Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.
Визначення
Для дійсної або комплексної матриці розміру експонента від , що позначається як або — матриця розміру , визначена за допомогою ряду:
- ,
де — k-а степінь матриці .
Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо , де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то .
Звідси , що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.
Якщо — матриця розміру , то матрична експонента від є матриця розмірності , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента .
Еквівалентне визначення
Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.
де — одинична матриця відповідної розмірності.
Ця рівність є аналогічною до рівності що виконується для дійсних і комплексних чисел.
Для доведення рівності використовується формула де a може бути як числом, так і матрицею.
Тоді якщо для тої ж норми, що й вище то:
при що й доводить твердження.
Властивості
Основні властивості
Для комплексних матриць і розміру , довільних комплексних чисел і , одиничної матриці і нульової матриці , експонента має наступні властивості:
- ;
- Матриці і комутують, тобто Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з .
- ;
- ;
- Якщо , то ;
- Якщо — невироджена матриця, то .
- , де позначає транспоновану матрицю до , це означає, що якщо є симетричною, то теж симетрична, а якщо — кососиметрична матриця, то — ортогональна;
- , де позначає ермітово-спряжену матрицю для , це означає, що якщо — ермітова матриця, то теж ермітова, а якщо — антиермітова матриця, то — унітарна.
- де — визначник, а — слід матриці.
Експонента суми
Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) і експоненціальна функція задовольняє рівнянню , це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці і комутують (тобто ), то . Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення використовується [en].
У загальному випадку з рівності не випливає, що і комутують.
Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.
Нерівність Голдена - Томпсона
Якщо і — ермітові матриці, то :
- ,
де — слід матриці . Комутативність для виконання цього твердження не потрібна. Існують контрприклади, які показують, що нерівність Голдена — Томпсона не може бути узагальнена на три матриці, а не завжди є дійсним числом для ермітових матриць , і .
Теорема Ліба
Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба, стверджує, що для фіксованої ермітової матриці , функція:
є увігнутою на конусі додатноозначених матриць .
Експоненціальне відображення
Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до матриця рівна , це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:
з простору всіх матриць розмірності на загальну лінійну групу порядку , тобто групу всіх невироджених матриць розмірності . Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці (щоб це твердження було справедливим необхідно розглядати поле комплексних чисел , а не дійсних чисел ).
Для будь-яких двох матриць і має місце нерівність
- ,
де позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах .
Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині де — множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:
Диференціювання
Відображення:
визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при .
Похідна цього відображення визначається формулою:
Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:
Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність:
де — лінійне відображення визначене для довільної матриці
У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:
Взявши в формулі для диференціювання отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці
При ця рівність спрощується до
Системи лінійних диференціальних рівнянь
Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь . Розв'язок системи:
- ,
де — стала матриця, дається виразом:
Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду
- .
Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду
- ,
де — матриця елементи якої не є константами, але [en] дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.
Приклад однорідної системи
Для системи:
матриця рівна:
Можна показати, що експонента від матриці є
таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:
Приклад неоднорідної системи
Для розв'язку неоднорідної системи:
вводяться позначення:
і
Так як сума загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку дають загальний розв'язок неоднорідного рівняння, залишається лише знайти частковий розв'язок. Так як:
де — початкова умова.
Узагальнення: варіація довільної сталої
У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді: :
Щоб була розв'язком, має виконуватися наступне:
Таким чином:
де визначається з початкових умов задачі.
Див. також
Примітки
- Bhatia, R. (+1997). Matrix Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Т. 169. Springer. ISBN .
- EH Lieb (1973). Convex trace functions and the Wigner-Yanase-Dyson conjecture. Adv. Math. 11 (3): 267—288. doi:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011- X.
{{}}
: Перевірте значення|doi=
() - Rossman, Wulf (2002). Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups (англ) . Oxford Science Publications. с. 15—16.
- Юрій Головатий Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами [ 13 жовтня 2016 у Wayback Machine.]
