Точний функтор — функтор, який переводить точні послідовності в точні послідовності. Точні функтори є зручними для обчислень в гомологічній алгебрі, оскільки їх можна відразу застосовувати до резольвенти об'єктів. Велика частина гомологічної алгебри була побудована для того, щоб зробити можливою роботу з функторами, які є в певному сенсі близькими до точних.
Означення
Нехай і
— абелеві категорії і
— адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:
об'єктів .
Якщо — коваріантний функтор,
називається:
- Напівточним, якщо
є точною послідовністю;
- Точним зліва, якщо
є точною послідовністю;
- Точним справа, якщо
є точною послідовністю;
- Точним, якщо
є точною послідовністю.
Якщо — контраваріантний функтор з
в
, то
називається:
- Напівточним, якщо
є точною послідовністю;
- Точним зліва, якщо
є точною послідовністю;
- Точним справа, якщо
є точною послідовністю;
- Точним, якщо
є точною послідовністю.
Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду в точні послідовності.
Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.
Приклади
- Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
- Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо
— довільна локально мала абелева категорія і
— її об'єкт, то
— коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп . Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли
є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор
є точним тоді і тільки тоді, коли
є ін'ективним модулем.
- Нехай
є полем і
— векторним простором над
. Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір
є контраваріантним точним функтором з категорії
-векторних просторів у себе (оскільки
є ін'єктивним
-модулем).
- Нехай
— топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на
. Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку
групу глобальних перетинів
є точним зліва.
- Якщо
— правий
-модуль, то можливо визначити функтор
з категорії лівих
-модулів в
за допомогою тензорного добутку
. Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли
— плоский модуль.
- Нехай
— комутативне кільце,
— його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному
-модулю
ставить у відповідність модуль часток
є точним функтором із категорії
-модулів у категорію
-модулів.
Примітки
- Jacobson, 2009, с. 98, Theorem 3.1.
Література
- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Т. 2 (вид. 2nd). Dover. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tochnij funktor funktor yakij perevodit tochni poslidovnosti v tochni poslidovnosti Tochni funktori ye zruchnimi dlya obchislen v gomologichnij algebri oskilki yih mozhna vidrazu zastosovuvati do rezolventi ob yektiv Velika chastina gomologichnoyi algebri bula pobudovana dlya togo shob zrobiti mozhlivoyu robotu z funktorami yaki ye v pevnomu sensi blizkimi do tochnih OznachennyaNehaj P displaystyle P i Q displaystyle Q abelevi kategoriyi i F P Q displaystyle F P to Q aditivnij funktor Rozglyanemo dovilnu korotku tochnu poslidovnist 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 ob yektiv P displaystyle P Yaksho F displaystyle F kovariantnij funktor F displaystyle F nazivayetsya Napivtochnim yaksho F A F B F C displaystyle F A to F B to F C ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim zliva yaksho 0 F A F B F C displaystyle 0 to F A to F B to F C ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim sprava yaksho F A F B F C 0 displaystyle F A to F B to F C to 0 ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim yaksho 0 F A F B F C 0 displaystyle 0 to F A to F B to F C to 0 ye tochnoyu poslidovnistyu Yaksho G displaystyle G kontravariantnij funktor z P displaystyle P v Q displaystyle Q to G displaystyle G nazivayetsya Napivtochnim yaksho G C G B G A displaystyle G C to G B to G A ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim zliva yaksho 0 G C G B G A displaystyle 0 to G C to G B to G A ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim sprava yaksho G C G B G A 0 displaystyle G C to G B to G A to 0 ye tochnoyu poslidovnistyu Tochnim yaksho 0 G C G B G A 0 displaystyle 0 to G C to G B to G A to 0 ye tochnoyu poslidovnistyu Ne obov yazkovo brati v yakosti vihidnoyi poslidovnist same takogo vidu napriklad tochnij funktor mozhna viznachiti yak funktor sho perevodit tochni poslidovnosti vidu A B C displaystyle A to B to C v tochni poslidovnosti Isnuye takozh bilsh zagalne oznachennya yake vvodit ponyattya tochnih funktoriv dlya bilsh zagalnih kategorij ne obov yazkovo abelevih kovariantnij funktor tochnij zliva todi i tilki todi koli vin perevodit skinchenni v granici Pri zamini slova kovariantnij na kontravariantnij abo zliva na sprava potribno odnochasno zaminiti granici na kogranici Tochnij funktor funktor tochnij zliva i sprava PrikladiBud yaka ekvivalentnist abelevih kategorij ye tochnim funktorom Najbilsh vazhlivij priklad tochnogo zliva funktora funktor Hom Yaksho A displaystyle mathcal A dovilna lokalno mala abeleva kategoriya i A displaystyle A yiyi ob yekt to HomA A X displaystyle mathrm Hom mathcal A A X kovariantnij aditivnij funktor v kategoriyu abelevih grup Cej funktor ye tochnim todi i tilki todi koli A displaystyle A ye proektivnim modulem Vidpovidno kontravariantnij funktor HomA X A displaystyle mathrm Hom mathcal A X A ye tochnim todi i tilki todi koli A displaystyle A ye in ektivnim modulem Nehaj k displaystyle k ye polem i V displaystyle V vektornim prostorom nad k displaystyle k Funktor sho stavit vektornomu prostoru u vidpovidnist jogo spryazhenij prostir V Homk V k displaystyle V mathrm Hom k V k ye kontravariantnim tochnim funktorom z kategoriyi k displaystyle k vektornih prostoriv u sebe oskilki k displaystyle k ye in yektivnim k displaystyle k modulem Nehaj X displaystyle X topologichnij prostir i rozglyanemo abelevu kategoriyu vsih puchkiv abelevih grup na X displaystyle X Funktor sho stavit u vidpovidnist kozhnomu takomu puchku F displaystyle F grupu globalnih peretiniv F X displaystyle F X ye tochnim zliva Yaksho T displaystyle T pravij R displaystyle R modul to mozhlivo viznachiti funktor HT displaystyle H T z kategoriyi livih R displaystyle R moduliv v Ab displaystyle mathbf Ab za dopomogoyu tenzornogo dobutku R HT X T X displaystyle R H T X T otimes X Cej funktor ye tochnim sprava vin ye tochnim todi i tilki todi koli T displaystyle T ploskij modul Nehaj R displaystyle R komutativne kilce S displaystyle S jogo multiplikativna pidmnozhina Funktor sho kozhnomu R displaystyle R modulyu M displaystyle M stavit u vidpovidnist modul chastok MS displaystyle M S ye tochnim funktorom iz kategoriyi R displaystyle R moduliv u kategoriyu RS displaystyle R S moduliv PrimitkiJacobson 2009 s 98 Theorem 3 1 LiteraturaJacobson Nathan 2009 Basic algebra T 2 vid 2nd Dover ISBN 978 0 486 47187 7