В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу I displaystyle I в комутативному кільці R displaystyle R називається множина I f

Радикал ідеалу

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу $I\,$ в комутативному кільці $R\,$ , називається множина:

{\sqrt {I}}=\{f\in R:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}

.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості

Радикал ідеалу теж є ідеалом.

Нехай

P\;

деяке комутативне кільце, a

x,y\in P

два елементи, що належать радикалу ідеалу

I\,

. Нехай

m,n\in \mathbb {N}

такі, що

x^{m}=0\;

та

y^{n}=0\;

. З комутативності

x\;

і

y\;

можна використати формулу бінома Ньютона для

(x+y)^{m+n}\;

:

(x+y)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{\binom {m+n}{k}}x^{k}y^{m+n-k}

При

0\leqslant k<m\;

маємо

m+n-k>n\;

, тоді

y^{m+n-k}\in I\;

і доданки, що відповідають тим індексам

k\;

рівні нулю. Однак при

k\geqslant m\;

, одержується

x^{k}=0\;

. Тобто всі доданки належать

I\,

і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання,

x+y\;

є елементом радикалу

{\sqrt {I}}

.

Далі якщо

r\in R

— деякий елемент кільця і

a\in {\sqrt {I}}

— елемент радикалу такий, що

a^{n}=0\,

, тоді

(ar)^{n}=a^{n}r^{n}=0\,

тобто

ar\in {\sqrt {I}}

, що доводить твердження.

Радикал ідеалу $I\,$ рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять $I\,$ .(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади

Нехай $\mathbb {Z}$ — кільце цілих чисел.

Радикал $4\mathbb {Z}$ чисел, що діляться на 4 рівний $2\mathbb {Z}$ .
Радикал $5\mathbb {Z}$ рівний $5\mathbb {Z}$ .
Радикал $12\mathbb {Z}$ рівний $6\mathbb {Z}$ .

Література

David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : , 1999.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

V abstraktnij algebri radikalom idealu I displaystyle I v komutativnomu kilci R displaystyle R nazivayetsya mnozhina I f R n Nfn I displaystyle sqrt I f in R exists n in mathbb N f n in I Ideal sho zbigayetsya zi svoyim radikalom maye nazvu radikalnij ideal VlastivostiRadikal idealu tezh ye idealom Nehaj P displaystyle P deyake komutativne kilce a x y P displaystyle x y in P dva elementi sho nalezhat radikalu idealu I displaystyle I Nehaj m n N displaystyle m n in mathbb N taki sho xm 0 displaystyle x m 0 ta yn 0 displaystyle y n 0 Z komutativnosti x displaystyle x i y displaystyle y mozhna vikoristati formulu binoma Nyutona dlya x y m n displaystyle x y m n dd x y m n k 0m n m nk xkym n k displaystyle x y m n sum k 0 m n binom m n k x k y m n k dd Pri 0 k lt m displaystyle 0 leqslant k lt m mayemo m n k gt n displaystyle m n k gt n todi ym n k I displaystyle y m n k in I i dodanki sho vidpovidayut tim indeksam k displaystyle k rivni nulyu Odnak pri k m displaystyle k geqslant m oderzhuyetsya xk 0 displaystyle x k 0 Tobto vsi dodanki nalezhat I displaystyle I i zvazhayuchi na zamknutist idealiv shodo dodavannya x y displaystyle x y ye elementom radikalu I displaystyle sqrt I dd Dali yaksho r R displaystyle r in R deyakij element kilcya i a I displaystyle a in sqrt I element radikalu takij sho an 0 displaystyle a n 0 todi ar n anrn 0 displaystyle ar n a n r n 0 tobto ar I displaystyle ar in sqrt I sho dovodit tverdzhennya dd Radikal idealu I displaystyle I rivnij peretinu vsih prostih idealiv sho mistyat I displaystyle I Div stattyu Prostij ideal PrikladiNehaj Z displaystyle mathbb Z kilce cilih chisel Radikal 4Z displaystyle 4 mathbb Z chisel sho dilyatsya na 4 rivnij 2Z displaystyle 2 mathbb Z Radikal 5Z displaystyle 5 mathbb Z rivnij 5Z displaystyle 5 mathbb Z Radikal 12Z displaystyle 12 mathbb Z rivnij 6Z displaystyle 6 mathbb Z LiteraturaDavid Eisenbud Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry New York Springer Verlag 1999

Дата публікації: Липень 10, 2024, 22:49 pm