У математиці, і зокрема у гомологічній алгебрі, резольвентою (або лівою резольвентою; двоїсте поняття корезольвента або права резольвента) називається точна послідовність модулів (або, більш загально, об'єктів абелевої категорії), яка використовується для означення деяких інваріантів модуля чи об'єкта категорії.
Як правило на об'єкти у послідовності накладаються деякі додаткові обмеження P (Наприклад те, що об'єкти мають бути вільними). Тоді резольвенти називаються P резольвентами. Зокрема для кожного модуля існує вільна резольвента, проективна резольвента і плоска резольвента, які є лівими резольвентами із, відповідно вільними модулями, проективними модулями і плоскими модулями. Також для кожного модуля існує ін'єктивна резольвента, що є правою резольвентою із ін'єктивними модулями.
Резольвенти модулів
Означення
Для модуля M над кільцем R, лівою резольвентою (або просто резольвентою) для M називається точна послідовність (можливо нескінченна) R-модулів
Гомоморфізми di називається граничними відображеннями. Відображення ε називається відображенням продовження. Коротко резольвенту також позначають як:
Двоїстим є поняття правої резольвенти (також корезольвенти або просто резольвенти). Для модуля M над кільцем R, правою резольвентою називається можливо нескінченна точна послідовність R-модулів
де кожен Ci є R-модулем. Коротко праву резольвенту також позначають як:
Резольвента (права чи ліва) називається скінченною якщо тільки скінченна кількість її модулів є ненульовою. Максимальний індекс n, що позначає ненульовий модуль у скінченній резольвенті називається довжиною скінченної резольвенти.
Вільні, проективні, ін'єктивні і плоскі резольвенти
У багатьох випадках на модулі Ei у резольвенті для даного модуля M накладаються деякі додаткові умови. Наприклад, вільною резольвентою модуля M є ліва резольвента у якій всі модулі Ei є вільними R-модулями. Відповідно проективними і плоскими резольвентами є ліві резольвенти у яких всі Ei є проективними і плоскими R-модулями. Ін'єктивною резольвентою називається права резольвента у якій всі Ci є ін'єктивними модулями.
Для кожного R-модуля існує вільна ліва резольвента, а також проективна і плоска резольвенти. Ідея доведення цього твердження полягає у визначенні E0 як вільного R-модуля породженого елементами M і тоді E1 як вільного R-модуля породженого елементами ядра природного відображення E0 → M і т.д. Завдяки двоїстості, для кожного R-модуля також існують ін'єктивні резольвенти. Проективні резольвенти (або, більш загально, плоскі резольвенти) можна використати для обчислення функтора Tor.
Проективна резольвента модуля M є єдиною з точністю до ланцюгової гомотопії, тобто для двох проективних резольвент P0 → M і P1 → M над модулем M між ними існує ланцюгова гомотопія.
Резольвенти використовуються для означення гомологічної розмірності. Мінімальна довжина скінченної проективної резольвенти модуля M називається його проективною розмірністю і позначається pd(M). Наприклад, модуль має проективну розмірність 0 якщо і тільки якщо він є проективним модулем. Якщо для M не існує скінченної проективної резольвенти тоді проективна розмірність є нескінченною. Наприклад, для комутативного локального кільця R, проективна розмірність є скінченною якщо і тільки якщо R є регулярним і у цьому випадку вона є рівною розмірності Круля кільця R. Аналогічно можна дати означення ін'єктивної розмірності id(M) і плоскої розмірності fd(M) модуля.
Ін'єктивні і проективні розмірності використовуються у категорії правих R-модулів для означення гомологічної розмірності для R, так званої правої глобальної розмірності кільця R. Натомість плоска розмірність використовується для означення слабкої глобальної розмірності. Ці розмірності є важливими характеристиками кільця. Наприклад, кільце має праву глобальну розмірність 0 якщо і тільки якщо воно є напівпростим. Кільце має слабку глобальну розмірність 0 якщо і тільки якщо воно є регулярним за фон Нейманом.
Резольвенти у абелевих категоріях
Означення резольвенти об'єкта M у абелевій категорії A є таким як і вище, але Ei і Ci є об'єктами у A, і всі відображення є морфізмами у A.