Джерела
Посилання
- Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential» [ 19 листопада 2016 у Wayback Machine.], MathWorld
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Eksponenta matrici matrichna funkciya vid kvadratnoyi matrici sho maye bagato vlastivostej analogichnih zvichajnij eksponencijnij funkciyi dijsnih chi kompleksnih chisel Matrichna eksponenta vstanovlyuye zv yazok mizh algebroyu Li matric i vidpovidnoyu grupoyu Li ViznachennyaDlya dijsnoyi abo kompleksnoyi matrici X displaystyle X rozmiru n n displaystyle n times n X M n C displaystyle X in M n mathbb C eksponenta vid X displaystyle X sho poznachayetsya yak e X displaystyle e X abo exp X displaystyle exp X matricya rozmiru n n displaystyle n times n viznachena za dopomogoyu ryadu e X k 0 1 k X k displaystyle e X sum k 0 infty 1 over k X k de X k displaystyle X k k a stepin matrici X displaystyle X Danij ryad zavzhdi zbigayetsya absolyutno Yaksho X a displaystyle X alpha de vzyato matrichnu normu uzgodzhenu z vektornoyu dlya skinchennovimirnih prostoriv usi normi ekvivalentni to 1 k X k 1 k X k 1 k a k displaystyle left frac 1 k X k right leqslant frac 1 k X k leqslant frac 1 k alpha k Zvidsi k 0 1 k X k k 0 1 k X k k 0 1 k a k e a displaystyle big sum k 0 infty 1 over k X k big leqslant sum k 0 infty 1 over k X k leqslant sum k 0 infty frac 1 k alpha k e alpha sho dovodit absolyutnu zbizhnist ryadu i korektnist viznachennya Yaksho X displaystyle X matricya rozmiru 1 1 displaystyle 1 times 1 to matrichna eksponenta vid X displaystyle X ye matricya rozmirnosti 1 1 displaystyle 1 times 1 yedinij element yakoyi dorivnyuye zvichajnij eksponenti vid yedinogo elementa X displaystyle X Ekvivalentne viznachennya Eksponencijnu funkciyu mozhna takozh viznachiti nastupnoyu rivnistyu exp X lim n I 1 n X n displaystyle exp X lim n to infty left I frac 1 n X right n de I displaystyle I odinichna matricya vidpovidnoyi rozmirnosti Cya rivnist ye analogichnoyu do rivnosti e a lim n 1 a n n displaystyle e a lim n to infty left 1 frac a n right n sho vikonuyetsya dlya dijsnih i kompleksnih chisel Dlya dovedennya rivnosti vikoristovuyetsya formula 1 a m m k 0 m a k k m k displaystyle left 1 frac a m right m sum k 0 m frac a k k m k de a mozhe buti yak chislom tak i matriceyu Todi yaksho dlya toyi zh normi sho j vishe X a displaystyle X a to e X I 1 n X n k 0 n a k k a k k n k k n 1 a k k e a 1 a n n 0 displaystyle left e X left I frac 1 n X right n right leqslant sum k 0 n frac a k k frac a k k n k sum k n 1 infty frac a k k e a left 1 frac a n right n to 0 pri n displaystyle n to infty sho j dovodit tverdzhennya VlastivostiOsnovni vlastivosti Dlya kompleksnih matric X displaystyle X i Y displaystyle Y rozmiru n n displaystyle n times n dovilnih kompleksnih chisel a displaystyle a i b displaystyle b odinichnoyi matrici I displaystyle I i nulovoyi matrici 0 displaystyle 0 eksponenta maye nastupni vlastivosti exp 0 I displaystyle exp 0 I Matrici X displaystyle X i exp X displaystyle exp X komutuyut tobto X exp X exp X X displaystyle X exp X exp X X Ce legko vivoditsya z viznachennya eksponenti