Характер представлення групи

В теорії груп характером представлення групи називають функцію від елементів групи, значення якої для кожного елемента групи дорівнює сліду відповідної матриці.

Характер подає важливу інформацію про представлення у досить компактній формі і тому можуть бути використані для вивчення її структури. Теорія характерів є важливим інструментом у класифікації простих скінченних груп.

Визначення

Нехай V — скінченновимірний векторний простір над полем F і нехай ρ: G → GL (V) — представлення групи G на V. Характером представлення ρ називається функція χ _ρ :G →F, визначена так:

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,}$

де ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ — слід матриці.

Характер χ _ρ називається незвідним, якщо ρ є . Ядром характера χ _ρ називається множина:

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace }$

де χ _ρ (1) — значення χ _ρ на одиничному елементі групи. Якщо ρ є представленням групи G розмірності k і 1 є одиницею групи G, то

${\displaystyle \chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho .}$

Властивості

• Значення характеру є незмінними на усіх елементах довільного класу суміжності групи.
• мають однакові характери. Над полем характеристики 0, уявлень є ізоморфні, якщо і тільки якщо вони мають той же характер.
• Якщо характер скінченної групи G розглядати на деякій підгрупі H, то результат буде характером H.
• Кожне значення характеру ${\displaystyle \chi (g)}$ є сумою n коренів з одиниці степеня m, де n є розмірністю векторного простору представлення з характером χ і m — порядок елемента g. Зокрема, коли F є полем комплексних чисел, кожне таке значення характеру є алгебраїчним числом.
• Якщо F є полем комплексних чисел, і ${\displaystyle \chi }$ є незвідним, то ${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$ є цілим алгебраїчним числом для кожного x в G.
• Якщо поле F є алгебраїчно замкнутим та Char (F) не ділить | G |, то кількість незвідних характерівGрівна кількості класів суміжності групи G. Крім того, у цьому випадку степені незвідних характерів є дільниками порядку групи G.

Арифметичні властивості

Нехай ρ і σ — представлення групи G. Тоді виконуються такі тотожності:

${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$

${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$

${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$

${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

де ${\displaystyle \rho \oplus \sigma }$ є прямою сумою, ${\displaystyle \rho \otimes \sigma }$ є тензорним добутком, ${\displaystyle \rho ^{*}\ }$ позначає спряжене транспонування від ρ, Alt² (ρ) = ${\displaystyle \rho \wedge \rho }$ і

${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho }$.

Таблиці характерів

Усі незвідні характери можна подати за допомогою таблиці характерів, що містить багато корисної інформації про групу G в компактній формі. Кожен рядок, помічається деяким незвідним характером і в рядку записуються значення цього характеру для елементів класів суміжності G. Стовпці таблиці помічаються представниками класів суміжності G. Перший рядок зазвичай відповідає тривіальному характеру, а перший стовпець є класом суміжності одиниці. Елементами першого стовпця є значення незвідних характерів на одиниці, тобто розмірності характерів. Характери степеня 1 відомі як лінійні характери.

Нижче подана таблиця характерів циклічної групі з трьома елементами і генеруючим елементом U ${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle }$:

	(1)	(u)	(u^2)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω^2
χ2	1	ω^2	ω

де ω є примітивним кубічним коренем з одиниці.

Таблиці характерів завжди є квадратними, тому що число незвідних неізоморфних представлень дорівнює кількості класів суміжності. У першому рядку таблиці характерів стоять одиничні елементи, і він відповідає тривіальному представленню (1-вимірне представлення, що кожному елементу групи ставить у відповідність матрицю 1 × 1, з елементом 1).

Співвідношення ортогональності

На просторі комплекснозначних, незмінних на класах суміжності функцій скінченної групи G можна задати наступний скалярний добуток:

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

де ${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$ означає комплексно-спряжене значення ${\displaystyle \beta }$ на G. Відносно цього скалярного добутку, незвідні характери утворюють ортонормований базис в просторі функцій незмінних на класах суміжності, і це дає співвідношення ортогональності для рядків характерів таблицею:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Для ${\displaystyle g,h\in G}$ співвідношення ортогональності для стовпців, виглядає таким чином:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

де сума береться по всіх незвідних характерах ${\displaystyle \chi _{i}}$ із G і символ ${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$ позначає порядок централізаторів ${\displaystyle g}$.

Властивості таблиць характерів

Деякі властивості групи G можуть бути виведені з її таблиці характерів:

• Порядок G рівний сумі квадратів елементів першого стовпця (степенів незвідних характерів). Більш загально сума квадратів абсолютних значень елементів в будь-якому стовпці рівна порядку централізатора елементів відповідного класу сумужності.
• Всі нормальні підгрупи G можуть бути визначені за допомогою таблиць характерів. Ядро харкактеру χ це множина елементів G, для яких χ (G) = χ (1); Ядро є нормальною підгрупою групи G. Кожна нормальна підгрупа G є перетином ядер деяких незвідних характерів G.
• Комутант групи G є перетином ядер лінійних характерів G. Зокрема, група G є абелевою , якщо і тільки якщо всі її незвідні характери є лінійними.

Таблиці характерів в загальному не визначають групу з точністю до ізоморфізму: наприклад, група кватерніонів Q і діедральна група з 8 елементів (D ₄ ) мають однакові таблиці характерів.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Пилипів В.М. -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ,
• Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups (Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press. ed.). Dover. .
• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics,
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. .
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. .