У математиці похідним функтором називається певна послідовність функторів, які можна ввести для точних зліва коваріантних функторів на абелевій категорії, що має досить багато ін'єктивних об'єктів. Також за допомогою двоїстості подібні функтори можна задати і за інших умов на функтори і категорії (див. #Варіації). Дана операція є досить абстрактною, але об'єднує велику кількість конструкцій в математиці.
Мотивація
В багатьох ситуаціях коротка точна послідовність може бути використана для побудови довгої точної послідовності. Поняття похідного функтора пояснює ці спостереження.
Нехай задано коваріантний точний зліва функтор F: A → B між абелевими категоріями A і B. Якщо 0 → A → B → C → 0 — коротка точна послідовність в A, то, застосовуючи F, отримуємо точну послідовність 0 → F (A) → F (B) → F (C). Виникає питання: чи можна продовжити цю точну послідовність вправо, щоб отримати довгу точну послідовність? Строго кажучи, це питання не є коректним, так як завжди існують різні способи продовжити дану точну послідовність вправо. Але виявляється (якщо категорія A є досить «хорошою») що існує один канонічний спосіб зробити це за допомогою правих похідних функторів функтора F. Для кожного i ≥ 1 існує функтор Ri F: A → B і наведена вище послідовність продовжується як: 0 → F (A) → F (B) → F (C) → R1 F (A) → R1 F (B) → R1 F (C) → R2 F (A) → R2 F (B) → ....
Звідси зокрема випливає, що F є точним функтором якщо і тільки якщо R1F = 0; тобто певним чином F вимірює наскільки далеким є функтор F від того, щоб бути точним.
Якщо A в короткій точній послідовності є ін'єктивним об'єктом, тоді послідовність розщеплюється. При застосування адитивного функтора до розщепленої послідовності одержується розщеплена послідовність і тому R1F(A) = 0. Тобто функтори (для i>0) є нульовими для ін'єктивних об'єктів: це є мотивацією для побудови нижче.
Побудова і основні властивості
Ін'єктивні резольвенти
Ключовим припущенням щодо абелевої категорії A є те, що в ній досить багато ін'єктивних об'єктів, в тому сенсі, що для будь-якого об'єкта A з A існує мономорфізм A → IA, де IA — ін'єктивний об'єкт у A.
Нехай F: A → B — коваріантний точний зліва функтор і X — об'єкт категорії A. Оскільки існує досить багато ін'єктивних об'єктів, можна побудувати довгу точну послідовність виду
де Ii ін'єктивні об'єкти. Дійсно, якщо позначати IA ін'єктивний об'єкт в який вкладається об'єкт A і послідовно jn — відображення у точній послідовності у об'єкт In, то індуктивно можна ввести jn+1 як композицію
Одержана послідовність називається ін'єктивною резольвентою X.
Властивості
Ін'єктивна резольвента не є однозначно визначеною оскільки вкладення об'єкта в ін'єктивний об'єкт не обов'язково є єдиним. Проте вона має багато хороших властивостей з точки зору гомологій:
- Будь-який морфізм
продовжується до морфізму ін'єктивних резольвент, як ланцюгових комплексів, тобто існує комутативна діаграма в якій рядки є ін'єктивними резольвентами:
- Два такі морфізми ланцюгових комплексів
що продовжують морфізм
є (ланцюгово) гомотопними, тобто існують морфізми
(з очевидними корекціями на початку послідовності), такі що
де
— морфізми у ін'єктивних резольвентах у об'єкти In і Jn, а
— n-ні компоненти морфізмів ланцюгових комплексів
(знову ж умову гомотопності треба змінити на початку послідовності але це неважко зробити аналогічно до загального випадку).
- З попередньої властивості випливає також те, що дві ін'єктивні резольвенти
для одного об'єкта категорії є гомотопно еквівалентними, тобто існують морфізми ланцюгових комплексів
такі що морфізм
є гомотопним
а морфізм
є гомотопним
Побудова похідних функторів
При застосуванні функтора F до ін'єктивної резольвенти після відкидання першого члена одержується ланцюговий комплекс
Загалом він не є точною послідовністю оскільки функтор F не є точним. Проте можна обчислити його когомології i-го порядку (ядро відображення з F(Ii) по модулю образу відображення в F(Ii)); результат позначається RiF (X).