yak sumi zbizhnogo ryadu kozhen dodanok yakogo ochevidno komutuye z X displaystyle X exp a X exp b X exp a b X displaystyle exp aX exp bX exp left a b X right exp X exp X I displaystyle exp X exp left X right I Yaksho X Y Y X displaystyle XY YX to exp X exp Y exp Y exp X exp X Y displaystyle exp X exp Y exp Y exp X exp X Y Yaksho Y displaystyle Y nevirodzhena matricya to exp Y X Y 1 Y exp X Y 1 displaystyle exp YXY 1 Y exp X Y 1 exp X T exp X T displaystyle exp X mathrm T exp X mathrm T de X T displaystyle X mathrm T poznachaye transponovanu matricyu do X displaystyle X ce oznachaye sho yaksho X displaystyle X ye simetrichnoyu to exp X displaystyle exp X tezh simetrichna a yaksho X displaystyle X kososimetrichna matricya to exp X displaystyle exp X ortogonalna exp X exp X displaystyle exp X exp X de X displaystyle X poznachaye ermitovo spryazhenu matricyu dlya X displaystyle X ce oznachaye sho yaksho X displaystyle X ermitova matricya to exp X displaystyle exp X tezh ermitova a yaksho X displaystyle X antiermitova matricya to exp X displaystyle exp X unitarna det exp X exp tr X displaystyle det left exp X right exp mbox tr X de det displaystyle det viznachnik a tr displaystyle mbox tr slid matrici Eksponenta sumi Dlya bud yakih dvoh dijsnih chisel skalyariv x displaystyle x i y displaystyle y eksponencialna funkciya zadovolnyaye rivnyannyu e x y e x e y displaystyle e x y e x cdot e y ce zh vlastivist maye misce dlya simetrichnih matric yaksho matrici X displaystyle X i Y displaystyle Y komutuyut tobto X Y Y X displaystyle XY YX to exp X Y exp X exp Y displaystyle exp X Y exp X exp Y Odnak dlya nekomutativnih matric cya rivnist vikonuyetsya ne zavzhdi v zagalnomu vipadku dlya obchislennya exp X Y displaystyle exp X Y vikoristovuyetsya en U zagalnomu vipadku z rivnosti exp X Y exp X exp Y displaystyle exp X Y exp X exp Y ne viplivaye sho X displaystyle X i Y displaystyle Y komutuyut Dlya ermitovih matric isnuye dvi prosti teoremi pov yazani z slidom eksponent matric Nerivnist Goldena Tompsona Yaksho A displaystyle A i H displaystyle H ermitovi matrici to tr exp A H tr exp A exp H displaystyle operatorname tr exp A H leqslant operatorname tr exp A exp H de tr X displaystyle operatorname tr X slid matrici X displaystyle X Komutativnist dlya vikonannya cogo tverdzhennya ne potribna Isnuyut kontrprikladi yaki pokazuyut sho nerivnist Goldena Tompsona ne mozhe buti uzagalnena na tri matrici a tr exp A exp B exp C displaystyle operatorname tr exp A exp B exp C ne zavzhdi ye dijsnim chislom dlya ermitovih matric A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C Teorema Liba Teorema Liba nazvana im yam Eliota Liba stverdzhuye sho dlya fiksovanoyi ermitovoyi matrici H displaystyle H funkciya f A tr exp H log A displaystyle f A operatorname tr exp left H log A right ye uvignutoyu na konusi dodatnooznachenih matric Eksponencialne vidobrazhennyaEksponenta matrici zavzhdi ye nevirodzhenoyu matriceyu Obernena do exp X displaystyle exp X matricya rivna exp X displaystyle exp X ce analog togo faktu sho eksponenta vid kompleksnogo chisla nikoli ne dorivnyuye nulyu