В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце, модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.
Градуйовані кільця
Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:
і виконується властивість:
тобто
Елементи називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ , всі однорідні складові a також належать
Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце також є градуйованим кільцем, що має розклад:
Градуйовані модулі
Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:
і
Градуйовані алгебри
Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:
- , і
- .
G - градуйована алгебра
Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.
Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:
Якщо ненульовий елемент a належить , то він називається однорідним степеня g.
Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.
Конструкції з градуюваннями
- Якщо A — G-градуйована алгебра, а — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:
- На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи .
- Над полем будь-яка алгебра A градуюється групою G максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів:
- для всякого .
Приклади
- Кільце многочленів від однієї або декількох змінних.
- порядку n градуюється групою
- є G-градуйованою алгеброю.
Література
- C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici gradujovanoyu algebroyu kilcem modulem nazivayetsya algebra kilce modul iz specialnoyu strukturoyu graduyuvannyam Gradujovani kilcyaGradujovane kilce A kilce sho ye pryamoyu sumoyu komutativnih aditivnih grup A n N A n A 0 A 1 A 2 displaystyle A bigoplus n in mathbb N A n A 0 oplus A 1 oplus A 2 oplus cdots i vikonuyetsya vlastivist x A s y A r x y A s r displaystyle x in A s y in A r implies xy in A s r tobto A s A r A s r displaystyle A s A r subseteq A s r Elementi A n displaystyle A n nazivayutsya odnoridnimi elementami poryadku n Ideal a displaystyle mathfrak a A nazivayetsya odnoridnim yaksho dlya kozhnogo elementa a a displaystyle mathfrak a vsi odnoridni skladovi a takozh nalezhat a displaystyle mathfrak a Yaksho I odnoridnij ideal v A todi faktor kilce A I displaystyle A I takozh ye gradujovanim kilcem sho maye rozklad A I n N A n I I displaystyle A I bigoplus n in mathbb N A n I I Gradujovani moduliPodibnim chinom viznachayetsya ponyattya gradujovanogo modulya Modul M nad gradujovanim kilcem A nazivayetsya gradujovanim yaksho M i N M i displaystyle M bigoplus i in mathbb N M i i A i M j M i j displaystyle A i M j subseteq M i j Gradujovani algebriAlgebra A nad kilcem R nazivayetsya gradujovanoyu algebroyu yaksho vona ye gradujovanoyu yak kilce U vipadku yaksho kilce R ye takozh gradujovanim to takozh vimagayetsya vikonannya umov A i R j A i j displaystyle A i R j subset A i j i R i A j A i j displaystyle R i A j subset A i j G gradujovana algebraNehaj A algebra nad kilcem k G monoyid Algebra A nazivayetsya G gradujovanoyu yaksho A rozkladayetsya v pryamu sumu k moduliv A g displaystyle A g po vsih elementah g z G prichomu mnozhennya v algebri uzgodzhene z mnozhennyam v monoyidi A f A g A f g displaystyle A f A g subset A fg Yaksho nenulovij element a nalezhit A g displaystyle A g to vin nazivayetsya odnoridnim stepenya g Podibnim chinom mozhna viznachiti i G gradujovani kilcya i moduli Konstrukciyi z graduyuvannyamiYaksho A G gradujovana algebra a ps G H displaystyle psi G to H gomomorfizm napivgrup todi A nadilyayetsya H graduyuvannyam za pravilom A h g G A g ps g h displaystyle A h oplus g in G A g psi g h Na bud yakij algebri A mozhna vvesti trivialne graduyuvannya bud yakoyu napivgrupoyu G z odiniceyu e vvazhayuchi A e A displaystyle A e A Nad polem C displaystyle mathbb C bud yaka algebra A graduyuyetsya grupoyu G maksimalnogo tora svoyeyi grupi algebrayichnih avtomorfizmiv G T A u t k a l g A A g a A ϕ a g ϕ a displaystyle G T Aut k alg A vee quad A g a in A phi a g phi a dlya vsyakogo ϕ T A u t k a l g A displaystyle phi in T Aut k alg A PrikladiKilce mnogochleniv vid odniyeyi abo dekilkoh zminnih poryadku n graduyuyetsya grupoyu Z n 1 displaystyle mathbb Z n 1 K G displaystyle K left G right ye G gradujovanoyu algebroyu LiteraturaC Nastasescu F Van Oystaeyen Graded Ring Theory North Holland Amsterdam 1982