У математиці, функтор Tor є похідним функтором тензорного добутку модулів над кільцем. Разом із функтором Ext, функтор Tor є одним із основних понять гомологічної алгебри.
У випадку абелевих груп, Tor був введений Едуардом Чехом у 1935 році. Сучасну назву функтора дав Самуель Ейленберг у 1950. Для модулів над довільним кільцем, означення Tor вперше дали Картан і Ейленберг у книзі Homological Algebra.
Означення
Нехай R — кільце. Позначимо R-Mod категорію лівих R-модулів і Mod-R — категорію правих R-модулів. (Якщо R є комутативним, дві категорії можна ідентифікувати.) Для деякого лівого R-модуля B, позначимо T(A) = A ⊗R B для модуля A з категорії Mod-R. T є правим точним функтором із Mod-R у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує лівий похідний функтор LiT. Групи Tor є абелевими групами заданими як:
для цілого числа i. Більш детально: для довільної проективної резольвенти
відкинувши елемент A можна одержати ланцюговий комплекс:
Для кожного цілого числа i, TorRi(A, B) є гомологією цього комплекса на позиції i. Для від'ємного i група вважається рівною тривіальній. Наприклад, TorR0(A, B) є коядром відображення P1 ⊗R B → P0 ⊗R B, яке є ізоморфним A ⊗R B.
Еквівалентно, можна дати означення Tor зафіксувавши A і взявши ліві похідні функтори правого точного функтора G(B) = A ⊗R B. У цьому випадку береться тензорний добуток A із проективною резольвентою B і тоді гомологічні групи, як і вище. Всі ці побудови є незалежними від вибору конкретних проективних резольвент і дають в результаті однакові групи.
Загалом, для некомутативного кільця R, TorRi(A, B) є лише абелевою групою. якщо R є алгеброю над кільцем S (що означає, зокрема, що S є комутативним), тоді TorRi(A, B) є S-модулем. Якщо R є комутативним то TorRi(A, B) є R-модулем (використовуючи факт, що A ⊗R B теж є R-модулем у цьому випадку).
Властивості
Нижче подані основні властивості і обчислення для груп Tor.
- TorR0(A, B) ≅ A ⊗R B для будь-якого правого R-модуля A і лівого R-модуля B.
- TorR
i(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо або A або B є плоским (наприклад, вільним) R-модулем. Tor можна обчислити використовуючи плоску резольвенту A або B; плоска резольвента є більш загальною ніж проективна (чи вільна) резольвента.
- Для попереднього твердження справедливими є обернені:
- Якщо TorR
1(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є плоским (і тому TorR
i(A, B) = 0 для всіх i > 0). - Якщо TorR
1(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є плоским (і тому TorR
i(A, B) = 0 для всіх i > 0).
- Якщо TorR
- Згідно загальних властивостей похідних функторів, кожна коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 правих R-модулів породжує довгу точну послідовність виду
- для будь-якого лівого R-модуля B. Аналогічна точна послідовність також є для Tor стосовно другої змінної.
- Симетричність: для комутативного кільця R, існує природний ізоморфізм TorR
i(A, B) ≅ TorR
i(B, A). (Для комутативного R немає потреби розрізняти ліві і праві R-модулі.)
- Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді для будь-якого R-модуля B маємо:
де
- є підгрупою u-кручення у B. Цей факт пояснює назву Tor. Для
цей результат можна використати для обчислення
для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.
для всіх i ≥ 2 оскільки кожна абелева група A має вільну резольвенту довжини 1, оскільки кожна підгрупа вільної абелевої групи є вільною абелевою групою.
- Для будь-якого кільця R, Tor зберігає прямі суми (можливо нескінченні) і фільтровані кограниці. Наприклад, по першій змінній це означає
- Для комутативного кільця R, Tor комутує з операцією локалізації. Тобто для мультиплікативно замкнутої множини S у R, R-модулів A і B, і цілого числа i,
Важливі окремі випадки
- є рівною
де G є групою, M є представленням G над цілими числами, і
є груповим кільцем G.
- Для алгебри A над кільцем R і A-бімодуля M, є рівною
- є рівною
де
є алгеброю Лі над комутативним кільцем R, M є
-модулем, і
є універсальною обгортуючою алгеброю.
- Для комутативного кільця R із гомоморфізмом на поле k,
має структуру градуйовано-комутативної алгебри Хопфа над k. Якщо k має характеристику 0, вона є вільною градуйовано-комутативноо алгеброю на гомології Андре — Квіллена
Див. також
Примітки
- Weibel (1999).
- Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.
- Weibel (1994), section 2.4 і Theorem 2.7.2.
- Weibel (1994), Chapters 2 і 3.
- Weibel (1994), Lemma 3.2.8.
- Weibel (1994), означення 2.1.1.
- Weibel (1994), Remark in section 3.1.
- Weibel (1994), Corollary 2.6.17.