Аналогами понять проективного і ін'єктивного модулів є проективні і ін'єктивні об'єкти, і відповідно проективні і ін'єктивні резольвенти. Проте такі резольвенти можуть не існувати для загальної абелевої категорії A. Якщо кожен об'єкт A має проективну (відповідно ін'єктивну) резольвенту, тоді кажуть, що A має достатню кількість проективних (відповідно достатню кількість ін'єктивних) об'єктів.
Ациклічна резольвента
У багатьох випадках важливими є не стільки об'єкти у резольвенті, а її поведінка при дії певного функтора. Зокрема часто є важливим поняття ациклічної резольвенти: для деякого точного зліва функтора F: A → B між абелевими категоріями, резольвента
об'єкта M у A називається F-ациклічною, якщо похідний функтор RiF(En) є нульовим для всіх i>0 і n≥0. Відповідно ліва резольвента є ациклічною щодо точного справа функтора якщо його похідні функтори є рівними нулю на об'єктах резольвенти.
Наприклад, для R-модуля M, тензорний добуток є точним справа функтором Mod(R) → Mod(R). Кожна плоска резольвента є ациклічною щодо цього функтора. Навпаки плоскі резольвента є ациклічними резольвентами для тензорного добутку на кожен модуль M. Подібно, резольвентами які є ациклічними для всіх функторів Hom( ⋅ , M) є проективні резольвенти, а ациклічними для функторів Hom(M, ⋅ ) є ін'єктивні резольвенти.
Будь-яка ін'єктивна (проективна) резольвента є F-ациклічною для будь-якого точного зліва (точного справа) функтора.
Значення ациклічних резольвент полягає у тому факті, що похідні функтори RiF (для точних зліва функторів, відповідно LiF для точних справа) можна отримати як гомології F-ациклічних резольвент: для ациклічної резольвенти об'єкта M:
де з правої сторони є i-ий гомологічний об'єкт комплексу
Наприклад, для сталого пучка R на диференційовному многовиді M існує резольвента із пучків гладких диференціальних форм:
Пучки є ациклічними щодо функтора глобальних перетинів
. Тому когомологія пучків, яка є похідним функтором функтора глобальних перетинів Γ може бути обчислена як:
Іншим прикладом резольвенти ациклічної щодо функтора глобальних перетинів є резольвента Годемана.
Примітки
- Jacobson, 2009, §6.5
Див. також
Література
- Iain T. Adamson (1972), Elementary rings and modules, University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN
- Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra II (вид. Second), Dover Publications, ISBN
- Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN , MR 1269324
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici i zokrema u gomologichnij algebri rezolventoyu abo livoyu rezolventoyu dvoyiste ponyattya korezolventa abo prava rezolventa nazivayetsya tochna poslidovnist moduliv abo bilsh zagalno ob yektiv abelevoyi kategoriyi yaka vikoristovuyetsya dlya oznachennya deyakih invariantiv modulya chi ob yekta kategoriyi Yak pravilo na ob yekti u poslidovnosti nakladayutsya deyaki dodatkovi obmezhennya P Napriklad te sho ob yekti mayut buti vilnimi Todi rezolventi nazivayutsya P rezolventami Zokrema dlya kozhnogo modulya isnuye vilna rezolventa proektivna rezolventa i ploska rezolventa yaki ye livimi rezolventami iz vidpovidno vilnimi modulyami proektivnimi modulyami i ploskimi modulyami Takozh dlya kozhnogo modulya isnuye in yektivna rezolventa sho ye pravoyu rezolventoyu iz in yektivnimi modulyami Rezolventi modulivOznachennya Dlya modulya M nad kilcem R livoyu rezolventoyu abo prosto rezolventoyu dlya M nazivayetsya tochna poslidovnist mozhlivo neskinchenna R moduliv dn 1En dn d3E2 d2E1 