Якщо f : X → Y — морфізм, то з попереднього можна побудувати ін'єктивні резольвенти X* і Y* і морфізм f* : X* → Y*, що продовжує f. Тоді F(f*) є морфізмом ланцюгових комплексів і тому він породжує морфізм на когомологіях, тобто морфізми із RiF (X) у RiF (Y), який і є образом fпри дії функтора RiF.
Якщо X* і Y* є двома ін'єктивними резольвентами для об'єкта X то вони є гомотопно еквівалентними і тому F (X*) і F (Y*) теж є гомотопно еквівалентними (за допомогою морфізмів F (kn), де kn як вище задають гомотопну еквівалентність між X* і Y*). Тобто когомології для X* і Y* є ізоморфними і тому Ri F (X) є коректно визначеними.
Також, якщо f* і g* є морфізмами ін'єктивних резольвент, що продовжують f : X → Y, то f* і g* є гомотопними, а тому і F (f*) з F (g*) є гомотопними. Звідси випливає, що F (f*) і F (g*) породжують один морфізм на гомологіях тобто морфізм Ri F (f) є коректно визначеним.
Властвості
- З точності зліва випливає, що
- 0 → F (X) → F (I0) → F (I1) є точною, так що R0F (X) = F (X).
- Якщо сам об'єкт X є ін'єктивним, то можна взяти ін'єктивну резольвенту 0 → X → X → 0 і отримати, що Ri F (X) = 0 для всіх i ≥ 1. На практиці, цей факт, разом з існуванням довгою точної послідовності, часто використовується для обчислення значень правих похідних функторів.
- Послідовність функторів RnF є δ-функтором, тобто для точної послідовності
- існують морфізми
що дозволяють утворити точну довгу послідовність:
- і для комутативної діаграми виду
- де рядки є точними, утворені довгі точні послідовності є частинами комутативної діаграми:
- Нехай η : F → G є натуральним перетворенням від точного зліва функтора F до точного зліва функтора G. Це перетворення породжує природні перетворення Riη : RiF → RiG і Ri стає функтором із категорії точних зліва функторів із A в B у категорію всіх функторів із A в B. Цей функтор узгоджується із довгими точними послідовностями. А саме, якщо
- є точною довгою послідовністю, тоді утворюється комутативна діаграма:
- Результати про довгі точні послідовності у цьому і попередньому пунктах одержуються за допомогою леми про змію.
- Навпаки, якщо задана послідовність функторів Ri: A → B, що переводять короткі точні послідовності у довгі, задовольняють умови попередніх двох пунктів і для кожного ін'єктивного об'єкта I в категорії A, Ri(I)=0 для всіх додатних i, тоді ці функтори є правими похідними функтора R0.
- Більш загально, якщо Gi де
є δ-функтором для точного зліва функтора F тоді існує єдине натуральне перетворення δ-функторів RiF → Gi (де
), що комутує з ізоморфізмами R0F і G0 з F. Якщо також Gi = 0 (де
), то це натуральне перетворення є ізоморфізмом.
- Нехай F: A → B і G: B → C є функторами між абелевими категоріями, де A і B мають досить багато ін'єктивних об'єктів. Нехай також G є точним зліва, F є точним і для кожного ін'єктивного об'єкта I в категорії A, виконується властивість RiG (F(I)) = 0, n>0. Тоді існує натуральний ізоморфізм між
і
- Нехай F: A → B і G: B → C є функторами між абелевими категоріями, де A і B мають досить багато ін'єктивних об'єктів. Нехай також G є точним і F є точним зліва. Тоді існує натуральний ізоморфізм між
і
Варіації
Якщо починати з коваріантного точного справа функтора G і в категорії A є досить багато проективних об'єктів (тобто для будь-якого об'єкта A категорії A існує епіморфізм P → A, де P — проективний об'єкт), то можна аналогічним чином визначити ліві похідні функтори Li G. Для об'єкта X категорії A побудуємо проективну резольвенту
де Pi — проективні об'єкти. Застосовуючи G до цієї послідовності і відкидаючи останній член можна обчислити гомології Li G (X). Як і у випадку правих похідних функторів, L0G (X) = G (X).
