В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.
Загальний випадок леми
У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається
переводить об'єкт у множину морфізмів а морфізм у морфізм (композицію із зліва) що переводить із у морфізм у . Тобто,
- .
Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:
для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з hA в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):
Для даного натурального перетворення Φ з hA в F відповідний елемент F(A) це , тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.
Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму виконується рівність (де — натуральне перетворення із у F, для якого для визначається ) і для довільного морфізму функторів із C в Set виконується рівність
Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор
що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set
Доведення
Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:
Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається , оскільки для будь-якого морфізма f: A → X
Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F(A). Справді нехай f: A → X і g: X → Y — деякі морфізми. Тоді переводить у і , а також . Тому і введене перетворення є справді натуральним.
Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей згідно з означенням натурального перетворення і заданням Φ через . Рівність випливає з того, що є морфізмами функторної категорії SetC і тому для них виконується правило композицій.
Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.
Вкладення Йонеди
Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що
Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор hA = Hom(A,-) і кожен морфізм f: B → A у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h- з C в SetC (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор
У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h- — цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення Cop в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом SetC. Тоді можна ввести F для якого Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом SetC.
У контраваріантному випадку по лемі Йонеди
Отже, h- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)
Зображувані функтори
Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором . За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.
Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента існує єдиний морфізм f: A → B для якого
Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент і тоді для морфізма f: A → B виконується рівність Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента існує єдиний морфізм f: A → B для якого що і треба було довести.
Література
- Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN .
- Freyd, Peter (1964), Abelian categories, Harper's Series in Modern Mathematics (вид. 2003 reprint), Harper and Row, Zbl 0121.02103, архів оригіналу за 25 лютого 2021, процитовано 8 жовтня 2018.
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kategorij lema Jonedi abstraktnij rezultat pro vlastivosti funktora Hom Vona ye uzagalnennyam teoremi Keli v teoriyi grup yaksho rozglyadati grupu yak kategoriyu z odnim ob yektom Lema dozvolyaye rozglyanuti vkladennya dovilnoyi kategoriyi v kategoriyu funktoriv z neyi v Set Lema Jonedi vazhlivij instrument yakij dozvoliv otrimati bagato vazhlivih rezultativ v algebrayichnij geometriyi i teoriyi predstavlen Zagalnij vipadok lemiU dovilnij lokalno malij kategoriyi dlya danogo ob yekta A mozhna rozglyanuti kovariantnij funktor Hom sho poznachayetsya h A H o m A displaystyle h A mathrm Hom A h A displaystyle h A perevodit ob yekt X displaystyle X u mnozhinu morfizmiv H o m A X displaystyle mathrm Hom A X a morfizm f X Y displaystyle f colon X to Y u morfizm f displaystyle f circ kompoziciyu iz f displaystyle f zliva sho perevodit g displaystyle g iz H o m A X displaystyle mathrm Hom A X u morfizm f g displaystyle f circ g u H o m A Y displaystyle mathrm Hom A Y Tobto h A f g f g displaystyle h A f g f circ g Nehaj F dovilnij funktor z C v Set Lema Jonedi stverdzhuye sho dlya bud yakogo ob yekta A kategoriyi C naturalni peretvorennya z hA v F znahodyatsya u vzayemno odnoznachnij vidpovidnosti z elementami F A N a t h A F F A displaystyle mathrm Nat h A F cong F A Dlya danogo naturalnogo peretvorennya F z hA v F vidpovidnij element F A ce u F A i d A displaystyle u Phi A mathrm id A tobto naturalne peretvorennya odnoznachno viznachayetsya obrazom totozhnogo morfizma Okrim togo izomorfizm u tverdzhenni lemi ye naturalnim shodo ob yektiv kategoriyi i funktoriv z C v Set A same dlya dovilnogo morfizmu f A B displaystyle f colon A to B vikonuyetsya rivnist F f F A i d A F h f B i d B displaystyle Ff Phi A mathrm id A Phi circ h f B mathrm id B de F h f displaystyle Phi circ h f naturalne peretvorennya iz h B displaystyle h B u F dlya yakogo dlya g H o m B X displaystyle g in mathrm Hom B X viznachayetsya F h f g F A g f F X displaystyle Phi circ h f g Phi A g circ f in F X i dlya dovilnogo morfizmu 8 F G displaystyle theta colon F to G funktoriv