Універсальна обгортуюча алгебра — асоціативна алгебра, яка може бути побудована для будь-якої алгебри Лі, переймає багато важливих властивостей вихідної алгебри, що дозволяє застосувати більш широкі засоби для вивчення вихідної алгебри.
Асоціативна алгебра над полем має природну структуру алгебри Лі над з дужкою Лі: , тобто, з асоціативного добутку можна одержати дужку Лі за допомогою простого взяття комутатора. Ця алгебру Лі позначається . Побудова універсальної обгортуючої алгебри намагається обернути цей процес: для даної алгебри Лі над знаходять «найбільш загальну» асоціативну -алгебру таку, що алгебра Лі містить .
Мотивація
Важливим розділом у вивченні алгебри Лі є представлення алгебри Лі. Представлення зіставляє кожному елементу x алгебри Лі лінійний оператор
. Для даних лінійних операторів можна розглядати не тільки дужки Лі але також і добутки
. Суть введення універсальної обгортуючої алгебри у вивченні таких добутків для різних представленнях алгебри Лі. Відразу бачиться одна перешкода в наївній спробі зробити це: властивості добутків докорінно залежать від обраного представлення, а не тільки від самої алгебри Лі. Наприклад, для одного представлення можна отримати
, тоді як для іншого цей добуток може бути ненульовим. Проте певні властивості є універсальними для всіх представлень, тобто справедливими для всіх представлень одночасно. Універсальна обгортуюча алгебра — спосіб охопити всі такі властивості і тільки їх.
Пряма побудова
Побудова універсальної обгортуючої алгебри починається із тензорної алгебри на векторному просторі алгебри
Універсальна обгортуюча алгебра одержується як фактор-простір
за співвідношеннями:
для всіх і
в
, де дужки в правій частині виразу позначають комутатор в
.
Формально:
де — двосторонній ідеал
, породжений елементами виду
Природне відображення зводиться до відображення
.
Універсальна властивість
Нехай — довільна алгебра Лі над полем
. Алгебри
задовольняє універсальній властивості: для будь-якої асоціативної алгебри
з одиницею і гомоморфізму алгебр Лі
існує єдиний гомоморфізм асоціативних алгебр з одиницею
такий, що
Цю універсальну властивість також можна розуміти так: функтор, що відображає в її універсальну обгортуючу алгебру є спряженим зліва до функтора, що відображає асоціативну алгебру
у відповідну алгебру Лі
.
З універсальної властивості можна довести, що якщо алгебра Лі має універсальну обгортуючу алгебру, то ця обгортуюча алгебра єдиним чином визначається алгеброю (з точністю до ізоморфізму).
Приклади
- Якщо
є абелевою (тобто, комутатор завжди рівний 0), то
є коммутативною; якщо обраний базис векторного простору
, то
може розглядатися як алгебра многочленів над
, з однією змінною для кожного базисного елемента.
- Якщо
— алгебра Лі групи Лі
,
може розглядатися як алгебра лівоінваріантних диференціальних операторів (всіх порядків) на
, що містить
як диференціальних операторів першого порядку (які знаходяться під взаємній відповідності з лівоінваріантними векторними полями на
).
- Центр алгебри
позначається через
і складається з диференціальних операторів, які є інваріантними як щодо лівої дії групи, так і щодо правої; в разі некомутативності
центр часто вже не породжується операторами першого порядку (наприклад, оператор Казиміра ніпівпростої алгебри Лі).
- Також
можна охарактеризувати як алгебру узагальнених функцій з носієм на одиничному елементі
групи
з операцією згортки.
- Алгебра Вейля диференціальних операторів від
змінних з поліноміальними коефіцієнтами може бути отримана, починаючи з алгебри Лі групи Гейзенберга. Для цього необхідно профакторизувати її так, щоб центральні елементи даної алгебри Лі діяли як скаляри.