В цьому випадку довга точна послідовність буде продовжена вліво, а не вправо:
дає
.
Ліві похідні функтори занулюються на проективних об'єктах.
Можна також розглядати контраваріантний точний зліва функтор F; отримувані праві похідні функтори тоді також будуть контраваріантними. Коротка точна послідовність
перетворюється в довгу точну послідовність
Ці праві похідні функтори занулюються на проективних об'єктах і, отже, обчислюються за допомогою проективних резольвент.
Усі вказані конструкції мають аналогічні властивості із правими похідними функторами для коваріантних точних зліва функторів, переформульовані із врахуванням двоїстості у кожному окремому випадку.
Приклад
- Якщо
є абелевою категорією, тоді її категорія морфізмів
теж є абелевою. Функтор
що переводить кожен функтор у його ядро є точним зліва. Його правими похідними функторами є
- Двоїстий функтор
є точним справа і його лівими похідними функторами є
Застосування
Когомологія пучків.. Якщо X — топологічний простір, то категорія всіх пучків абелевих груп на X є абелевою категорією, в якій є досить багато ін'єктивних об'єктів. Функтор, що зіставляє пучку L групу глобальних перетинів L(X) є точним зліва, і його праві похідні функтори називаються також функторами когомологій пучків і зазвичай позначаються як Hi(X,L). Трохи більш загально: якщо (X, OX) — окільцьований простір, то категорія всіх пучків OX-модулів — абелева категорія, в якій є досить багато ін'єктивних об'єктів, і можна побудувати когомології пучків як праві похідні функтори функтора глобальних перетинів.
Функтор Ext. Якщо R — кільце, то категорія всіх лівих R-модулів є абелевою і в ній досить багато ін'єктивних об'єктів. Якщо A — фіксований лівий R-модуль, то функтор Hom (A,-) є точним зліва і його праві похідні функтори позначаються ExtRi(A,-).
Функтор Tor. В категорії лівих R-модулів досить багато проективних об'єктів. Якщо A — фіксований правий R-модуль, то тензорний добуток з A є точним справа коваріантним функтором на категорії лівих R-модулів; його ліві похідні функтори позначаються TorRi(A,-).
Когомологія груп. Нехай G — група. G-модулем M називається абелева група M разом з дією групи G на M. Це те ж саме, що і модуль над груповому кільці Z G. G-модулі утворюють абелеву категорію, в якій досить багато ін'єктивних об'єктів. Нехай MG — підгрупа M, що складається з елементів M, інваріантних відносно дії G. Це точний зліва функтор, його праві похідні функтори — функтори когомологій груп, зазвичай позначаються як Hi(G, M).