- Weibel (1994), Corollaries 2.6.12 і 3.2.10.
- Quillen (1970), section 7.
Література
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN , MR 0077480
- Čech, Eduard (1935), Les groupes de Betti d'un complexe infini, Fundamenta Mathematicae, 25: 33—44, doi:10.4064/fm-25-1-33-44, JFM 61.0609.02
- Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings, Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., т. 17, American Mathematical Society, с. 65—87, MR 0257068*Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN , MR 1269324
- Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN , MR 1269324
- Weibel, Charles (1999), History of homological algebra, History of topology (PDF), Amsterdam: North-Holland, с. 797—836, MR 1721123
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici funktor Tor ye pohidnim funktorom tenzornogo dobutku moduliv nad kilcem Razom iz funktorom Ext funktor Tor ye odnim iz osnovnih ponyat gomologichnoyi algebri U vipadku abelevih grup Tor buv vvedenij Eduardom Chehom u 1935 roci Suchasnu nazvu funktora dav Samuel Ejlenberg u 1950 Dlya moduliv nad dovilnim kilcem oznachennya Tor vpershe dali Kartan i Ejlenberg u knizi Homological Algebra OznachennyaNehaj R kilce Poznachimo R Mod kategoriyu livih R moduliv i Mod R kategoriyu pravih R moduliv Yaksho R ye komutativnim dvi kategoriyi mozhna identifikuvati Dlya deyakogo livogo R modulya B poznachimo T A A R B dlya modulya A z kategoriyi Mod R T ye pravim tochnim funktorom iz Mod R u kategoriyu abelevih grup Ab i tomu dlya nogo isnuye livij pohidnij funktor LiT Grupi Tor ye abelevimi grupami zadanimi yak Tor i R A B L i T A displaystyle operatorname Tor i R A B L i T A dlya cilogo chisla i Bilsh detalno dlya dovilnoyi proektivnoyi rezolventi P 2 P 1 P 0 A 0 displaystyle cdots to P 2 to P 1 to P 0 to A to 0 vidkinuvshi element A mozhna oderzhati lancyugovij kompleks P 2 R B P 1 R B P 0 R B 0 displaystyle cdots to P 2 otimes R B to P 1 otimes R B to P 0 otimes R B to 0 Dlya kozhnogo cilogo chisla i TorRi A B ye gomologiyeyu cogo kompleksa na poziciyi i Dlya vid yemnogo i grupa vvazhayetsya rivnoyu trivialnij Napriklad TorR0 A B ye koyadrom vidobrazhennya P1 R B P0 R B yake ye izomorfnim A R B Ekvivalentno mozhna dati oznachennya Tor zafiksuvavshi A i vzyavshi livi pohidni funktori pravogo tochnogo funktora G B A R B U comu vipadku beretsya tenzornij dobutok A iz proektivnoyu rezolventoyu B i todi gomologichni grupi yak i vishe Vsi ci pobudovi ye nezalezhnimi vid viboru konkretnih proektivnih rezolvent i dayut v rezultati odnakovi grupi Zagalom dlya nekomutativnogo kilcya R TorRi A B ye lishe abelevoyu grupoyu yaksho R ye algebroyu nad kilcem S sho oznachaye zokrema sho S ye komutativnim todi TorRi A B ye S modulem Yaksho R ye komutativnim to TorRi A B ye R modulem vikoristovuyuchi fakt sho A R B tezh ye R modulem u comu vipadku VlastivostiNizhche podani osnovni vlastivosti i obchislennya dlya grup Tor TorR0 A B A R B dlya bud yakogo pravogo R modulya A i livogo R modulya B TorR i A B 0 dlya vsih i gt 0 yaksho abo A abo B ye ploskim napriklad vilnim R modulem Tor mozhna obchisliti vikoristovuyuchi plosku rezolventu A abo B ploska rezolventa ye bilsh zagalnoyu nizh proektivna chi vilna rezolventa Dlya poperednogo tverdzhennya spravedlivimi ye oberneni Yaksho TorR 1 A B 0 dlya vsih B todi A ye ploskim i tomu TorR i A B 0 dlya vsih i gt 0 Yaksho TorR 1 A B 0 dlya vsih A todi B ye ploskim i tomu TorR i A B 0 dlya vsih i gt 0 Zgidno zagalnih vlastivostej pohidnih funktoriv kozhna korotka tochna poslidovnist 0 K L M 0 pravih R moduliv porodzhuye dovgu tochnu poslidovnist vidu Tor 2 R M B Tor 1 R K B Tor 1 R L B Tor 1 R M B K R B L R B M R B 0 displaystyle cdots to operatorname Tor 2 R M B to operatorname Tor 1 R K B to operatorname Tor 1 R L B to operatorname Tor 1 R M B to K otimes R B to L otimes R B to M otimes R B to 0 dd