d1E0 eM 0 displaystyle cdots overset d n 1 longrightarrow E n overset d n longrightarrow cdots overset d 3 longrightarrow E 2 overset d 2 longrightarrow E 1 overset d 1 longrightarrow E 0 overset varepsilon longrightarrow M longrightarrow 0 Gomomorfizmi di nazivayetsya granichnimi vidobrazhennyami Vidobrazhennya e nazivayetsya vidobrazhennyam prodovzhennya Korotko rezolventu takozh poznachayut yak E eM 0 displaystyle E bullet overset varepsilon longrightarrow M longrightarrow 0 Dvoyistim ye ponyattya pravoyi rezolventi takozh korezolventi abo prosto rezolventi Dlya modulya M nad kilcem R pravoyu rezolventoyu nazivayetsya mozhlivo neskinchenna tochna poslidovnist R moduliv 0 M eC0 d0C1 d1C2 d2 dn 1Cn dn displaystyle 0 longrightarrow M overset varepsilon longrightarrow C 0 overset d 0 longrightarrow C 1 overset d 1 longrightarrow C 2 overset d 2 longrightarrow cdots overset d n 1 longrightarrow C n overset d n longrightarrow cdots de kozhen Ci ye R modulem Korotko pravu rezolventu takozh poznachayut yak 0 M eC displaystyle 0 longrightarrow M overset varepsilon longrightarrow C bullet Rezolventa prava chi liva nazivayetsya skinchennoyu yaksho tilki skinchenna kilkist yiyi moduliv ye nenulovoyu Maksimalnij indeks n sho poznachaye nenulovij modul u skinchennij rezolventi nazivayetsya dovzhinoyu skinchennoyi rezolventi Vilni proektivni in yektivni i ploski rezolventi U bagatoh vipadkah na moduli Ei u rezolventi dlya danogo modulya M nakladayutsya deyaki dodatkovi umovi Napriklad vilnoyu rezolventoyu modulya M ye liva rezolventa u yakij vsi moduli Ei ye vilnimi R modulyami Vidpovidno proektivnimi i ploskimi rezolventami ye livi rezolventi u yakih vsi Ei ye proektivnimi i ploskimi R modulyami In yektivnoyu rezolventoyu nazivayetsya prava rezolventa u yakij vsi Ci ye in yektivnimi modulyami Dlya kozhnogo R modulya isnuye vilna liva rezolventa a takozh proektivna i ploska rezolventi Ideya dovedennya cogo tverdzhennya polyagaye u viznachenni E0 yak vilnogo R modulya porodzhenogo elementami M i todi E1 yak vilnogo R modulya porodzhenogo elementami yadra prirodnogo vidobrazhennya E0 M i t d Zavdyaki dvoyistosti dlya kozhnogo R modulya takozh isnuyut in yektivni rezolventi Proektivni rezolventi abo bilsh zagalno ploski rezolventi mozhna vikoristati dlya obchislennya funktora Tor Proektivna rezolventa modulya M ye yedinoyu z tochnistyu do lancyugovoyi gomotopiyi tobto dlya dvoh proektivnih rezolvent P0 M i P1 M nad modulem M mizh nimi isnuye lancyugova gomotopiya Rezolventi vikoristovuyutsya dlya oznachennya gomologichnoyi rozmirnosti Minimalna dovzhina skinchennoyi proektivnoyi rezolventi modulya M nazivayetsya jogo proektivnoyu rozmirnistyu i poznachayetsya pd M Napriklad modul maye proektivnu rozmirnist 0 yaksho i tilki yaksho vin ye proektivnim modulem Yaksho dlya M ne isnuye skinchennoyi proektivnoyi rezolventi todi proektivna rozmirnist ye neskinchennoyu Napriklad dlya komutativnogo lokalnogo kilcya R proektivna rozmirnist ye skinchennoyu yaksho i tilki yaksho R ye regulyarnim i u comu vipadku vona ye rivnoyu rozmirnosti Krulya kilcya R Analogichno mozhna dati oznachennya in yektivnoyi rozmirnosti id M i ploskoyi rozmirnosti fd M modulya In yektivni i proektivni rozmirnosti vikoristovuyutsya u kategoriyi pravih R moduliv dlya oznachennya gomologichnoyi rozmirnosti dlya R tak zvanoyi pravoyi globalnoyi rozmirnosti kilcya R Natomist ploska rozmirnist vikoristovuyetsya dlya oznachennya slabkoyi globalnoyi rozmirnosti Ci rozmirnosti