Див. також
Література
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 20, Cambridge University Press, MR 0404390
- Weibel Charles A. (1994), An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics., т. 38, Cambridge University Press, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici pohidnim funktorom nazivayetsya pevna poslidovnist funktoriv yaki mozhna vvesti dlya tochnih zliva kovariantnih funktoriv na abelevij kategoriyi sho maye dosit bagato in yektivnih ob yektiv Takozh za dopomogoyu dvoyistosti podibni funktori mozhna zadati i za inshih umov na funktori i kategoriyi div Variaciyi Dana operaciya ye dosit abstraktnoyu ale ob yednuye veliku kilkist konstrukcij v matematici MotivaciyaV bagatoh situaciyah korotka tochna poslidovnist mozhe buti vikoristana dlya pobudovi dovgoyi tochnoyi poslidovnosti Ponyattya pohidnogo funktora poyasnyuye ci sposterezhennya Nehaj zadano kovariantnij tochnij zliva funktor F A B mizh abelevimi kategoriyami A i B Yaksho 0 A B C 0 korotka tochna poslidovnist v A to zastosovuyuchi F otrimuyemo tochnu poslidovnist 0 F A F B F C Vinikaye pitannya chi mozhna prodovzhiti cyu tochnu poslidovnist vpravo shob otrimati dovgu tochnu poslidovnist Strogo kazhuchi ce pitannya ne ye korektnim tak yak zavzhdi isnuyut rizni sposobi prodovzhiti danu tochnu poslidovnist vpravo Ale viyavlyayetsya yaksho kategoriya A ye dosit horoshoyu sho isnuye odin kanonichnij sposib zrobiti ce za dopomogoyu pravih pohidnih funktoriv funktora F Dlya kozhnogo i 1 isnuye funktor Ri F A B i navedena vishe poslidovnist prodovzhuyetsya yak 0 F A F B F C R1 F A R1 F B R1 F C R2 F A R2 F B Zvidsi zokrema viplivaye sho F ye tochnim funktorom yaksho i tilki yaksho R1F 0 tobto pevnim chinom F vimiryuye naskilki dalekim ye funktor F vid togo shob buti tochnim Yaksho A v korotkij tochnij poslidovnosti ye in yektivnim ob yektom todi poslidovnist rozsheplyuyetsya Pri zastosuvannya aditivnogo funktora do rozsheplenoyi poslidovnosti oderzhuyetsya rozsheplena poslidovnist i tomu R1F A 0 Tobto funktori dlya i gt 0 ye nulovimi dlya in yektivnih ob yektiv ce ye motivaciyeyu dlya pobudovi nizhche Pobudova i osnovni vlastivostiIn yektivni rezolventi Klyuchovim pripushennyam shodo abelevoyi kategoriyi A ye te sho v nij dosit bagato in yektivnih ob yektiv v tomu sensi sho dlya bud yakogo ob yekta A z A isnuye monomorfizm A IA de IA in yektivnij ob yekt u A Nehaj F A B kovariantnij tochnij zliva funktor i X ob yekt kategoriyi A Oskilki isnuye dosit bagato in yektivnih ob yektiv mozhna pobuduvati dovgu tochnu poslidovnist vidu 0 X I 0 I 1 I 2 displaystyle 0 to X to I 0 to I 1 to I 2 to cdots de Ii in yektivni ob yekti Dijsno yaksho poznachati IA in yektivnij ob yekt v yakij vkladayetsya ob yekt A i poslidovno jn vidobrazhennya u tochnij poslidovnosti u ob yekt In to induktivno mozhna vvesti jn 1 yak kompoziciyu I n coker j n I coker j n displaystyle I n to operatorname coker j n to I operatorname coker j n Oderzhana poslidovnist nazivayetsya in yektivnoyu rezolventoyu X Vlastivosti In yektivna rezolventa ne ye odnoznachno viznachenoyu oskilki vkladennya ob yekta v in yektivnij ob yekt ne obov yazkovo ye yedinim Prote vona maye bagato horoshih vlastivostej z tochki zoru gomologij Bud yakij morfizm f A B displaystyle f A to B prodovzhuyetsya do morfizmu in yektivnih rezolvent yak lancyugovih kompleksiv tobto isnuye komutativna diagrama v yakij ryadki ye in yektivnimi