Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи . За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.
Групова алгебра скінченої групи
Припустимо, що — це скінчена група. Її групова алгебра — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів
які додаються покомпонентно і для добутку яких виконується співвідношення
де у лівій частині розглядається добуток елементів , а в правій частині — добуток та у Одиниця групової алгебри — це елемент що походить з нейтрального елемента групи Аксіоми кільця в випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі Кільце — комутативне тоді і тільки тоді, коли — комутативна група. Загальнішим чином, групова алгебра для довільного кільця складається з лінійних комбінацій елементів з коефіцієнтами з
Категорна характеризація
Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивістю. А саме, для будь-якого кільця і гомоморфізма групи у мультиплікативну групу , існує єдиний гомоморфізм що продовжує тобто задовольняє
для будь-якого елемента який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент . Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи еквівалентне до модуля над груповою алгеброю Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвідних і нерозкладних зображень .
Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи над кільцем від Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях , то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем із елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів (замість ).
Групова алгебра локально-компактної топологічної групи
Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів (тобто, за винятком скінченої підмножини ). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів у певний клас топологічних кілець (порів. вище). Зокрема, кільце цілих чисел поширюється до поля комплексних чисел. У випадку локально компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Спочатку розглядається банахова алгебра функцій на . Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:
де — це ліва міра Хаара на Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією
де — це Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до
Див. також
Література
- Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Termin grupova algebra zastosuyetsya do kilkoh shilno pov yazanih kilec sho mozhut buti utvoreni z dovilnoyi grupi G displaystyle G Za dopomogoyu ponyattya grupovoyi algebri vdayetsya zvesti chimalo pitan stosovno grup ta naperedusim yih zobrazhen do vidpovidnih pitan pro kilcya Grupova algebra skinchenoyi grupiPripustimo sho G displaystyle G ce skinchena grupa Yiyi grupova algebra Z G displaystyle mathbb Z G ce asociativne kilce sho skladayetsya z formalnih viraziv g G a g g a g Z displaystyle sum g in G a g g quad a g in mathbb Z yaki dodayutsya pokomponentno i dlya dobutku yakih vikonuyetsya spivvidnoshennya g h g h displaystyle g cdot h gh de u livij chastini rozglyadayetsya dobutok elementiv g 1 g h 1 h Z G displaystyle g 1 cdot g h 1 cdot h in mathbb Z G a v pravij chastini dobutok g displaystyle g ta h displaystyle h u G displaystyle G Odinicya grupovoyi algebri ce element e 1 e displaystyle e 1 cdot e sho pohodit z nejtralnogo elementa grupi G displaystyle G Aksiomi kilcya v Z G displaystyle mathbb Z G viplivayut iz oznachennya asociativnosti mnozhennya ta vlastivostej odinici v grupi G displaystyle G Kilce Z G displaystyle mathbb Z G komutativne todi i tilki todi koli G displaystyle G komutativna grupa Zagalnishim chinom grupova algebra K G displaystyle mathbb K G dlya dovilnogo kilcya K displaystyle mathbb K skladayetsya z linijnih kombinacij elementiv G displaystyle G z koeficiyentami z K displaystyle mathbb K Kategorna harakterizaciya Grupova algebra mozhe buti cilkom oharakterizovana svoyeyu universalnoyu vlastivistyu A same dlya bud yakogo kilcya R displaystyle R i gomomorfizma ϕ displaystyle phi grupi G displaystyle G u multiplikativnu grupu R displaystyle R isnuye yedinij gomomorfizm ϕ Z G R displaystyle tilde phi mathbb Z G to R sho prodovzhuye ϕ displaystyle phi tobto zadovolnyaye ϕ g ϕ g displaystyle tilde phi g phi g dlya bud yakogo elementa g G displaystyle g in G yakij u livij chastini ostannoyi totozhnosti rozglyadayetsya yak element 1 g Z G displaystyle 1 cdot g in mathbb Z G Ce nadzvichajno korisna vlastivist grupovoyi algebri tomu sho zavdyaki yij bud yake zobrazhennya grupi G displaystyle G ekvivalentne do modulya nad grupovoyu algebroyu Z G displaystyle mathbb Z G Zokrema metodi teoriyi kilec mozhut buti zastosovani do vinahodzhennya stepeniv i harakteriv nezvidnih i nerozkladnih zobrazhen G displaystyle G Vprovadzhennya grupovoyi algebri takozh dozvolyaye dosliditi zalezhnist kategoriyi zobrazhen grupi G displaystyle G nad kilcem K displaystyle mathbb K vid K displaystyle mathbb K Yaksho napriklad mayemo do meti zosereditisya na dijsnih zobrazhennyah G displaystyle G to potribno rozshirite kilce koeficiyentiv do R displaystyle mathbb R a yaksho bazhayemo vivchati zobrazhennya nad skinchenim polem F p displaystyle mathbb F p iz p displaystyle p elementiv to obirayemo za kilce koeficiyentiv F p displaystyle mathbb F p zamist Z displaystyle mathbb Z Grupova algebra lokalno kompaktnoyi topologichnoyi grupiOznachennya grupovoyi algebri mozhna poshiriti na vipadok dovilnoyi vzagali neskinchenoyi grupi G displaystyle G yaksho u navedenomu vishe oznachenni obmezhitisya skinchenimi linijnimi kombinaciyami elementiv G displaystyle G tobto a g 0 displaystyle a g 0 za vinyatkom skinchenoyi pidmnozhini g G displaystyle g in G Ale bilsh zmistovnim ye oznachennya grupovoyi algebri sho bere do uvagi topologiyu grupi G displaystyle G i take sho sprovadzhuyetsya universalna vlastivist shodo neperervnih gomomorfizmiv G displaystyle G u pevnij klas topologichnih kilec R displaystyle R poriv vishe Zokrema kilce Z displaystyle mathbb Z cilih chisel poshiryuyetsya do polya C displaystyle mathbb C kompleksnih chisel U vipadku lokalno kompaktnoyi topologichnoyi grupi grupova algebra utvoryuyetsya za kilka stadij Spochatku rozglyadayetsya banahova algebra L 1 G d g displaystyle L 1 G dg funkcij na G displaystyle G Dodavannya funkcij potochkove yak i ranishe a ot dobutok viznachayetsya yak zgortka funkcij f 1 f 2 g G f 1 h f 2 h 1 g d h displaystyle f 1 f 2 g int G f 1 h f 2 h 1 g dh de d g displaystyle dg ce liva mira Haara na G displaystyle G Takim chinom otrimuyemo topologichnu algebru z involyuciyeyu f g D G g f g 1 displaystyle f g Delta G g overline f g 1 de D G g displaystyle Delta G g ce Haara A dali cya algebra popovnyuyetsya do C G C L 1 G d g displaystyle C G C L 1 G dg Div takozhGrupove kilceLiteraturaKirillov A A Elementy teorii predstavlenij M Nauka 1978