n k I k M cap N nbsp Dovedennyared Dlya dovilnogo kilcya R i jogo idealu I poznachimo B I R n 0 I n X n displaystyle B I R textstyle bigoplus n 0 infty I n X n nbsp Oskilki I m I n I m n displaystyle I m I n subseteq I m n nbsp mozhna rozglyadati B I R displaystyle B I R nbsp yak gradujovane kilce Yaksho poznachiti a 1 a r displaystyle a 1 ldots a r nbsp mnozhinu tvirnih elementiv idealu I dana mnozhina ye skinchennoyu oskilki R ye neterovim kilcem to elementi a 1 X a r X displaystyle a 1 X ldots a r X nbsp ye porodzhuyuchimi dlya B I R displaystyle B I R nbsp yak algebri nad R i tomu B I R displaystyle B I R nbsp ye izomorfnim deyakij faktoralgebri mnogochleniv R x 1 x displaystyle R x 1 ldots x nbsp i zgidno teoremi Gilberta pro bazis B I R displaystyle B I R nbsp ye kilcem Neter Spadna poslidovnist skinchennoporodzhenih pidmoduliv M M 0 M 1 M 2 displaystyle M M 0 supset M 1 supset M 2 supset cdots nbsp nazivayetsya I filtraciyeyu yaksho I M n M n 1 displaystyle IM n subset M n 1 nbsp I filtraciya nazivayetsya stabilnoyu yaksho I M n M n 1 displaystyle IM n M n 1 nbsp dlya dostatno velikogo n Dlya modulya M z I filtraciyeyu poznachimo B I M n 0 M n X n displaystyle B I M textstyle bigoplus n 0 infty M n X n nbsp ce ye gradujovanim modulem nad gradujovanim kilcem B I R displaystyle B I R nbsp B I M displaystyle B I M nbsp ye skinchennoporodzhenim modulem nad B I R displaystyle B I R nbsp yaksho i tilki yaksho B I M displaystyle B I M nbsp ye I stabilnim Spravdi yaksho filtraciya ye I stabilnoyu to B I M displaystyle B I M nbsp ye porodzhenoyu k 1 displaystyle k 1 nbsp chlenami M 0 M k displaystyle M 0 dots M k nbsp kozhen z yakih tezh ye skinchenno porodzhenij tomu B I M displaystyle B I M nbsp ye skinchenno porodzhenim Navpaki yaksho cej modul ye skinchenno porodzhenim napriklad elementami z j 0 k M j X j displaystyle textstyle bigoplus j 0 k M j X j nbsp todi dlya n k displaystyle n geq k nbsp kozhen element f z M n displaystyle M n nbsp mozhe buti zapisanim yak f a i j X n j g i j X j a i j I n j displaystyle f sum a ij X n j g ij X j quad a ij in I n j nbsp dlya porodzhuyuchih elementiv g i j displaystyle g ij nbsp z M j j k displaystyle M j j leq k nbsp dlya kozhnogo elementa g i j displaystyle g ij nbsp indeks j displaystyle j nbsp beretsya maksimalnim z tih sho g i j M j displaystyle g ij in M j nbsp Tobto f I n k M k displaystyle f in I n k M k nbsp Poznachimo teper M n I n M displaystyle M n I n M nbsp Todi M n displaystyle M n nbsp ye I stabilnoyu filtraciyeyu Tomu z poperednogo otrimuyemo sho B I M displaystyle B I M nbsp ye skinchenno porodzhenim nad B I R displaystyle B I R nbsp i tomu B I M displaystyle B I M nbsp ye neterovim modulem i kozhen jogo pidmodul ye skinchenno porodzhenim nad B I R displaystyle B I R nbsp zokrema B I N displaystyle B I N nbsp ye skinchenno porodzhenim koli na N viznachiti indukovanu filtraciyu tobto N n M n N I n M N displaystyle N n M n cap N I n M cap N nbsp Indukovana filtraciya todi tezh bude I stabilnoyu sho j dovodit tverdzhennya lemiTeorema Krulya pro peretinired Nehaj R komutativne neterove kilce I vlasnij ideal u R i M skinchennoporodzhenij modul nad R Todi peretinu N n gt 0 I n M displaystyle N cap n gt 0 I n M nbsp nalezhat vsi elementi x M displaystyle x in M nbsp dlya yakih 1 a x 0 displaystyle 1 alpha x 0 nbsp dlya deyakogo elementa a I displaystyle alpha in I nbsp yakij mozhe buti obranij yedinim dlya vsih x N displaystyle x in N nbsp Dovedennyared Ochevidno sho yaksho a x x x M displaystyle alpha x x x in M nbsp dlya deyakogo elementa a I displaystyle alpha in I nbsp to x I n M n 0 displaystyle x in I n M forall n geqslant 0 nbsp i vidpovidno x N displaystyle x in N nbsp Navpaki zastosuvavshi lemu Artina Risa dlya M i N viznachenih u comu rozdili otrimuyemo deyake k take sho dlya vsih n k displaystyle n geq k nbsp I n M N I n k I k M N displaystyle I n M cap N I n k I k M cap N nbsp Zokrema dlya n k 1 displaystyle n k 1 nbsp I k 1 M N I I k M N displaystyle I k 1 M cap N I I k M cap N nbsp Ale oskilki I k 1 M N I k M N N displaystyle I k 1 M cap N I k M cap N N nbsp to zvidsi I N N displaystyle IN N nbsp i zgidno lemi Nakayami isnuye a I displaystyle alpha in I nbsp takij sho 1 a x 0 displaystyle 1 alpha x 0 nbsp dlya vsih x N displaystyle x in N nbsp Naslidok dlya lokalnih neterovih kilecred Dlya vlasnogo idealu I v komutativnomu lokalnomu neterovomu kilci n 1 I n 0 displaystyle textstyle bigcap n 1 infty I n 0 nbsp Oskilki I n m displaystyle I n subset mathfrak m nbsp to dostatno dovesti tverdzhennya dlya yedinogo maksimalnogo idealu lokalnogo kilcya Vzyavshi v teoremi Krulya I M m displaystyle I M mathfrak m nbsp i vrahovuyuchi sho v lokalnomu kilci vsi elementi 1 a a m displaystyle 1 alpha alpha in mathfrak m nbsp ye oborotnimi otzhe ne ye dilnikami 0 otrimuyemo neobhidnij rezultat Literaturared Yurij Drozd Vstup do algebrichnoyi geometriyi Arhivovano 22 travnya 2011 u Wayback Machine Atiyah Michael Francis Macdonald I G 1969 Introduction to Commutative Algebra Westview Press ISBN 978 0 201 40751 8 Eisenbud David Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry Graduate Texts in Mathematics 150 Springer Verlag 1995 ISBN 0 387 94268 8 Posilannyared Artin Rees Theorem na PlanetMath Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lema Artina Risa amp oldid 36322362