dlya bud yakogo livogo R modulya B Analogichna tochna poslidovnist takozh ye dlya Tor stosovno drugoyi zminnoyi Simetrichnist dlya komutativnogo kilcya R isnuye prirodnij izomorfizm TorR i A B TorR i B A Dlya komutativnogo R nemaye potrebi rozriznyati livi i pravi R moduli Yaksho R ye komutativnim kilcem i element u ne ye dilnikom nulya todi dlya bud yakogo R modulya B mayemo Tor i R R u B B u B i 0 B u i 1 0 otherwise displaystyle operatorname Tor i R R u B cong begin cases B uB amp i 0 B u amp i 1 0 amp text otherwise end cases de B u x B u x 0 displaystyle B u x in B ux 0 dd ye pidgrupoyu u kruchennya u B Cej fakt poyasnyuye nazvu Tor Dlya R Z displaystyle R mathbb Z cej rezultat mozhna vikoristati dlya obchislennya Tor 1 Z A B displaystyle operatorname Tor 1 mathbb Z A B dlya bud yakoyi skinchennoporodzhenoyi abelevoyi grupi A Tor i Z A B 0 displaystyle operatorname Tor i mathbb Z A B 0 dlya vsih i 2 oskilki kozhna abeleva grupa A maye vilnu rezolventu dovzhini 1 oskilki kozhna pidgrupa vilnoyi abelevoyi grupi ye vilnoyu abelevoyu grupoyu Dlya bud yakogo kilcya R Tor zberigaye pryami sumi mozhlivo neskinchenni i filtrovani kogranici Napriklad po pershij zminnij ce oznachaye Tor i R a M a N a Tor i R M a N Tor i R lim a M a N lim a Tor i R M a N displaystyle begin aligned operatorname Tor i R left bigoplus alpha M alpha N right amp cong bigoplus alpha operatorname Tor i R M alpha N operatorname Tor i R left varinjlim alpha M alpha N right amp cong varinjlim alpha operatorname Tor i R M alpha N end aligned dd Dlya komutativnogo kilcya R Tor komutuye z operaciyeyu lokalizaciyi Tobto dlya multiplikativno zamknutoyi mnozhini S u R R moduliv A i B i cilogo chisla i S 1 Tor i R A B Tor i S 1 R S 1 A S 1 B displaystyle S 1 operatorname Tor i R A B cong operatorname Tor i S 1 R left S 1 A S 1 B right dd Vazhlivi okremi vipadkiye rivnoyu H G M Tor Z G Z M displaystyle H G M operatorname Tor mathbb Z G mathbb Z M de G ye grupoyu M ye predstavlennyam G nad cilimi chislami i Z G displaystyle mathbb Z G ye grupovim kilcem G Dlya algebri A nad kilcem R i A bimodulya M ye rivnoyu H H A M Tor A R A op A M displaystyle HH A M operatorname Tor A otimes R A text op A M dd ye rivnoyu H g M Tor U g R M displaystyle H mathfrak g M operatorname Tor U mathfrak g R M de g displaystyle mathfrak g ye algebroyu Li nad komutativnim kilcem R M ye g displaystyle mathfrak g modulem i U g displaystyle U mathfrak g ye universalnoyu obgortuyuchoyu algebroyu Dlya komutativnogo kilcya R iz gomomorfizmom na pole k Tor R k k displaystyle operatorname Tor R k k maye strukturu gradujovano komutativnoyi algebri Hopfa nad k Yaksho k maye harakteristiku 0 vona ye vilnoyu gradujovano komutativnoo algebroyu na gomologiyi Andre Kvillena D k R k displaystyle D k R k Div takozhPloskij modul Pohidnij funktor Funktor ExtPrimitkiWeibel 1999 Cartan amp Eilenberg 1956 section VI 1 Weibel 1994 section 2 4 i Theorem 2 7 2 Weibel 1994 Chapters 2 i 3 Weibel 1994 Lemma 3 2 8 Weibel 1994 oznachennya 2 1 1 Weibel 1994 Remark in section 3 1 Weibel 1994 Corollary 2 6 17 Weibel 1994 Corollaries 2 6 12 i 3 2 10 Quillen 1970 section 7 LiteraturaCartan Henri Eilenberg Samuel 1999 1956 Homological algebra Princeton Princeton University Press ISBN 0 691 04991 2 MR 0077480 Cech Eduard 1935 Les groupes de Betti d un complexe infini Fundamenta Mathematicae 25 33 44 doi 10 4064 fm 25 1 33 44 JFM 61 0609 02 Quillen Daniel 1970 On the co homology of commutative rings Applications of categorical algebra Proc Symp Pure Mat t 17 American Mathematical Society s 65 87 MR 0257068 Weibel Charles A 1994 An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4 MR 1269324 Weibel Charles A 1994 An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4 MR 1269324 Weibel Charles 1999 History of homological algebra History of topology PDF Amsterdam North Holland s 797 836 MR 1721123