Властивості
- Фундаментальна теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта дає точний опис
; найбільш важливий наслідок з неї - це те, що
може розглядатися як лінійний підпростір
. Більш точно: канонічне відображення
завжди є ін'єктивним. Окрім того,
породжується
як асоціативна алгебра з одиницею.
діє на собі за допомогою приєднаного представлення алгебри Лі, і ця дія може бути розширено на представлення
в ендоморфізми
:
діє як алгебра похідних на
, і ця дія зберігає накладені співвідношення, тому вона фактично діє на
.
- При такому представленні, елементи
, що є інваріантними при дії
(тобто дія на них будь-якого елемента
є тривіальною), називаються інваріантними елементами. Вони породжуються .
- Конструкція універсальної обгортуючої алгебри є частиною пари спряжених функторів.
— функтор з категорії алгебр Лі над
у категорію асоціативних
-алгебр з одиницею. Цей функтор є спряженим зліва до функтора, що відображає алгебру
в алгебру
. Проте конструкція універсальної обгортуючої алгебри не є точно оберненою до формування
: якщо почати з асоціативної алгебри
, то
не є рівною
, а є значно більшою.
- Абелева категорія всіх представлень
є ізоморфною абелевій категорії всіх лівих модулів над
.
- Побудова групової алгебри деякої групи багато в чому є аналогічною побудові універсальної обгортуючої алгебри для заданої алгебри Лі. Обидві побудови є універсальними і переносять теорію представлень в теорію модулів. Більш того, як групові алгебри, так і універсальні обгортуючі алгебри мають природну структуру комноження, які перетворюють їх в алгебру Хопфа.
Див. також
Література
- Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN , MR 0498740
- Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN .
- Musson, Ian M. (2012), Lie Superalgebras and Enveloping Algebras, Graduate Studies in Mathematics, т. 131, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN , Zbl 1255.17001
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Universalna obgortuyucha algebra asociativna algebra yaka mozhe buti pobudovana dlya bud yakoyi algebri Li perejmaye bagato vazhlivih vlastivostej vihidnoyi algebri sho dozvolyaye zastosuvati bilsh shiroki zasobi dlya vivchennya vihidnoyi algebri Asociativna algebra A displaystyle A nad polem K displaystyle K maye prirodnu strukturu algebri Li nad K displaystyle K z duzhkoyu Li a b ab ba displaystyle a b ab ba tobto z asociativnogo dobutku mozhna oderzhati duzhku Li za dopomogoyu prostogo vzyattya komutatora Cya algebru Li poznachayetsya AL displaystyle A L Pobudova universalnoyi obgortuyuchoyi algebri namagayetsya obernuti cej proces dlya danoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g nad K displaystyle K znahodyat najbilsh zagalnu asociativnu K displaystyle K algebru U g displaystyle U mathfrak g taku sho algebra Li UL displaystyle U L mistit g displaystyle mathfrak g MotivaciyaVazhlivim rozdilom u vivchenni algebri Li ye predstavlennya algebri Li Predstavlennya r displaystyle rho zistavlyaye kozhnomu elementu x algebri Li linijnij operator r x displaystyle rho x Dlya danih linijnih operatoriv mozhna rozglyadati ne tilki duzhki Li ale takozh i dobutki r x r y displaystyle rho x rho y Sut vvedennya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri u vivchenni takih dobutkiv dlya riznih predstavlennyah algebri Li Vidrazu bachitsya odna pereshkoda v nayivnij sprobi zrobiti ce vlastivosti dobutkiv