Псевдометричний простір

В математиці, псевдометричний простір є узагальненням метричного простору, у якому відстань між двома різними точками може бути рівною нулю. Кожен напівнормований простір є псевдометричним простором, аналогічно як нормований простір є метричним.

Означення

Псевдометричним простором ${\displaystyle (X,d)}$ називається множина ${\displaystyle X}$ разом із невід'ємною дійснозначною функцією ${\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ (що називається псевдометрикою), такою що, для усіх точок ${\displaystyle x,y,z\in X}$,

1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$.
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (симетричність)
3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (нерівність трикутника)

На відміну від метричних просторів, можливі випадки коли ${\displaystyle d(x,y)=0}$ для різних точок ${\displaystyle x\neq y}$.

Приклади

• На будь-якій множині ${\displaystyle X}$ можна ввести нульову псевдометрику, для якої ${\displaystyle d(x,y)=0}$ для всіх ${\displaystyle x,y\in X}$. Ця псевдометрика породжує антидискретну топологію.
• Псевдометрики часто виникають у функціональному аналізі. Розглянемо простір ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ дійснозначних функцій ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ разом із виділеною точкою ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Тоді на просторі функцій можна ввести псевдометрику

${\displaystyle d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|}$

для ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

• Для векторного простору ${\displaystyle V}$, напівнорма ${\displaystyle p}$ породжує псевдометрику на ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle d(x,y)=p(x-y).}$

Навпаки, однорідна, інваріантна щодо перенесень псевдометрика породжує напівнорму.

• Псевдометрики відграють важливу роль у теорії комплексних многовидів.
• Кожен вимірний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ є повним псевдометричним простором з псевдометрикою

${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$

для всіх ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, де ${\displaystyle \vartriangle }$ позначає симетричну різницю множин.

• якщо ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X_{2}}$ є функцією і d₂ — псевдометрика на X₂, то ${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$ є псевдометрикою на X₁. Якщо d₂ є метрика і f є ін'єктивною, тоді d₁ є метрикою.
• Якщо ${\displaystyle d_{i};\;i\in \mathbb {N} }$є псевдометриками на ${\displaystyle X}$ то і довільна скінченна сума ${\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)}$ і також ${\displaystyle d(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {d_{i}(x,y)}{1+d_{i}(x,y)}}}$ будуть псевдометриками на ${\displaystyle X}$.

Топологія

Псевдометричною топологією називається топологія, породжена відкритими кулями у псевдометриці:

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},}$

які утворюють базу топології. Топологічний простір називається псевдометризовним, якщо для нього існує псевдометрика, топологія якої збігається з заданою топологією простору.

Псевдометрика є метрикою, якщо і тільки якщо її топологія задовольняє аксіому T₀.

Псевдометризовна топологія є цілком регулярною, але не обов'язково гаусдорфовою: одноточкові множини можуть бути незамкнутими. Кожна цілком регулярна топологія може бути задана сім'єю псевдометрик як структурне об'єднання породжених ними топологій. Аналогічно, сім'ї псевдометрик використовуються для означення, опису і дослідження рівномірних структур.

Псевдометричний простір є нормальним і задовольняє першій аксіомі зліченності. Друга аксіома зліченності виконується в тому і тільки в тому випадку, коли цей простір є сепарабельним.

Метрична ідентифікація

Псевдометрика задає відношення еквівалентності, що називається метричною ідентифікацією і для якого фактор-множина є метричним простором. У цьому відношенні ${\displaystyle x\sim y}$ якщо ${\displaystyle d(x,y)=0}$. Нехай ${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ — фактор-простір X для цього відношення еквівалентності. Введемо функцію

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$

Тоді ${\displaystyle d^{*}}$ є метрикою на ${\displaystyle X^{*}}$ і ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ є метричним простором, що називається метричним простором, породженим псевдометричним простором ${\displaystyle (X,d)}$.

Функція ${\displaystyle d^{*}}$ є добре означеною, тобто не залежить від представників класу еквівалентності. Справді нехай ${\displaystyle d(x_{1},x_{2})=0}$ і ${\displaystyle d(y_{1},y_{2})=0}$, тобто ${\displaystyle [x_{1}]=[x_{2}]}$ і ${\displaystyle [y_{1}]=[y_{2}]}$. Тоді з нерівності трикутника і симетрії ${\displaystyle d(x_{1},y_{1})\leqslant d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},y_{2})+d(y_{2},y_{1})=0+d(x_{2},y_{2})+0=d(x_{2},y_{2})}$. Симетрично також ${\displaystyle d(x_{2},y_{2})\leqslant d(x_{1},y_{1})}$ і тому ${\displaystyle d(x_{1},y_{1})=d(x_{2},y_{2})}$. Те, що ${\displaystyle d^{*}}$ задовольняє аксіоми метрики одразу випливає з того, що ${\displaystyle d}$ задовольняє аксіоми псевдометрики.

Множина ${\displaystyle A\subset X}$ є відкритою у ${\displaystyle (X,d)}$, якщо і тільки якщо ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ є відкритою у ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ і ${\displaystyle \pi ^{-1}(\pi (A))=A}$.

Примітки

1. Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology. New York, NY: Springer. с. 27. ISBN . Процитовано 10 вересня 2012.
2. Simon, Barry (2015). A comprehensive course in analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN .

Див. також

• Метричний простір
• Рівномірний простір

Література

• Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., Москва, 1981