Приєднане представлення алгебри Лі

У теорії груп Лі приєднаним представленням групи Лі G називається представлення елементів групи, як лінійних відображень на відповідній алгебрі Лі. Дане представлення є гомоморфізмом груп Лі. Його диференціал є представленням алгебри Лі, що називається приєднаним представленням алгебри Лі.

Визначення

Приєднане представлення груп Лі

Нехай ${\displaystyle G}$ — група Лі, а ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — відповідна їй алгебра Лі, яку можна ідентифікувати з дотичним простором в одиниці ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G}$ або з простором лівоінваріантних векторних полів на G.

Для кожного елемента ${\displaystyle g\in G}$ можна ввести відображення спряження ${\displaystyle C_{g}\colon G\to G}$ визначене як:

${\displaystyle C_{g}(h):=ghg^{-1}\ \forall \ h\in G.}$

Це відображення є оборотним і гладким. Також очевидно що ${\displaystyle C_{g}(e):=e,\ \forall \ g\in G.}$

Тому визначений диференціал ${\displaystyle d_{e}C_{g}\colon T_{e}G\rightarrow T_{e}G,}$ який є оборотним лінійним відображенням на ${\displaystyle T_{e}G.}$ Відповідно існує відображення

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}})}$

визначене як

${\displaystyle \mathrm {Ad} (g)=d_{e}C_{g}.}$

Воно є гомоморфізмом груп Лі і називається приєднаним представленням групи Лі G.

Приєднане представлення алгебр Лі

Оскільки Ad є гладким відображенням для нього теж можна визначити диференціал. Диференціал відображення Ad в одиниці

${\displaystyle \mathrm {ad} :=d_{e}\mathrm {Ad} \colon {\mathfrak {g}}\to End({\mathfrak {g}})}$

називають приєднаним представленням алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ Дане відображення набуває значень у множині ${\displaystyle End({\mathfrak {g}})}$ усіх лінійних відображень простору ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G}$ в себе. ${\displaystyle End({\mathfrak {g}})}$ є алгеброю Лі для групи Лі ${\displaystyle GL({\mathfrak {g}}).}$

Еквівалентно ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ можна задати за допомогою комутатора відповідних лівоінваріантних векторних полів. Якщо ${\displaystyle V_{X},V_{Y}}$ лівоінваріантні векторні поля для яких ${\displaystyle V_{X}(e)=X,\,\,V_{Y}(e)=Y}$ то їх дужка Лі визначена як ${\displaystyle [V_{X},V_{Y}]f=V_{X}(V_{Y}f)-V_{Y}(V_{X}f)}$ буде теж лівоінваріантним векторним полем. Тоді за означенням ${\displaystyle \mathrm {ad} (V_{X})(V_{Y})=[V_{X},V_{Y}]}$.

Оскільки

${\displaystyle \mathrm {ad} (X)(Y)=d_{e}\mathrm {Ad} (X)(Y)={d \over dt}{\Big |}_{t=0}\mathrm {Ad} (\exp(tX))Y={d \over dt}{\Big |}_{t=0}d(r_{\exp(-tX)})\circ d(l_{\exp(tX)})Y={d \over dt}{\Big |}_{t=0}d(r_{\exp(-tX)})V_{Y}(\exp(tX))=[V_{X},V_{Y}]_{e}}$

то два означення є еквівалентні, зокрема якщо позначити ${\displaystyle [X,Y]=\mathrm {ad} (X)(Y)}$то ${\displaystyle [V_{X},V_{Y}]=V_{[X,Y]}}$. У рівностях позначено ${\displaystyle r_{g},l_{g}}$— відображення множення справа і зліва на елемент g і використано той факт, що ${\displaystyle f(t,g)=g\exp(tX)}$є потоком лівоінваріантного векторного поля ${\displaystyle V_{X}}$разом із еквівалентністю означень дужок Лі векторних полів через диференціальні оператори і потоки.

Матричні групи

Для загальної лінійної групи ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ алгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є множина ${\displaystyle {\mathfrak {g}}l(n,\mathbb {C} )\simeq M(n,\mathbb {C} )}$ усіх квадратних матриць розмірності n. Для ${\displaystyle g\in GL(n,\mathbb {C} ),\;X,Y\in M(n,\mathbb {C} )}$ приєднане представлення ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ визначається рівністю:

${\displaystyle \mathrm {Ad} (g)(X)=gXg^{-1},}$

а приєднане представлення алгебри Лі ${\displaystyle M(n,\mathbb {C} )}$ рівністю:

${\displaystyle \mathrm {ad} (X)(Y)=XY-YX=[X,Y].}$

Властивості

Нижче використовуються також позначення ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}:=\mathrm {Ad} (g),\quad \mathrm {ad} _{X}:=\mathrm {ad} (X)}$:

• Якщо ${\displaystyle g,h\in G}$ — елементи групи Лі, то ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h},\;(\mathrm {Ad} _{g})^{-1}=\mathrm {Ad} _{g^{-1}}.}$
• Для ${\displaystyle g\in G,\;X\in {\mathfrak {g}},}$ виконується рівність ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\circ \mathrm {ad} (X)\circ \mathrm {Ad} _{g^{-1}}=\mathrm {ad} (\mathrm {Ad} _{g}X).}$
• Для значення ${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}Y,\;X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ використовується позначення ${\displaystyle [X,Y].}$ Оператор ${\displaystyle [X,Y]}$ є білінійним, антисиметричним і задовольняє тотожності Якобі:

${\displaystyle \forall \,X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}\;\colon [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y].}$

• ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[X,Y]=[\mathrm {Ad} _{g}X,\mathrm {Ad} _{g}Y],\quad \forall \,g\in G,\,X,Y\in {\mathfrak {g}},}$ тобто ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}}$ є автоморфізмом алгебри Лі.
• ${\displaystyle \mathrm {ad} _{[X,Y]}=[\mathrm {ad} _{X},\mathrm {ad} _{Y}],\quad \forall \,X,Y\in {\mathfrak {g}},}$ де дужки Лі в лівій частині рівності є дужками Лі в алгебрі Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ а справа — комутатор матриць.
• ${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}[Y,Z]=[\mathrm {ad} _{X}Y,Z]+[Y,\mathrm {ad} _{X}Z],\quad \forall \,X,Y,Z\in {\mathfrak {g}},}$ тобто ${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}}$ є (диференціюванням в алгебрі Лі).
• Якщо ${\displaystyle \gamma _{X}(t)}$ — деяка гладка крива в групі G, що проходить через одиницю і в одиниці дотичним вектором якої є X (прикладом такої кривої є ${\displaystyle \exp(tX)}$). Тоді ${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\Bigg (}\mathrm {Ad} (\gamma _{X}(t)){\Bigg )}_{t=0}.}$
• ${\displaystyle g\exp Xg^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X),\quad \forall \,g\in G,\,X\in {\mathfrak {g}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {Ad} (\exp X)=\exp(\mathrm {ad} (X)),\quad \forall \,X\in {\mathfrak {g}},}$ де зліва є експонента у групі Лі, а справа — звичайна експонента матриці.

Джерела

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
• Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003.
• Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.