В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики.
Означення
Нехай C — локально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора:
Hom(A,–) : C → Set | Hom(–,B) : C → Set |
---|---|
Коваріантний функтор, що задається як:
| Контраваріантний функтор, що задається як:
|
Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.
Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : B → B′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF5TDBodmJWOW1kVzVqZEc5eUxuTjJaeTh6TWpCd2VDMUliMjFmWm5WdVkzUnZjaTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
В обох випадках g : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h.
Також можна визначити Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор
- Hom (-, -): Cop × C → Set
де Cop — двоїста категорія до C.
Внутрішній функтор Hom
У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають
Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються . Функтор в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,
де позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії
(тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як
У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму
де це
.
Пов'язані означення
- Функтор виду Hom (-, C): Cop → Set є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком.
- Функтор F: C → Set, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором.
- Hom (-, -): Cop×C → Set є , а саме тотожним профунктором
.
- Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме,
переводить границі в границі, а
— границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці.
- Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.
Див. також
Література
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kategorij mnozhini Hom tobto mnozhini morfizmiv mizh dvoma ob yektami lokalno maloyi kategoriyi dozvolyayut viznachiti vazhlivi funktori v kategoriyu mnozhin Ci funktori nazivayutsya funktorami Hom i mayut chislenni zastosuvannya v teoriyi kategorij ta inshih galuzyah matematiki OznachennyaNehaj C lokalno mala kategoriya Todi dlya bud yakih yiyi ob yektiv A B viznacheno taki dva funktora Hom A C Set Hom B C SetKovariantnij funktor sho zadayetsya yak Hom A vidobrazhaye kozhen ob yekt X kategoriyi C u mnozhinu morfizmiv Hom A X Hom A vidobrazhaye kozhen morfizm f X Y u funkciyu Hom A f Hom A X Hom A Y sho zadayetsya yak g f g displaystyle g mapsto f circ g dlya kozhnogo g v Hom A X Kontravariantnij funktor sho zadayetsya yak Hom B vidobrazhaye kozhen ob yekt X kategoriyi C u mnozhinu morfizmiv Hom X B Hom B vidobrazhaye kozhen morfizm h X Y u funkciyu Hom h B Hom Y B Hom X B sho zadayetsya yak g g h displaystyle g mapsto g circ h dlya kozhnogo g v Hom Y B Funktor Hom B takozh nazivayut funktorom tochok ob yekta B Funktori Hom A i Hom B pov yazani mizh soboyu u naturalnij sposib Dlya bud yakoyi pari morfizmiv f B B i h A A diagrama nizhche komutuye V oboh vipadkah g A B perevoditsya u f g h Takozh mozhna viznachiti Hom z C C v Set kontravariantnij po pershomu argumentu i kovariantnij po drugomu abo ekvivalentno funktor Hom Cop C Set de Cop dvoyista kategoriya do C Vnutrishnij funktor HomU deyakih kategoriyah mozhna vvesti funktor yakij shozhij z funktorom Hom ale znachennya yakogo lezhat v samij kategoriyi Takij funktor nazivayut vnutrishnim funktorom Hom i poznachayut hom Cop C C displaystyle text hom C op times C to C Kategoriyi sho dopuskayut vnutrishnij Hom funktor nazivayutsya Funktor U C Set displaystyle U C to textbf Set v takih kategoriyah perevodit vnutrishnij funktor Hom u zovnishnij Tochnishe U hom Hom displaystyle U circ text hom simeq text Hom de displaystyle simeq poznachaye naturalnij izomorfizm naturalnij za oboma argumentami Oskilki v zamknutij kategoriyi A hom I A displaystyle A cong text hom I A tut I odinicya zamknutoyi kategoriyi ce mozhna perepisati yak Hom I hom Hom displaystyle text Hom I text hom simeq text Hom U vipadku zamknutoyi monoyidalnoyi kategoriyi ce oznachennya mozhna rozshiriti do tak zvanogo karringu tobto izomorfizmu Hom X Y Z Hom X Y Z displaystyle text Hom X Y Rightarrow Z simeq text Hom X otimes Y Z de Y Z displaystyle Y Rightarrow Z ce hom Y Z displaystyle text hom Y Z Pov yazani oznachennyaFunktor vidu Hom C Cop Set ye peredpuchkom vidpovidno Hom C mozhna nazivati koperedpuchkom Funktor F C Set yakij ye naturalno izomorfnim Hom X dlya deyakogo ob yekta C nazivayetsya zobrazhuvanim funktorom Hom Cop C Set ye a same totozhnim profunktorom idC C C displaystyle text id C colon C nrightarrow C Vnutrishnij funktor hom zberigaye granici a same hom X C C displaystyle text hom X C to C perevodit granici v granici a hom X C op C displaystyle text hom X C text op to C granici v kogranici U pevnomu sensi ce mozhna vvazhati viznachennyam granici abo kogranici Funktor Hom priklad tochnogo zliva funktora Div takozhLema JonediLiteraturaBukur I Delyanu A Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov Moskva Mir 1972 259 s Calenko M S Shulgejfer E G Osnovy teorii kategorij Moskva Nauka 1974 Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1