Максимальний тор

Максимальний тор зв'язаної дійсної групи Лі ${\displaystyle G}$ — зв'язана компактна комутативна підгрупа Лі ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle G}$, що не міститься в жодній більшій підгрупі такого типу.

Властивості

• Як група Лі, максимальний тор ${\displaystyle T}$ є ізоморфним прямому добутку декількох копій ${\displaystyle S^{1}}$ (мультиплікативної групи всіх комплексних чисел, рівних по модулю ${\displaystyle 1}$).
• Будь-який максимальний тор групи ${\displaystyle G}$ міститься в максимальній компактній підгрупі групи ${\displaystyle G}$;
• Максимальний тор є також максимальною абелевою підгрупою але обернене твердження не є справедливим.
• Будь-які два максимальних тора групи ${\displaystyle G}$ (так само, як і будь-які дві її максимальні компактні підгрупи) є спряженими в ${\displaystyle G}$. Відповідно всі максимальні тори мають однакову розмірність, яку називають рангом групи ${\displaystyle G}$

Випадок компактних груп Лі

Нехай тепер ${\displaystyle G}$ є компактною групою.

• Об'єднання всіх максимальних торів групи ${\displaystyle G}$ є рівним всій групі ${\displaystyle G}$,
• перетин всіх максимальних торів групи ${\displaystyle G}$ є рівним центру групи ${\displaystyle G}$.
• Алгебра Лі максимального тора ${\displaystyle T}$ є максимальною комутативною підалгеброю в алгебрі Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ групи ${\displaystyle G}$. Більш того,
  • будь-яка максимальна комутативна підалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є алгеброю Лі деякого максимального тора.

Дана максимальна комутативна підалгебра Лі є підалгеброю Картана.

• Централізатор максимального тора ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle G}$ збігається з ${\displaystyle T}$.
• Приєднане представлення максимального тора ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є діагоналізовним і всі ненульові ваги цього представлення утворюють систему коренів у просторі ${\displaystyle \chi (T)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} ,}$ де ${\displaystyle \chi (T)}$ — група характерів тора.

Див. також

• Підалгебра Картана

Література

• Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., 1970 (рос.)
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, 3 изд. — М., 1973 (рос.)
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ. — М., 1964 (рос.)