Takim chinom matrichna eksponenta viznachaye vidobrazhennya exp M n C G L n C displaystyle exp colon M n mathbb C to mathrm GL n mathbb C z prostoru vsih matric rozmirnosti n n displaystyle n times n na zagalnu linijnu grupu poryadku n displaystyle n tobto grupu vsih nevirodzhenih matric rozmirnosti n n displaystyle n times n Ce vidobrazhennya ye syur yekciyeyu tobto kozhna nevirodzhena matricya mozhe buti zapisana yak eksponenta vid deyakoyi inshoyi matrici shob ce tverdzhennya bulo spravedlivim neobhidno rozglyadati pole kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C a ne dijsnih chisel R displaystyle mathbb R Dlya bud yakih dvoh matric X displaystyle X i Y displaystyle Y maye misce nerivnist e X Y e X Y e X e Y displaystyle e X Y e X leqslant Y e X e Y de displaystyle cdot poznachaye dovilnu matrichnu normu Zvidsi viplivaye sho eksponencialne vidobrazhennya ye neperervnim i lipshicevim na kompaktnih pidmnozhinah M n C displaystyle M n mathbb C Zagalom eksponencijne vidobrazhennya ne ye in yektivnim Ale vono bude in yektivnim napriklad na pidmnozhini X B 0 ln 2 M n C displaystyle X in B 0 ln 2 subset M n mathbb C de B 0 ln 2 displaystyle B 0 ln 2 mnozhina matric norma yakih uzgodzhena z vektornoyu normoyu mensha nizh ln 2 Na cij mnozhini eksponencijna funkciya ye difeomorfizmom i obernena funkciya mozhe buti podana yak suma zbizhnogo ryadu log Y k 1 1 k 1 k Y I k displaystyle log Y sum k 1 infty 1 k 1 over k Y I k Diferenciyuvannya Vidobrazhennya t e t X t R displaystyle t mapsto e tX qquad t in mathbb R viznachaye gladku krivu v zagalnij linijnij grupi yaka prohodit cherez odinichnij element pri t 0 displaystyle t 0 Pohidna cogo vidobrazhennya viznachayetsya formuloyu d d t e t X X e t X displaystyle frac rm d rm d t e tX Xe tX Spravdi z viznachen pohidnoyi i vlastivostej eksponenti oderzhuyetsya poslidovnist rivnostej d d t e t X lim t 0 0 e t t 0 X e t X t 0 lim t 0 0 e t 0 X I t 0 e t X lim t 0 0 X O t 0 e t X X e t X displaystyle frac rm d rm d t e tX lim t 0 to 0 frac e t t 0 X e tX t 0 lim t 0 to 0 frac e t 0 X I t 0 e tX lim t 0 to 0 X O t 0 e tX Xe tX Bilsh zagalno dlya matrici X t zalezhnoyi vid parametra t spravedlivoyu ye rivnist d d t e X t e X 1 e a d X a d X d X d t displaystyle frac rm d rm d t e X t e X frac 1 e rm ad X rm ad X frac rm d X rm d t de a d X M n C M n C displaystyle rm ad X M n mathbb C to M n mathbb C linijne vidobrazhennya viznachene a d X Y X Y X Y Y X displaystyle rm ad X Y X Y XY YX dlya dovilnoyi matrici Y M n C displaystyle Y in M n mathbb C U poperednij formuli dlya virazu v pravij chastini spravedliva formula 1 e a d X a d X k 0 1 k k 1 a d X k displaystyle frac 1 e rm ad X rm ad X sum k 0 infty 1 k over k 1 rm ad X k Vzyavshi v formuli dlya diferenciyuvannya X t X t Y displaystyle X t X tY otrimuyemo formulu dlya diferenciala eksponencijnogo vidobrazhennya v tochci X M n C displaystyle X in M n mathbb C d X exp Y exp d d t e X t Y e X 1 e a d X a d X Y Y M n C T X M n C displaystyle rm d X exp Y exp frac rm d rm d t e X tY e X frac 1 e rm ad X rm ad X Y forall Y in M n mathbb C simeq T X M n mathbb C Pri