Представлення алгебри Лі

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: .

Представленням алгебри Лі (точніше, лінійним представленням алгебри Лі) називається гомоморфізм із алгебри Лі ${\displaystyle L}$ у перетворень деякого векторного простору ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi \colon L\to {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Під гомоморфизмом алгебр Лі йдеться про таке відображення, що ${\displaystyle \varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]}$ для будь-яких ${\displaystyle x,y\in L}$. При цьому алгебра Лі ${\displaystyle L}$ і векторний простір ${\displaystyle V}$ мають бути над одним і тим же полем ${\displaystyle K}$.

Приклади представлень алгебр Лі

Важливим прикладом представлення є (приєднане представлення алгебри Лі) ${\displaystyle \mathrm {ad} \colon L\to {\mathfrak {gl}}(L)}$. Це представлення зіставляє елементу ${\displaystyle x\in L}$ оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x}$, що діє на елементи з ${\displaystyle L}$ за правилом ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x(y)=[x,y]}$.

Див. також

Представлення групи

Джерела

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — М. : МЦНМО, 2003. — 216 с.