Градуйоване кільце

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце, модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця

Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$

і виконується властивість:

${\displaystyle x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r}}$

тобто

${\displaystyle A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r}.}$

Елементи ${\displaystyle A_{n}}$ називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, всі однорідні складові a також належать ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце ${\displaystyle A/I}$ також є градуйованим кільцем, що має розклад:

${\displaystyle A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.}$

Градуйовані модулі

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

і

${\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Градуйовані алгебри

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

1. ${\displaystyle A_{i}R_{j}\subset A_{i+j}}$, і
2. ${\displaystyle R_{i}A_{j}\subset A_{i+j}}$.

G - градуйована алгебра

Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів ${\displaystyle A_{g}}$ по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

${\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg}}$

Якщо ненульовий елемент a належить ${\displaystyle A_{g}}$, то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями

• Якщо A — G-градуйована алгебра, а ${\displaystyle \psi :G\to H}$ — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:

${\displaystyle A_{h}=\oplus _{g\in G}\{A_{g}|\psi (g)=h\}}$

• На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи ${\displaystyle A_{e}=A}$.

• Над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ будь-яка алгебра A градуюється групою G максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів:

${\displaystyle G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi )a,}$ для всякого ${\displaystyle \phi \in T(Aut_{k-alg}(A))\}}$.

Приклади

• Кільце многочленів від однієї або декількох змінних.
• порядку n градуюється групою ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n-1}}$
• ${\displaystyle K\left[G\right]}$ є G-градуйованою алгеброю.

Література

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982