Модуль Нетер

Модуль Нетер (нетерів модуль) — модуль M, в якому виконується умова стабілізації зростаючих ланцюгів:

Довільна послідовність підмодулів

${\displaystyle M_{1}\,\subseteq \,M_{2}\,\subseteq \,M_{3}\,\subseteq \,\cdots ,}$

стабілізується, тобто починаючи з деякого n:

${\displaystyle M_{n}\,=\,M_{n+1}\,=\,M_{n+2}\,=\,\cdots .}$

Легко довести, що це твердження рівносильно тому, що в будь-якій непорожній множині підмодулів M існує максимальний елемент.

Названо на честь Еммі Нетер.

Еквівалентне означення

Модуль M є нетеровим тоді і тільки тоді, коли будь-який підмодуль М є скінченнопородженим.

Доведення

Справді, якщо будь-який підмодуль скінченно породжений, то узявши модуль, що є об'єднанням всіх підмодулів ланцюга маємо, що він породжений, скажемо елементами x₁,x₂,…, x_n. Тоді існує деякий M_k що містить всі ці x і тому рівний об'єднанню всіх M_i. Звідси M_k=M_k+1=M_k+2.

Навпаки, якщо М є нетеровим і N — його підмодуль, то в множині всіх його скінченно породжених підмодулів N існує максимальний підмодуль ${\displaystyle N'\in N}$. Якщо ${\displaystyle N'\neq N}$ то узявши ${\displaystyle x\in N\setminus N'}$ і побудувавши модуль N'+Ax (або N'+xA в некомутативному випадку для правого модуля) ми побудуємо більший модуль проти припущення. Відповідно модуль N — скінченнопороджений.

Властивості

• Якщо M нетеровий, то будь-який підмодуль і будь-який фактор-модуль M теж є модулями Нетер. Навпаки, якщо підмодуль N і фактор-модуль M/N нетерові, то і сам модуль M є модулем Нетер.
• Будь-який скінченно породжений модуль над нетеровим кільцем є нетеровим (для некомутативних кілець необхідно щоб кільцю, нетеровому зліва, відповідав лівий модуль, аналогічно для правих).

Див. також

Джерела

• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]