iz C v Set vikonuyetsya rivnist 8 A F A i d A 8 F A i d A displaystyle theta A Phi A mathrm id A theta circ Phi A mathrm id A Kontravariantna versiya lemi Jonedi rozglyadaye kontravariantnij funktor h A H o m A displaystyle h A mathrm Hom A sho vidpravlyaye X u mnozhinu Hom X A Dlya dovilnogo kontravariantnogo funktora G z C v Set N a t h A G G A displaystyle mathrm Nat h A G cong G A Dovedennya Dovedennya lemi Jonedi podano na komutativnij diagrami Proof of Yoneda s lemma Diagrama pokazuye sho naturalne peretvorennya F povnistyu viznachayetsya F A i d A u displaystyle Phi A mathrm id A u oskilki dlya bud yakogo morfizma f A X F X f F f u displaystyle Phi X f Ff u Bilsh togo cya formula zadaye naturalne peretvorennya dlya bud yakogo u F A Spravdi nehaj f A X i g X Y deyaki morfizmi Todi h A g displaystyle h A g perevodit f H o m A X displaystyle f in mathrm Hom A X u g f H o m A Y displaystyle g circ f in mathrm Hom A Y i F X f F f u displaystyle Phi X f Ff u a takozh F Y g f F g f u F g F f u F g F X f displaystyle Phi Y g circ f F g circ f u Fg circ Ff u Fg Phi X f Tomu F Y h A g f F g F X f displaystyle Phi Y h A g f Fg Phi X f i vvedene peretvorennya ye spravdi naturalnim Naturalnist dlya ob yektiv kategoriyi viplivaye iz rivnostej F h f B i d B F B i d B f F f F A i d A displaystyle Phi circ h f B mathrm id B Phi B mathrm id B circ f Ff Phi A mathrm id A zgidno z oznachennyam naturalnogo peretvorennya F h f displaystyle Phi circ h f i zadannyam F cherez F A i d A u displaystyle Phi A mathrm id A u Rivnist 8 A F A i d A 8 F A i d A displaystyle theta A Phi A mathrm id A theta circ Phi A mathrm id A viplivaye z togo sho 8 F displaystyle theta Phi ye morfizmami funktornoyi kategoriyi SetC i tomu dlya nih vikonuyetsya pravilo kompozicij Dovedennya kontravariantnogo vipadku ye analogichnim Vkladennya JonediOkremij vipadok lemi Jonedi koli funktor F takozh ye funktorom Hom V comu vipadku kovariantna versiya lemi Jonedi stverdzhuye sho N a t h A h B H o m B A displaystyle mathrm Nat h A h B cong mathrm Hom B A Vidobrazhennya kozhnogo ob yekta A kategoriyi C v vidpovidnij hom funktor hA Hom A i kozhen morfizm f B A u vidpovidne naturalne peretvorennya Hom f zadaye kontravariantnij funktor h z C v SetC tobto kategoriyu kovariantnih funktoriv iz C v Set abo kovariantnij funktor h C op S e t C displaystyle h colon mathcal C text op to mathbf Set mathcal C U cij situaciyi lema Jonedi stverdzhuye sho h cilkom univalentnij funktor tobto zadaye vkladennya Cop v kategoriyu funktoriv v Set U cih terminah mozhna takozh krashe zrozumiti znachennya lemi Jonedi Nehaj F dovilnij funktor z C v Set tobto F ye ob yektom SetC Todi mozhna vvesti F dlya yakogo F A N a t h A F displaystyle F A mathrm Nat h A F Analogichno mozhna vvesti F i t d Lema Jonedi stverdzhuye sho vsi ci morfizmi ye izomorfnimi i yih mozhna vvazhati odnim ob yektom SetC U kontravariantnomu vipadku po lemi Jonedi N a t h A h B H o m A B displaystyle mathrm Nat h A h B cong mathrm Hom A B Otzhe h zadaye cilkom univalentnij kovariantnij funktor vkladennya Jonedi h C S e t C o p displaystyle h colon mathcal C to mathbf Set mathcal C mathrm op Zobrazhuvani funktoriFunktor F iz deyakoyi lokalno maloyi kategoriyi C v Set nazivayetsya zobrazhuvanim yaksho isnuye ob yekt A kategoriyi i deyakij naturalnij izomorfizm mizh F i funktorom h A displaystyle h A Za oznachennyam zobrazhennyam funktora nazivayetsya vibir deyakogo ob yekta A i naturalnogo izomorfizmu Vazhlivim naslidkom lemi Jonedi ye toj fakt sho zobrazhennya odnoznachno zadayetsya viborom ob yekta A kategoriyi a takozh elementa u F A displaystyle u in F A dlya yakogo vikonuyetsya umova dlya dovilnogo ob yekta B kategoriyi C i bud yakogo elementa x F B displaystyle x in F B isnuye yedinij morfizm f A B dlya yakogo F f u x displaystyle Ff u x Spravdi z oznachennya zobrazhennya funktora viplivaye odnoznachnij vibir deyakogo ob yekta A a zgidno lemi Jonedi vidpovidne naturalne peretvorennya odnoznachno viznachaye deyakij element u F A i d A displaystyle u Phi A mathrm id A i todi dlya morfizma f A B vikonuyetsya rivnist F B f F f u displaystyle Phi B f Ff u Zalishayetsya lishe dovesti sho naturalne peretvorennya bude izomorfizmom todi i tilki todi koli vikonuyetsya dodatkova umova Peretvorennya bude izomorfizmom todi i tilki todi koli vidobrazhennya F B H o m A B F B displaystyle Phi B mathrm Hom A B to F B bude biyekciyeyu dlya vsih ob yektiv B Ale F B f F f u displaystyle Phi B f Ff u tomu take vidobrazhennya bude biyekciyeyu todi i tilki todi koli dlya bud yakogo elementa x F B displaystyle x in F B isnuye yedinij morfizm f A B dlya yakogo F f u x displaystyle Ff u x sho i treba bulo dovesti LiteraturaBorceux Francis 1994 Handbook of categorical algebra Volume 1 Encyclopedia of mathematics and its applications Cambridge University Press ISBN 0 521 44178 1 Freyd Peter 1964 Abelian categories Harper s Series in Modern Mathematics vid 2003 reprint Harper and Row Zbl 0121 02103 arhiv originalu za 25 lyutogo 2021 procitovano 8 zhovtnya 2018 Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1