rezolventami 0 A I 0 I 1 I 2 f 0 B J 0 J 1 J 2 displaystyle begin matrix 0 to amp A amp to amp I 0 amp to amp I 1 amp to amp I 2 amp to amp ldots amp downarrow f amp amp downarrow amp amp downarrow amp amp downarrow 0 to amp B amp to amp J 0 amp to amp J 1 amp to amp J 2 amp to amp ldots end matrix dd Dva taki morfizmi lancyugovih kompleksiv f g displaystyle f g sho prodovzhuyut morfizm f A B displaystyle f A to B ye lancyugovo gomotopnimi tobto isnuyut morfizmi k n I n 1 I n displaystyle k n I n 1 to I n z ochevidnimi korekciyami na pochatku poslidovnosti taki sho j n k n 1 k n i n 1 g n f n displaystyle j n circ k n 1 k n circ i n 1 g n f n de i n j n displaystyle i n j n morfizmi u in yektivnih rezolventah u ob yekti In i Jn a g n f n displaystyle g n f n n ni komponenti morfizmiv lancyugovih kompleksiv f g displaystyle f g znovu zh umovu gomotopnosti treba zminiti na pochatku poslidovnosti ale ce nevazhko zrobiti analogichno do zagalnogo vipadku Z poperednoyi vlastivosti viplivaye takozh te sho dvi in yektivni rezolventi F G displaystyle F G dlya odnogo ob yekta kategoriyi ye gomotopno ekvivalentnimi tobto isnuyut morfizmi lancyugovih kompleksiv f F G g G F displaystyle f F to G g G to F taki sho morfizm g f displaystyle g circ f ye gomotopnim Id F displaystyle operatorname Id F a morfizm f g displaystyle f circ g ye gomotopnim Id G displaystyle operatorname Id G Pobudova pohidnih funktoriv Pri zastosuvanni funktora F do in yektivnoyi rezolventi pislya vidkidannya pershogo chlena oderzhuyetsya lancyugovij kompleks 0 F I 0 F I 1 F I 2 displaystyle 0 to F I 0 to F I 1 to F I 2 to cdots Zagalom vin ne ye tochnoyu poslidovnistyu oskilki funktor F ne ye tochnim Prote mozhna obchisliti jogo kogomologiyi i go poryadku yadro vidobrazhennya z F Ii po modulyu obrazu vidobrazhennya v F Ii rezultat poznachayetsya RiF X Yaksho f X Y morfizm to z poperednogo mozhna pobuduvati in yektivni rezolventi X i Y i morfizm f X Y sho prodovzhuye f Todi F f ye morfizmom lancyugovih kompleksiv i tomu vin porodzhuye morfizm na kogomologiyah tobto morfizmi iz RiF X u RiF Y yakij i ye obrazom fpri diyi funktoraRiF Yaksho X i Y ye dvoma in yektivnimi rezolventami dlya ob yekta X to voni ye gomotopno ekvivalentnimi i tomu F X i F Y tezh ye gomotopno ekvivalentnimi za dopomogoyu morfizmiv F kn de kn yak vishe zadayut gomotopnu ekvivalentnist mizh X i Y Tobto kogomologiyi dlya X i Y ye izomorfnimi i tomu Ri F X ye korektno viznachenimi Takozh yaksho f i g ye morfizmami in yektivnih rezolvent sho prodovzhuyut f X Y to f i g ye gomotopnimi a tomu i F f z F g ye gomotopnimi Zvidsi viplivaye sho F f i F g porodzhuyut odin morfizm na gomologiyah tobto morfizm Ri F f ye korektno viznachenim VlastvostiZ tochnosti zliva viplivaye sho 0 F X F I0 F I1 ye tochnoyu tak sho R0F X F X dd Yaksho sam ob yekt X ye in yektivnim to mozhna vzyati in yektivnu rezolventu 0 X X 0 i otrimati sho Ri F X 0 dlya vsih i 1 Na praktici cej fakt razom z isnuvannyam dovgoyu tochnoyi poslidovnosti chasto vikoristovuyetsya dlya obchislennya znachen pravih pohidnih funktoriv Poslidovnist funktoriv RnF ye d funktorom tobto dlya tochnoyi poslidovnosti 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 dd isnuyut morfizmi d n R n F C R n 1 F A displaystyle delta n colon R n F C to R n 1 F A sho dozvolyayut utvoriti tochnu dovgu poslidovnist 0 F A F B F C d 0 R 1 F A G 1 B R 1 F A d 1 R 2 F A displaystyle 0 to F