ye vazhlivimi harakteristikami kilcya Napriklad kilce maye pravu globalnu rozmirnist 0 yaksho i tilki yaksho vono ye napivprostim Kilce maye slabku globalnu rozmirnist 0 yaksho i tilki yaksho vono ye regulyarnim za fon Nejmanom Rezolventi u abelevih kategoriyahOznachennya rezolventi ob yekta M u abelevij kategoriyi A ye takim yak i vishe ale Ei i Ci ye ob yektami u A i vsi vidobrazhennya ye morfizmami u A Analogami ponyat proektivnogo i in yektivnogo moduliv ye proektivni i in yektivni ob yekti i vidpovidno proektivni i in yektivni rezolventi Prote taki rezolventi mozhut ne isnuvati dlya zagalnoyi abelevoyi kategoriyi A Yaksho kozhen ob yekt A maye proektivnu vidpovidno in yektivnu rezolventu todi kazhut sho A maye dostatnyu kilkist proektivnih vidpovidno dostatnyu kilkist in yektivnih ob yektiv Aciklichna rezolventaU bagatoh vipadkah vazhlivimi ye ne stilki ob yekti u rezolventi a yiyi povedinka pri diyi pevnogo funktora Zokrema chasto ye vazhlivim ponyattya aciklichnoyi rezolventi dlya deyakogo tochnogo zliva funktora F A B mizh abelevimi kategoriyami rezolventa 0 M E0 E1 E2 displaystyle 0 rightarrow M rightarrow E 0 rightarrow E 1 rightarrow E 2 rightarrow cdots ob yekta M u A nazivayetsya F aciklichnoyu yaksho pohidnij funktor RiF En ye nulovim dlya vsih i gt 0 i n 0 Vidpovidno liva rezolventa ye aciklichnoyu shodo tochnogo sprava funktora yaksho jogo pohidni funktori ye rivnimi nulyu na ob yektah rezolventi Napriklad dlya R modulya M tenzornij dobutok RM displaystyle otimes R M ye tochnim sprava funktorom Mod R Mod R Kozhna ploska rezolventa ye aciklichnoyu shodo cogo funktora Navpaki ploski rezolventa ye aciklichnimi rezolventami dlya tenzornogo dobutku na kozhen modul M Podibno rezolventami yaki ye aciklichnimi dlya vsih funktoriv Hom M ye proektivni rezolventi a aciklichnimi dlya funktoriv Hom M ye in yektivni rezolventi Bud yaka in yektivna proektivna rezolventa ye F aciklichnoyu dlya bud yakogo tochnogo zliva tochnogo sprava funktora Znachennya aciklichnih rezolvent polyagaye u tomu fakti sho pohidni funktori RiF dlya tochnih zliva funktoriv vidpovidno LiF dlya tochnih sprava mozhna otrimati yak gomologiyi F aciklichnih rezolvent dlya aciklichnoyi rezolventi E displaystyle E ob yekta M RiF M HiF E displaystyle R i F M H i F E de z pravoyi storoni ye i ij gomologichnij ob yekt kompleksu F E displaystyle F E Napriklad dlya stalogo puchka R na diferencijovnomu mnogovidi M isnuye rezolventa iz puchkiv C M displaystyle mathcal C M gladkih diferencialnih form 0 R C0 M dC1 M d Cdim M M 0 displaystyle 0 rightarrow R subset mathcal C 0 M stackrel d rightarrow mathcal C 1 M stackrel d rightarrow cdots mathcal C dim M M rightarrow 0 Puchki C M displaystyle mathcal C M ye aciklichnimi shodo funktora globalnih peretiniv G F F M displaystyle Gamma mathcal F mapsto mathcal F M Tomu kogomologiya puchkiv yaka ye pohidnim funktorom funktora globalnih peretiniv G mozhe buti obchislena yak Hi M R Hi C M displaystyle mathrm H i M mathbf R mathrm H i mathcal C M Inshim prikladom rezolventi aciklichnoyi shodo funktora globalnih peretiniv ye rezolventa Godemana PrimitkiJacobson 2009 6 5Div takozhGlobalna rozmirnist Pohidnij funktorLiteraturaIain T Adamson 1972 Elementary rings and modules University Mathematical Texts Oliver and Boyd ISBN 0 05 002192 3 Jacobson Nathan 2009 1985 Basic algebra II vid Second Dover Publications ISBN 978 0 486 47187 7 Weibel Charles A 1994 An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4 MR 1269324