dokorinno zalezhat vid obranogo predstavlennya a ne tilki vid samoyi algebri Li Napriklad dlya odnogo predstavlennya mozhna otrimati r x r y 0 displaystyle rho x rho y 0 todi yak dlya inshogo cej dobutok mozhe buti nenulovim Prote pevni vlastivosti ye universalnimi dlya vsih predstavlen tobto spravedlivimi dlya vsih predstavlen odnochasno Universalna obgortuyucha algebra sposib ohopiti vsi taki vlastivosti i tilki yih Pryama pobudovaPobudova universalnoyi obgortuyuchoyi algebri pochinayetsya iz tenzornoyi algebri T g displaystyle T mathfrak g na vektornomu prostori algebri g displaystyle mathfrak g T g K g g g g g g displaystyle T mathfrak g K oplus mathfrak g oplus mathfrak g otimes mathfrak g oplus mathfrak g otimes mathfrak g otimes mathfrak g oplus cdots Universalna obgortuyucha algebra U g displaystyle U mathfrak g oderzhuyetsya yak faktor prostir T g displaystyle T mathfrak g za spivvidnoshennyami a b b a a b displaystyle a otimes b b otimes a a b dlya vsih a displaystyle a i b displaystyle b v g displaystyle mathfrak g de duzhki v pravij chastini virazu poznachayut komutator v g displaystyle mathfrak g Formalno U g T g I displaystyle U mathfrak g T mathfrak g I de I displaystyle I dvostoronnij ideal T g displaystyle T mathfrak g porodzhenij elementami vidu a b b a a b a b g displaystyle a otimes b b otimes a a b quad a b in mathfrak g Prirodne vidobrazhennya g T g displaystyle mathfrak g to T mathfrak g zvoditsya do vidobrazhennya h g UL displaystyle h colon mathfrak g to U L Universalna vlastivist Nehaj g displaystyle mathfrak g dovilna algebra Li nad polem K displaystyle K Algebri U displaystyle U zadovolnyaye universalnij vlastivosti dlya bud yakoyi asociativnoyi algebri A displaystyle A z odiniceyu i gomomorfizmu algebr Li f g AL displaystyle f colon mathfrak g to A L isnuye yedinij gomomorfizm asociativnih algebr z odiniceyu g U A displaystyle g colon U to A takij sho f gh displaystyle f gh Cyu universalnu vlastivist takozh mozhna rozumiti tak funktor sho vidobrazhaye g displaystyle mathfrak g v yiyi universalnu obgortuyuchu algebru ye spryazhenim zliva do funktora sho vidobrazhaye asociativnu algebru A displaystyle A u vidpovidnu algebru Li AL displaystyle A L Z universalnoyi vlastivosti mozhna dovesti sho yaksho algebra Li maye universalnu obgortuyuchu algebru to cya obgortuyucha algebra yedinim chinom viznachayetsya algebroyu g displaystyle mathfrak g z tochnistyu do izomorfizmu PrikladiYaksho g displaystyle mathfrak g ye abelevoyu tobto komutator zavzhdi rivnij 0 to U g displaystyle U mathfrak g ye kommutativnoyu yaksho obranij bazis vektornogo prostoru g displaystyle mathfrak g to U g displaystyle U mathfrak g mozhe rozglyadatisya yak algebra mnogochleniv nad K displaystyle K z odniyeyu zminnoyu dlya kozhnogo bazisnogo elementa Yaksho g displaystyle mathfrak g algebra Li grupi Li G displaystyle G U g displaystyle U mathfrak g mozhe rozglyadatisya yak algebra livoinvariantnih diferencialnih operatoriv vsih poryadkiv na G displaystyle G sho mistit g displaystyle mathfrak g yak diferencialnih operatoriv pershogo poryadku yaki znahodyatsya pid vzayemnij vidpovidnosti z livoinvariantnimi vektornimi polyami na G displaystyle G Centr algebri U g displaystyle U mathfrak g poznachayetsya cherez Z g displaystyle Z mathfrak g i skladayetsya z diferencialnih operatoriv yaki ye invariantnimi yak shodo livoyi diyi grupi tak i shodo pravoyi v