A to F B to F C xrightarrow delta 0 R 1 F A to G 1 B to R 1 F A xrightarrow delta 1 R 2 F A to ldots dd i dlya komutativnoyi diagrami vidu0 A 1 f 1 B 1 g 1 C 1 0 a b g 0 A 2 f 2 B 2 g 2 C 2 0 displaystyle begin array ccccccccc 0 amp to amp A 1 amp xrightarrow f 1 amp B 1 amp xrightarrow g 1 amp C 1 amp to amp 0 amp amp alpha downarrow quad amp amp beta downarrow quad amp amp gamma downarrow quad amp amp 0 amp to amp A 2 amp xrightarrow f 2 amp B 2 amp xrightarrow g 2 amp C 2 amp to amp 0 end array dd de ryadki ye tochnimi utvoreni dovgi tochni poslidovnosti ye chastinami komutativnoyi diagrami dd dd Nehaj h F G ye naturalnim peretvorennyam vid tochnogo zliva funktora F do tochnogo zliva funktora G Ce peretvorennya porodzhuye prirodni peretvorennya Rih RiF RiG i Ri staye funktorom iz kategoriyi tochnih zliva funktoriv iz A v B u kategoriyu vsih funktoriv iz A v B Cej funktor uzgodzhuyetsya iz dovgimi tochnimi poslidovnostyami A same yaksho 0 A f B g C 0 displaystyle 0 to A xrightarrow f B xrightarrow g C to 0 dd ye tochnoyu dovgoyu poslidovnistyu todi utvoryuyetsya komutativna diagrama dd Rezultati pro dovgi tochni poslidovnosti u comu i poperednomu punktah oderzhuyutsya za dopomogoyu lemi pro zmiyu Navpaki yaksho zadana poslidovnist funktoriv Ri A B sho perevodyat korotki tochni poslidovnosti u dovgi zadovolnyayut umovi poperednih dvoh punktiv i dlya kozhnogo in yektivnogo ob yekta I v kategoriyi A Ri I 0 dlya vsih dodatnih i todi ci funktori ye pravimi pohidnimi funktora R0 Bilsh zagalno yaksho Gi de i lt a N displaystyle i lt a in mathbb N cup infty ye d funktorom dlya tochnogo zliva funktora F todi isnuye yedine naturalne peretvorennya d funktoriv RiF Gi de i lt a N displaystyle i lt a in mathbb N cup infty sho komutuye z izomorfizmami R0F i G0 z F Yaksho takozh Gi 0 de i lt a N displaystyle i lt a in mathbb N cup infty to ce naturalne peretvorennya ye izomorfizmom Nehaj F A B i G B C ye funktorami mizh abelevimi kategoriyami de A i B mayut dosit bagato in yektivnih ob yektiv Nehaj takozh G ye tochnim zliva F ye tochnim i dlya kozhnogo in yektivnogo ob yekta I v kategoriyi A vikonuyetsya vlastivist RiG F I 0 n gt 0 Todi isnuye naturalnij izomorfizm mizh R G F displaystyle R G circ F i R G F displaystyle R G circ F Nehaj F A B i G B C ye funktorami mizh abelevimi kategoriyami de A i B mayut dosit bagato in yektivnih ob yektiv Nehaj takozh G ye tochnim i F ye tochnim zliva Todi isnuye naturalnij izomorfizm mizh R G F displaystyle R G circ F i G R F displaystyle G circ R F VariaciyiYaksho pochinati z kovariantnogo tochnogo sprava funktora G i v kategoriyi A ye dosit bagato proektivnih ob yektiv tobto dlya bud yakogo ob yekta A kategoriyi A isnuye epimorfizm P A de P proektivnij ob yekt to mozhna analogichnim chinom viznachiti livi pohidni funktori Li G Dlya ob yekta X kategoriyi A pobuduyemo proektivnu rezolventu P 2 P 1 P 0 X 0 displaystyle cdots to P 2 to P 1 to P 0 to X to 0 de Pi proektivni ob yekti Zastosovuyuchi G do ciyeyi poslidovnosti i vidkidayuchi ostannij chlen mozhna obchisliti gomologiyi Li G X Yak i u vipadku pravih pohidnih funktoriv L0G X G X V comu vipadku dovga tochna poslidovnist bude prodovzhena vlivo a ne vpravo 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 daye L 2 G C L 1 G A L 1 G B L 1 G C G A G B G C 0 displaystyle cdots to L 2 G C to L 1 G A to L 1 G B to L 1 G C to G A to G B to G C to 0 Livi pohidni funktori