X Y Y X displaystyle XY YX cya rivnist sproshuyetsya do d X exp Y e X Y displaystyle rm d X exp Y e X Y Sistemi linijnih diferencialnih rivnyanOdna z prichin yaki zumovlyuyut vazhlivist matrichnoyi eksponenti polyagaye v tomu sho vona mozhe buti vikoristana dlya rozv yazku sistem zvichajnih diferencialnih rivnyan Rozv yazok sistemi d d t y t A y t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t quad y 0 y 0 de A displaystyle A stala matricya dayetsya virazom y t e A t y 0 displaystyle y t e At y 0 Matrichna eksponenta mozhe buti takozh vikoristana dlya rozv yazuvannya neodnoridnih rivnyan vidu d d t y t A y t z t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t z t quad y 0 y 0 Ne isnuye zamknutogo analitichnogo virazu dlya rishen neodnoridnih diferencialnih rivnyan vidu d d t y t A t y t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t A t y t quad y 0 y 0 de A displaystyle A matricya elementi yakoyi ne ye konstantami ale en dozvolyaye otrimati podannya rozv yazku u viglyadi neskinchennoyi sumi Priklad odnoridnoyi sistemi Dlya sistemi x 2 x y z y 3 y 1 z z 2 x y 3 z displaystyle begin matrix x amp amp 2x amp y amp z y amp amp amp 3y amp 1z z amp amp 2x amp y amp 3z end matrix matricya rivna A 2 1 1 0 3 1 2 1 3 displaystyle A begin bmatrix 2 amp 1 amp 1 0 amp 3 amp 1 2 amp 1 amp 3 end bmatrix Mozhna pokazati sho eksponenta vid matrici t A displaystyle tA ye e t A 1 2 e 2 t 1 e 2 t 2 t 2 t e 2 t e 2 t 1 e 2 t e 2 t 1 e 2 t 2 t 2 t 1 e 2 t e 2 t 1 e 2 t e 2 t 1 e 2 t 2 t 2 t e 2 t e 2 t 1 e 2 t displaystyle e tA frac 1 2 begin bmatrix e 2t 1 e 2t 2t amp 2te 2t amp e 2t 1 e 2t e 2t 1 e 2t 2t amp 2 t 1 e 2t amp e 2t 1 e 2t e 2t 1 e 2t 2t amp 2te 2t amp e 2t 1 e 2t end bmatrix takim chinom zagalnim rozv yazkom ciyeyi sistemi rivnyan ye x y z x 0 2 e 2 t 1 e 2 t 2 t e 2 t 1 e 2 t 2 t e 2 t 1 e 2 t 2 t y 0 2 2 t e 2 t 2 t 1 e 2 t 2 t e 2 t z 0 2 e 2 t 1 e 2 t e 2 t 1 e 2 t e 2 t 1 e 2 t displaystyle begin bmatrix x y z end bmatrix frac x 0 2 begin bmatrix e 2t 1 e 2t 2t e 2t 1 e 2t 2t e 2t 1 e 2t 2t end bmatrix frac y 0 2 begin bmatrix 2te 2t 2 t 1 e 2t 2te 2t end bmatrix frac z 0 2 begin bmatrix e 2t 1 e 2t e 2t 1 e 2t e 2t 1 e 2t end bmatrix Priklad neodnoridnoyi sistemi Dlya rozv yazku neodnoridnoyi sistemi x 2 x y z e 2 t y 3 y z z 2 x y 3 z e 2 t displaystyle begin matrix x amp amp 2x amp amp y amp amp z amp amp e 2t y amp amp amp amp 3y amp amp z amp z amp amp 2x amp amp y amp amp 3z amp amp e 2t end matrix vvodyatsya poznachennya A 2 1 1 0 3 1 2 1 3 displaystyle A left begin array rrr 2 amp 1 amp 1 0 amp 3 amp 1 2 amp 1 amp 3 end array right i b e 2 t 1 0 1 displaystyle mathbf b e 2t begin bmatrix 1 0 1 end bmatrix Tak yak suma zagalnogo rozv yazku odnoridnogo rivnyannya i chastkovogo rozv yazku dayut zagalnij rozv yazok neodnoridnogo rivnyannya zalishayetsya lishe znajti chastkovij rozv yazok Tak yak y p e t A 0 t e u A e 2 u 0 e 2 u d u e t A c displaystyle mathbf y p e tA int 0 t e u A begin bmatrix e 2u 0 e 2u end bmatrix du e tA mathbf c y p e t A 0 t 2 e u 2 u e 2 u 2 u e 2 u 0 2 e U 2 u 1 e 2 u 2 u 1 e 2 u 0 2 u e 2 u 2 u e 2 u 2 