razi nekomutativnosti G displaystyle G centr chasto vzhe ne porodzhuyetsya operatorami pershogo poryadku napriklad operator Kazimira nipivprostoyi algebri Li Takozh U g displaystyle U mathfrak g mozhna oharakterizuvati yak algebru uzagalnenih funkcij z nosiyem na odinichnomu elementi e displaystyle e grupi G displaystyle G z operaciyeyu zgortki Algebra Vejlya diferencialnih operatoriv vid n displaystyle n zminnih z polinomialnimi koeficiyentami mozhe buti otrimana pochinayuchi z algebri Li grupi Gejzenberga Dlya cogo neobhidno profaktorizuvati yiyi tak shob centralni elementi danoyi algebri Li diyali yak skalyari VlastivostiFundamentalna teorema Puankare Birkgofa Vitta daye tochnij opis U g displaystyle U mathfrak g najbilsh vazhlivij naslidok z neyi ce te sho g displaystyle mathfrak g mozhe rozglyadatisya yak linijnij pidprostir U g displaystyle U mathfrak g Bilsh tochno kanonichne vidobrazhennya h g U g displaystyle h colon mathfrak g to U mathfrak g zavzhdi ye in yektivnim Okrim togo U g displaystyle U mathfrak g porodzhuyetsya g displaystyle mathfrak g yak asociativna algebra z odiniceyu g displaystyle mathfrak g diye na sobi za dopomogoyu priyednanogo predstavlennya algebri Li i cya diya mozhe buti rozshireno na predstavlennya g displaystyle mathfrak g v endomorfizmi U g displaystyle U mathfrak g g displaystyle mathfrak g diye yak algebra pohidnih na T g displaystyle T mathfrak g i cya diya zberigaye nakladeni spivvidnoshennya tomu vona faktichno diye na U g displaystyle U mathfrak g Pri takomu predstavlenni elementi U g displaystyle U mathfrak g sho ye invariantnimi pri diyi g displaystyle mathfrak g tobto diya na nih bud yakogo elementa g displaystyle mathfrak g ye trivialnoyu nazivayutsya invariantnimi elementami Voni porodzhuyutsya Konstrukciya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri ye chastinoyu pari spryazhenih funktoriv U displaystyle U funktor z kategoriyi algebr Li nad K displaystyle K u kategoriyu asociativnih K displaystyle K algebr z odiniceyu Cej funktor ye spryazhenim zliva do funktora sho vidobrazhaye algebru A displaystyle A v algebru AL displaystyle A L Prote konstrukciya universalnoyi obgortuyuchoyi algebri ne ye tochno obernenoyu do formuvannya AL displaystyle A L yaksho pochati z asociativnoyi algebri A displaystyle A to U AL displaystyle U A L ne ye rivnoyu A displaystyle A a ye znachno bilshoyu Abeleva kategoriya vsih predstavlen g displaystyle mathfrak g ye izomorfnoyu abelevij kategoriyi vsih livih moduliv nad U g displaystyle U mathfrak g Pobudova grupovoyi algebri deyakoyi grupi bagato v chomu ye analogichnoyu pobudovi universalnoyi obgortuyuchoyi algebri dlya zadanoyi algebri Li Obidvi pobudovi ye universalnimi i perenosyat teoriyu predstavlen v teoriyu moduliv Bilsh togo yak grupovi algebri tak i universalni obgortuyuchi algebri mayut prirodnu strukturu komnozhennya yaki peretvoryuyut yih v algebru Hopfa Div takozhPredstavlennya algebri LiLiteraturaDixmier Jacques 1996 1974 Enveloping algebras Graduate Studies in Mathematics t 11 Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 0560 2 MR 0498740 Kirillov A 2008 An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 113 Cambridge University Press ISBN 978 0521889698 Musson Ian M 2012 Lie Superalgebras and Enveloping Algebras Graduate Studies in Mathematics t 131 Providence R I American Mathematical Society ISBN 0 8218 6867 5 Zbl 1255 17001