zanulyuyutsya na proektivnih ob yektah Mozhna takozh rozglyadati kontravariantnij tochnij zliva funktor F otrimuvani pravi pohidni funktori todi takozh budut kontravariantnimi Korotka tochna poslidovnist 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 peretvoryuyetsya v dovgu tochnu poslidovnist 0 F C F B F A R 1 F C R 1 F B R 1 F A R 2 F C displaystyle 0 to F C to F B to F A to R 1 F C to R 1 F B to R 1 F A to R 2 F C to cdots Ci pravi pohidni funktori zanulyuyutsya na proektivnih ob yektah i otzhe obchislyuyutsya za dopomogoyu proektivnih rezolvent Usi vkazani konstrukciyi mayut analogichni vlastivosti iz pravimi pohidnimi funktorami dlya kovariantnih tochnih zliva funktoriv pereformulovani iz vrahuvannyam dvoyistosti u kozhnomu okremomu vipadku PrikladYaksho A displaystyle A ye abelevoyu kategoriyeyu todi yiyi kategoriya morfizmiv A displaystyle A ast to ast tezh ye abelevoyu Funktor ker A A displaystyle ker A ast to ast to A sho perevodit kozhen funktor u jogo yadro ye tochnim zliva Jogo pravimi pohidnimi funktorami ye R i ker f ker f i 0 coker f i 1 0 i gt 1 displaystyle R i ker f begin cases ker f amp i 0 operatorname coker f amp i 1 0 amp i gt 1 end cases dd Dvoyistij funktor coker displaystyle operatorname coker ye tochnim sprava i jogo livimi pohidnimi funktorami yeL i coker f coker f i 0 ker f i 1 0 i gt 1 displaystyle L i operatorname coker f begin cases operatorname coker f amp i 0 ker f amp i 1 0 amp i gt 1 end cases dd ZastosuvannyaKogomologiya puchkiv Yaksho X topologichnij prostir to kategoriya vsih puchkiv abelevih grup na X ye abelevoyu kategoriyeyu v yakij ye dosit bagato in yektivnih ob yektiv Funktor sho zistavlyaye puchku L grupu globalnih peretiniv L X ye tochnim zliva i jogo pravi pohidni funktori nazivayutsya takozh funktorami kogomologij puchkiv i zazvichaj poznachayutsya yak Hi X L Trohi bilsh zagalno yaksho X OX okilcovanij prostir to kategoriya vsih puchkiv OX moduliv abeleva kategoriya v yakij ye dosit bagato in yektivnih ob yektiv i mozhna pobuduvati kogomologiyi puchkiv yak pravi pohidni funktori funktora globalnih peretiniv Funktor Ext Yaksho R kilce to kategoriya vsih livih R moduliv ye abelevoyu i v nij dosit bagato in yektivnih ob yektiv Yaksho A fiksovanij livij R modul to funktor Hom A ye tochnim zliva i jogo pravi pohidni funktori poznachayutsya ExtRi A Funktor Tor V kategoriyi livih R moduliv dosit bagato proektivnih ob yektiv Yaksho A fiksovanij pravij R modul to tenzornij dobutok z A ye tochnim sprava kovariantnim funktorom na kategoriyi livih R moduliv jogo livi pohidni funktori poznachayutsya TorRi A Kogomologiya grup Nehaj G grupa G modulem M nazivayetsya abeleva grupa M razom z diyeyu grupi G na M Ce te zh same sho i modul nad grupovomu kilci Z G G moduli utvoryuyut abelevu kategoriyu v yakij dosit bagato in yektivnih ob yektiv Nehaj MG pidgrupa M sho skladayetsya z elementiv M invariantnih vidnosno diyi G Ce tochnij zliva funktor jogo pravi pohidni funktori funktori kogomologij grup zazvichaj poznachayutsya yak Hi G M Div takozhAbeleva kategoriya Gomologiya In yektivnij ob yekt Lancyugovij kompleks Lema pro zmiyuLiteraturaI Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Tennison B R 1975 Sheaf theory London Mathematical Society Lecture Note Series t 20 Cambridge University Press MR 0404390 Weibel Charles A 1994 An Introduction to Homological Algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4