e u e 2 u 0 e 2 u d u e t A c displaystyle mathbf y p e tA int 0 t begin bmatrix 2e u 2ue 2u amp 2ue 2u amp 0 2e U 2 u 1 e 2u amp 2 u 1 e 2u amp 0 2ue 2u amp 2ue 2u amp 2e u end bmatrix begin bmatrix e 2u 0 e 2u end bmatrix du e tA mathbf c y p e t A 0 t e 2 u 2 e u 2 u e 2 u e 2 u 2 e u 2 1 u e 2 u 2 e 3 u 2 u e 4 u d u e t A c displaystyle mathbf y p e tA int 0 t begin bmatrix e 2u 2e u 2ue 2u e 2u 2e u 2 1 u e 2u 2e 3u 2ue 4u end bmatrix du e tA mathbf c y p e t A 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 1 16 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 4 16 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 1 16 2 e t 2 t e 2 t 2 t e 2 t 0 2 e T 2 t 1 e 2 t 2 t 1 e 2 t 0 2 t e 2 t 2 t e 2 t 2 e t c 1 c 2 c 3 displaystyle mathbf y p e tA begin bmatrix 1 over 24 e 3t 3e t 4t 1 16 1 over 24 e 3t 3e t 4t 4 16 1 over 24 e 3t 3e t 4t 1 16 end bmatrix begin bmatrix 2e t 2te 2t amp 2te 2t amp 0 2e T 2 t 1 e 2t amp 2 t 1 e 2t amp 0 2te 2t amp 2te 2t amp 2e t end bmatrix begin bmatrix c 1 c 2 c 3 end bmatrix de c y p 0 displaystyle mathbf c mathbf y p 0 pochatkova umova Uzagalnennya variaciya dovilnoyi staloyi U razi neodnoridnoyi sistemi mozhna vikoristovuvati metod variaciyi dovilnoyi staloyi Shukayetsya chastkovij rozv yazok u viglyadi y p t exp t A z t displaystyle mathbf y p t exp tA mathbf z t y p t e t A z t e t A z t A e t A z t e t A z t A y p t e t A z t displaystyle begin aligned mathbf y p t amp e tA mathbf z t e tA mathbf z t 6pt amp Ae tA mathbf z t e tA mathbf z t 6pt amp A mathbf y p t e tA mathbf z t end aligned Shob y p displaystyle mathbf y p bula rozv yazkom maye vikonuvatisya nastupne e t A z t b t z t e t A 1 b t z t 0 t e u A b u d u c displaystyle begin aligned e tA mathbf z t amp mathbf b t 6pt mathbf z t amp e tA 1 mathbf b t 6pt mathbf z t amp int 0 t e uA mathbf b u du mathbf c end aligned Takim chinom y p t e t A 0 t e u A b u d u e t A c 0 t e t u A b u d u e t A c displaystyle begin aligned mathbf y p t amp e tA int 0 t e uA mathbf b u du e tA mathbf c amp int 0 t e t u A mathbf b u du e tA mathbf c end aligned de c displaystyle mathbf c viznachayetsya z pochatkovih umov zadachi Div takozhEksponenta teoriya grup Li PrimitkiBhatia R 1997 Matrix Analysis Graduate Texts in Mathematics T 169 Springer ISBN 978 0 387 94846 1 EH Lieb 1973 Convex trace functions and the Wigner Yanase Dyson conjecture Adv Math 11 3 267 288 doi 10 1016 0001 8708 73 90011 X a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Perevirte znachennya doi dovidka Rossman Wulf 2002 Lie Groups An Introduction Through Linear Groups angl Oxford Science Publications s 15 16 Yurij Golovatij Linijni sistemi zi stalimi koeficiyentami 13 zhovtnya 2016 u Wayback Machine DzherelaBaker Andrew J 2003 Matrix Groups An Introduction to Lie Group Theory Berlin DE New York NY Springer Verlag ISBN 978 1 85233 470 3 Rossmann Wulf 2002 Lie Groups An Introduction Through Linear Groups Oxford Graduate Texts in Mathematics Oxford Science Publications ISBN 0 19 859683 9PosilannyaWeisstein Eric W Matrix Exponential 19 listopada 2016 u Wayback Machine MathWorld